1.1.1 空间向量及其运算（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练通过A、B、C组及高考拓展的分层设计，实现从空间向量概念辨析到综合应用的梯度进阶，强化抽象能力与空间观念，适配新授课差异化巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|空间向量概念、加减/数乘/数量积运算|以选择、填空为主，聚焦基础辨析与单一运算，如共线向量判断、向量线性表示| |B组能力进阶|几何模型中向量综合运算|结合平行六面体、三棱锥等模型，强化运算能力，如用基底表示中点向量| |C组思维拔高+拓展|夹角、距离、最值等综合问题|涉及二面角、异面直线距离及高考真题，培养推理意识与创新意识|

分层作业 1.1.1　空间向量及其运算 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 11 答案 D C ABC ABD B B B A A 5． 10． 1 2 3 4 5 6 7 C D B C C A B 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B B B BCD A C D B A D B B 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.1　空间向量及其运算 目 录 A组 巩固过关 题型01 空间向量的概念 题型02 空间向量的加减运算 题型03 空间向量的数乘运算 题型04 空间向量的数量积 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   空间向量的概念题型01 1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 3．（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 空间向量的加减运算题型02 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．    6．（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 空间向量的数乘运算题型03 7．如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 空间向量的数量积题型04 10．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 11．在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 12．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 1．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川达州·期末）在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在四面体中，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津和平·期末）长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D．6 9．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 11．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·重庆·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 13．（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 14．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 17．（25-26高二上·广东江门·期末）如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·湖北·期末）已知是空间中3个两两垂直的单位向量，向量，（为正数）且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.1　空间向量及其运算 目 录 A组 巩固过关 题型01 空间向量的概念 题型02 空间向量的加减运算 题型03 空间向量的数乘运算 题型04 空间向量的数量积 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   空间向量的概念题型01 1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 3．（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 空间向量的加减运算题型02 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用重心的性质得出，再利用向量的加减法计算求出，判断选项A；利用中点的性质计算，判断选项B；计算判断选项C；计算判断选项D． 【详解】 选项A：取中点，则是的一条中线，重心为，则， ， ， ，故A正确； 选项B：已知是中点，是中点， ，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：， ， 是中点， ，故D正确． 故选：ABD． 5．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．    【答案】 【分析】先求出向量的表达式，再利用中点性质得到，最后通过向量减法求出. 【详解】，因为是的中点， 所以，但，而， 所以. 故答案为： 6．（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中线向量公式，再结合向量的减法，即可求解. 【详解】    由是的中点，可知， 故选：B 空间向量的数乘运算题型03 7．如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 8．如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：B 9．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 空间向量的数量积题型04 10．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 11．在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 12．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 1．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的三角形法则计算即可求解. 【详解】. 故选：C. 2．（25-26高二上·四川达州·期末）在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形法则即可求解. 【详解】. 故选：D 3．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在四面体中，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可． 【详解】如图所示， 因为是CD的中点，所以，也即， 因此． 故选：B． 4．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：. 故选：C. 5．（25-26高二上·天津和平·期末）长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法、减法运算化简. 【详解】. 故选：C 6．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 7．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算计算可得到结果. 【详解】因为点为线段的中点，所以 因此 故选：B. 8．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】根据空间向量垂直的条件得出向量数量积为零，进而进行坐标运算求解． 【详解】，， ，解得，故A正确． 故选：A． 9．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】. 故选：B 10．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 11．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 12．（25-26高一下·重庆·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量运算，线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用，对各个选项进行推理判断. 【详解】连接正方形对角线交于，则是、的中点， 在A选项中，，其中，又是中点，是中点， 是的中位线，故， 因此整理可得：与选项表达式不符，A错误， 在B选项中，由中位线性质得，又平面， 平面，可得平面，B正确， 在C选项中，由平面，平面，得， 正方形对角线互相垂直，故，，平面， 所以平面，平面，故，C正确， 在D选项中，由平面，平面， 可得平面平面，两平面交线为， 点到平面的距离等于点到交线的距离， ，，故，到直线的距离等于的长度， ，因此点到平面的距离为，D正确.    13．（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 14．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得. 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 15．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 16．（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 17．（25-26高二上·广东江门·期末）如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则且，由，平方化简得到，求得，即可得到答案. 【详解】因为，且，的夹角为，且，， 设，则且， 由， 可得 ， 又由 ， 所以，所以，即线段的长度的取值范围为. 故选：A. 18．（25-26高二上·湖北·期末）已知是空间中3个两两垂直的单位向量，向量，（为正数）且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量，，利用向量的数量积运算可得，代入所求式子结合二次函数求最值. 【详解】以为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量，， 所以，可得， 所以， 当时，的最小值. 故选：D. 19．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：B． 20．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】B 【分析】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【详解】由图可知，且； 所以 . 所以. 故选：B. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $