专题02 不等式（10年汇编）（上海专用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦不等式专题，整合2017-2026年上海高考真题及模拟题，覆盖不等式性质、一元二次不等式等四大考点，基础题与综合题梯度分布，贴合高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|多|不等式性质（2026真题举反例判断）、充要条件|基础题为主，注重概念辨析| |填空|多|基本不等式求最值（2025真题）、分式不等式转化|送分题与中档题结合，题型稳定| |解答|中|一元二次不等式融合导数切线（2026真题）、基本不等式压轴结合椭圆（2022真题）|综合性强，贴合高考创新趋势|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02不等式 10年真题1年模拟 十年真题分类园 考点01不等式性质 1.C 2.B 3.A 4.B 3 5.21.5 x∈0， o 480 28800 6.(1) 3； X= (2) 7时， 7」 考点02一元二次不等式的解法 1.D 2.0,3) 3.(o,1 4.x-1<x<3 5.(010 6.a-o,0U(0,1U3,+w) 117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(1)x=2: 2o,-2nU+2i+w） (3)由盟设，=f)-fx-0,则么()r+0-H+)-2+f心-川 v(x)f(x+)-f(x)川h(x)=(x)-(x-)fx+)-fx)川-|f(x)-f(x-)川 ,则 :当h(x)=h()成立，f(x)在（-o,0)上单调递增， .I[f(x+t)-f(x]-[f(x)-f(x-]曰f(x+t)-fx)川-|f(x)-f(x-)儿， [f(x+)-f(x)>f(x)-fx-) ∴.对于任意t>0总存在f(x+t)>f(x)>f(x-) 成立， f()在R上单调递增，得证 考点03基本不等式 1.B 1 2.40.25 3.2 4.4 5.12 1 6.16 7.9 &3 9.(1)当M(0,0)时， --09+0=+222=2. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 当且仅当x2= 2即x=1时取等号， M(0,0) (1,1) 故对于点 存在点 使得该点是 M0,0)在f(四的“录近点” P(0,1) (2)存在， 3)严格单调递减 x2 10.04+y2=1 (2②由B0-儿.Ca,2,得直线BC的方程为：y=2-1, 1 由A(-a,0,Da,,得直线AD的方程为：y=2ax+a), 3a4 联立两方程，解得交点为5， 代入椭圆方程的左边，得了一 + o. 916=1, 25'25 故直线BC与AD的交点在椭圆上： 3)6 考点04集合分式不等式 1.(-2,3) 2.（-7,2) 3 {x0<x< 4.(-0,0) V一年模狐练测园 1.A 317 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.B 3.D 4c 5c 6.A 7.D 8.2 91≤x<0y 10.{0<x≤2 11.1 120,2） 132 4.o, 15.(2,+∞)，2) 16ta-2<a≤-1a=0y 或 17.1 9 18.24.5 192+V5 20.2v2 2109 22.4 23.(0, 240) 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.16 26.(1)证明： 因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac 根据余弦定理：cosB=a2+c2-=a2+c2-ac 2ac 2ac 由基本不等式 2+c2≥2ac(a>0.c>0),当且仅当=C时取等号， 代入得：cosB≥2aC-ac1 2ac2,原不等式得证. (2)6 27.a10<a<5 (3)当a≥1时，[f(a-f0[f-a)-f01≥a2>0 数fa)f0)与-a)-/o同号. 取a=1得[f四-f(o1[f(-)-f01≥1>0， 不妨设f0>f0),测f(-)小>fo)】 由连续性与零点定理可证，对任意a≥1/f(-a)>f(0),f(a)>f0), 当a≥1时，[f+)-f0f0-a)-f02a2>0 取a=1得[f(2)-f⑩][f(0)-f)≥1>0， 因f0)f0k0,故2)-f0<0. 同理可证：对任意t≤0，f()<f0,即对任意a21f(-a)<f0, 记C=f0-f0)>0,则对任意a≥10<-0-f0<C. 结合f@-f01[f-a)-f0≥a2 517 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9o-0>g→f1a>0m-c C①， 对任意b≥2，令a=b-1≥1， 代入50的不等式得f⑥)-f0f2-b)-f0]≥b-l, 因2-b≤0，故0<f0-f2-b)<C 结合f6)-f0<0,有<f0-6 C②， 结合0Q.对任意6≥2有0-C+ <f0-6- C 化简得28-2b+1-C)<0 但左边是开口向上的二次函数， 当b→+0时趋向+0，不可能恒成立，矛盾. 因此不存在满足条件的函数 28.0<x<2+1 2(6,+o) 9.@活数=钊和后数=g回为r质数.是：f=m.-f小2版-引-eZ g(x)=cosx g(x)min =g(2kn+n)=-1,kZ f(r)nmn=g(x)min, {x=2 -7.kczokls=2版+xe乃=0 所以函数”=()和函数'=8（四的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数： ②)4+25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 717 专题02 不等式 10年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2017-2026） 命题规律 考点01不等式性质 2020/2022/2024/2026均考查，单选+填空+解答 基础题用举反例、作差判断不等关系；解答结合分段函数、指数不等式综合，侧重范围求解与最值分析 考点02一元二次不等式 2021/2024/2025/2026全覆盖，全题型 基础题直接求解解集；2026创新结合导数切线、直线交点，融合解析几何，综合性大幅提升 考点03基本不等式 2019-2026年年必考，填空为主、解答压轴 填空常规求最值；解答搭配函数新定义、椭圆解析几何，强调 “一正二定三相等”，压轴侧重多条件最值 考点04分式不等式 2017/2021/2022/2026填空 基础送分题，统一转化整式不等式求解，题型稳定无复杂综合，难度最低 考点01 不等式性质 1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 2．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 3．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 4．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用不等式的基本性质得解. 【详解】，但，，A、C错 ，，所以.B正确. ，但，D错. 故选:B. 5．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________. 【答案】/ 【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 6．（2020·上海·高考真题）已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1）；（2）时，. 【分析】（1）当时根据函数的解析表达式，利用指数函数的单调性得到，进而解得；当时，利用不等式的基本性质可得,此时无解. （2）根据已知条件，结合函数的解析式，求得的值，进而分段讨论，当时可利用不等式的基本性质得到, 当时利用二次函数的性质求得>400，从而得到答案. 【详解】（1）当时，,即,； 当时，,此时无解. 综上所述，； （2）当时，,解得, 当时， 当时，, 当 时取得最大值. 综上所述当 时取得最大值，. 【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的基本性质，函数的最大值，指数函数的单调性，指数不等式和不等式的求解，属中档难度试题，关键在于分段讨论.难点在于（2）中的求最值部分，当时，关于的函数的单调性比较复杂，先探求范围，求出当时的最值，这样可以避免对复杂函数的单调性的分析. 考点02 一元二次不等式的解法 1．（2021·上海·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，或 由 和不存在包含关系， 故选：D 2．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 3．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 5．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】将不等式化为，即可得答案. 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 6．（2026·上海·高考真题）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 7．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，. (1)若，，经甲变化得到，求方程的解； (2)若，经乙变化得到，求不等式的解集； (3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题设可得，求解即可. （2）由题设有，讨论、分别求解即可. （3）将题设化为对于任意存在，即可证结论. 【详解】（1）由题设，甲变化为，则， ∴，解得. （2）由题设，，又， ∴， 当，即时，则，恒成立； 当，即时，则，解得：或. 综上，不等式解集为. （3）由题设，，则， ，则， ∵当成立，在上单调递增， ∴， ∴对于任意总存在成立， ∴在R上单调递增，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意存在，判断函数在实数域上单调性. 考点03 基本不等式 1．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确. 【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 2．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 3．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2． 【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 5.（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 6．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 7．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则______. 【答案】 【详解】因为函数有最小值，所以， 因为，， 若,则由对勾函数的性质可得在R上单调递增，不合题意； 当时，， 因为函数最小值为， 所以，解得. 8．（2019·上海·高考真题）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______ 【答案】 【分析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果. 【详解】依题意得：， 则 当且仅当即时取等号，故 本题正确结果： 【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果. 9．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)严格单调递减 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则， 因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而， 故在点处的切线方程为. 而，故， 故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③+④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可. 10．（2022·上海·高考真题）在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F. (1)若∠AFB，求椭圆的标准方程； (2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由； (3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值. 【答案】(1) (2)交点为，在椭圆上，理由见解析 (3)6 【分析】（1）写出三点的坐标，可将用坐标表示出来，求出的值，再结合已知条件，即可求出，进而写出椭圆的标准方程； （2）根据条件，写出直线和的方程，求出交点坐标，再将其代入椭圆标准方程的左边，即可判断该点与椭圆的位置关系； （3）利用三角换元（或者椭圆的参数方程）的方法设出点的坐标，再结合点的坐标，写出直线和的方程，求出点的坐标，表示出，再利用三角恒等变换以及同角三角函数关系化简，最后根据重要不等式计算出的最小值. 【详解】（1）由题可得，又， 所以，解得， 所以， 故椭圆的标准方程为； （2）由，得直线的方程为：， 由，得直线的方程为：， 联立两方程，解得交点为， 代入椭圆方程的左边，得， 故直线与的交点在椭圆上； （3）由题有 因为两点在椭圆上，且关于原点对称， 则设， 直线，则， 直线，则， 所以 设，则， 因为， 所以，则，即的最小值为6. 【点睛】关键点点睛：第（3）小题中，以三角函数形式（参数方程）设点是解题的关键，进而利用三角恒等变换和同角三角函数关系（二次齐次分式化正余弦为正切）将化简，最终利用重要不等式求出其最小值. 考点04 集合分式不等式 1．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2．（2021·上海·高考真题）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解． 【详解】． 故答案为：． 3．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________. 【答案】 【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集. 【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集. 故答案为： 【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题. 4．（2017·上海·高考真题）不等式的解集为________ 【答案】 【详解】 由题意，不等式，得，所以不等式的解集为. 一、单选题 1．（2026·上海·三模）“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】若“”，则“”，所以“”“”； 若“”，则或，即或； 所以“”推不出“”； 所以“”是“”的充分非必要条件. 2．（2026·上海·三模），是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， ， 显然当成立时，不一定成立，例如， 当成立时，显然一定成立， 所以，是的必要不充分条件. 3．（2026·上海静安·二模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由解得或，即集合， 由可得，解得，即集合； 所以. 4．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 5．（2026·上海闵行·二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（    ） A．①不正确，②不正确 B．①正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】C 【详解】设，则， 对于①，当时，，故，满足点到轴与轴的距离之差为1，①正确； 对于②，由基本不等式可得，即，故，②错误. 6．（2026·上海·三模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 7．（2026·上海奉贤·二模）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，可得，又，所以，故A错误； 由，所以，故，故B错误； ， 因为，所以，则，故C错误； 由，可得，又，所以，故D正确. 故选：D 二、填空题 8．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 9．（2026·上海·三模）不等式的解集是______． 【答案】 【详解】， 所以原不等式的解集为. 10．（2026·上海·三模）不等式的解集为______． 【答案】 【详解】原不等式等价于，即，解得，所求解集为． 11．（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 12．（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 【答案】 【详解】，则，解得或， 即， 已知全集为，补集． 13．（2026·上海·二模）设全集为，集合，则________． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法，可求得集合A，即可得答案. 【详解】由，得，解得或， 又，所以，则. 14．（2026·上海黄浦·二模）若，，则______． 【答案】 【分析】解不等式化简集合B，进而可求交集. 【详解】由题意可知：集合， 且集合，所以. 15．（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 【答案】/ 【详解】因为，所以，即，所以解集为 16．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 17．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解. 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 18．（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为正实数满足， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 19．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值． 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 20．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 21．（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为，即， 令， 解得， 所以的解集为. 即不等式的解集是. 22．（2026·上海长宁·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________． 【答案】4 【分析】直接利用基本不等式计算得到答案. 【详解】，当，即，时等号成立， 则的最小值为4． 故答案为：4． 23．（2026·上海黄浦·三模）不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据分式不等式的求法可直接求得结果. 【详解】由得：，解得：，即不等式的解集为. 故答案为：. 24．（2026·上海嘉定·二模）解不等式，则不等式的解集是___________ 【答案】 【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解. 【详解】根据题意，由，得，即，解得，故解集为. 故答案为：. 25．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 三、解答题 26．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 【答案】(1)证明： 因为成等比数列，所以. 根据余弦定理： 由基本不等式，当且仅当时取等号， 代入得：，原不等式得证. (2)6 【分析】（1）由等比数列性质可得，进而结合余弦定理写出的表达式，再利用基本不等式证明； （2）由等差数列性质求出角的值，再结合，利用余弦定理得到的关系式，结合基本不等式求的最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）略 （2）因为成等差数列，所以， 结合三角形内角和，得. 已知，由余弦定理：， 整理可得：，由基本不等式， 代入得：， 因此，当且仅当时取等号. 故周长， 所以周长的最大值为. 27．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【答案】(1) (2) (3)见解析，不存在 【分析】（1）根据集合定义，结合，得到不等式求解； （2）法一：根据集合定义，结合得到恒成立求解；法二：因为对任意实数均有，所以等价于对任意、，不等式恒成立，所以将，，代入不等式，化简得到关于和的式子，将式子转化为关于的二次型恒成立问题，利用二次函数恒成立的条件求解的范围； （3）考虑构造满足条件的函数，通过反证法证明不存在. 【详解】（1）由题意得， 即， 即，化简得， 因为，所以，所以； （2）法一：由题意得， 即， 即， 当时，， 而， 所以，解得， 因为，所以； 法二：由题意得， ， ， 即， 整理为关于的二次函数恒成立问题， 该二次函数开口向上（），对称轴， 要对所有恒正，需判别式： 可得， 化简得， 令，式子变为， 该二次函数开口向上，对称轴， 最小值处， 结合，解得； （3）当时，， 故与同号， 取得， 不妨设，则， 由连续性与零点定理可证，对任意， 当时，， 取得， 因，故， 同理可证：对任意，即对任意， 记，则对任意， 结合， 得①， 对任意，令， 代入的不等式得， 因，故， 结合，得②， 结合①②，对任意有， 化简得，但左边是开口向上的二次函数， 当时趋向，不可能恒成立，矛盾. 因此不存在满足条件的函数. 28．（2026·上海·二模）设． (1)解不等式：； (2)设，若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简，解一元二次不等式即可； （2）先求证的奇偶性和单调性，将问题转化为存在，使得，求一元二次函数的最小值即可. 【详解】（1）因为，， 所以，得， 故的解集为； （2），则， 所以为奇函数， 易得， 因为，等号成立时，所以， 则在上单调递增， 若存在，使得， 则存在，使得， 则存在，使得，即， 因为函数图象关于对称，其在上的最小值为，则， 故实数a的取值范围为. 29．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【答案】(1)函数和函数为T函数，理由：，， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数； (2)； (3) 【分析】（1）根据T函数的定义判断； （2）由T函数的定义求得，然后由基本不等式求得最小值； （3）先求得和的最小值和最小值点，根据题意得出，， 然后消去得关于的等式，构造函数使用同构法得出，，再利用导数求得的范围． 【详解】（1）略 （2），， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； （3）是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式 10年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2017-2026） 命题规律 考点01不等式性质 2020/2022/2024/2026均考查，单选+填空+解答 基础题用举反例、作差判断不等关系；解答结合分段函数、指数不等式综合，侧重范围求解与最值分析 考点02一元二次不等式 2021/2024/2025/2026全覆盖，全题型 基础题直接求解解集；2026创新结合导数切线、直线交点，融合解析几何，综合性大幅提升 考点03基本不等式 2019-2026年年必考，填空为主、解答压轴 填空常规求最值；解答搭配函数新定义、椭圆解析几何，强调 “一正二定三相等”，压轴侧重多条件最值 考点04分式不等式 2017/2021/2022/2026填空 基础送分题，统一转化整式不等式求解，题型稳定无复杂综合，难度最低 考点01 不等式性质 1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________. 6．（2020·上海·高考真题）已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 考点02 一元二次不等式的解法 1．（2021·上海·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 3．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 5．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 6．（2026·上海·高考真题）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 7．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，. (1)若，，经甲变化得到，求方程的解； (2)若，经乙变化得到，求不等式的解集； (3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增. 考点03 基本不等式 1．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 3．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 5.（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 6．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 7．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则______. 8．（2019·上海·高考真题）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______ 9．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 10．（2022·上海·高考真题）在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F. (1)若∠AFB，求椭圆的标准方程； (2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由； (3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值. 考点04 集合分式不等式 1．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 2．（2021·上海·高考真题）不等式的解集为______. 3．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________. 4．（2017·上海·高考真题）不等式的解集为________ 一、单选题 1．（2026·上海·三模）“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．（2026·上海·三模），是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·上海静安·二模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海闵行·二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（    ） A．①不正确，②不正确 B．①正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 6．（2026·上海·三模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2026·上海奉贤·二模）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 9．（2026·上海·三模）不等式的解集是______． 10．（2026·上海·三模）不等式的解集为______． 11．（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________． 12．（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 13．（2026·上海·二模）设全集为，集合，则________． 14．（2026·上海黄浦·二模）若，，则______． 15．（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 16．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 17．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 18．（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为______. 19．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 20．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 21．（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 22．（2026·上海长宁·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________． 23．（2026·上海黄浦·三模）不等式的解集为___________． 24．（2026·上海嘉定·二模）解不等式，则不等式的解集是___________ 25．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 三、解答题 26．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 27．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 28．（2026·上海·二模）设． (1)解不等式：； (2)设，若存在，使得，求实数a的取值范围． 29．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $