第二十五章一元二次方程（暑假单元测试卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上学期第25章一元二次方程单元卷，120分钟120分，覆盖25.1-25.3，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合社会热点与文化传承，适配暑假复习，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、配方、根的判别式|基础概念辨析，如第1题考定义，第3题考判别式| |填空题|6/18|参数方程、韦达定理|第15题两根关系，第16题“登高数”创新定义| |解答题|8/72|解法、实际应用、综合探究|20题“一盔一带”销量增长（社会热点），21题赵爽几何解法（文化传承），24题养殖基地设计（综合实践）|

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期单元测试卷 第25章一元二次方程 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：第25章一元二次方程(25.1-25.3)。 第一部分（选择题共30分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是() A.2x+3=4 B.ax2+bx+c=0 C.x2-mx-1=0 D.x+y=2024 2.方程x2+6x-7=0经过配方可变形为() A.(x+3)2=16B.(x-3)2=16 C.(x+6)2=16 D.(x-6)2=16 3.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是() A.x2-1=0 B.x2-x-1=0 C.x2-2x-1=0 D.4x2+4x+1=0 4.若，5是方程r+2r-5=0的两个根，则2 ,2x1-xx2+2x2 的值为（) A.-9 B.-1 C.1 D.0 5.已知a是方程x2+3x+2=0的一个根，则代数式a2+3a的值为() A.-2 B.-4 C.-1 D.-4或-10 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.已知实数a,b满足 口2+2b(a+2-3)=10,则a2+2 的值为() A.5或-2 B.-5或2 C.5 D.2 7.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x人， 则根据题意列方程为() A.2x(x-)=66B.x(x-1)=66 C.2x(x+)=36D.xx+1)=66 8.定义：关于x的一元二次方程a(r-h)+k=0与a(c-)+k=0称为“同形二次方程”(aa,≠0). 现有关于x的方程3(x+2)-5=0与方程(2a+1)x2+(b+4)x+3=0是“同形二次方程”.则代数式 -2ax2+bx-2026的最大值是() A.-2022 B.-2024 C.-2026 D.-2028 9.对于实数a、b,定义运算“☆”如下：a☆b=ab2-ab,例如：3☆2=3×22-3×2=6，则方程 2☆x=3的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 10.如图，在Rt△ABC中∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向C点匀速运 动，其速度为2m/s,几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半() 12m 0 B 9m A.1.5 B.9 c.1.5或9 D.10 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.已知关于x的方程（化+1）x1-3x+1=0是一元二次方程，则k的值为一 (x+3)(x+4)=0 12.方程 的根是 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)2 1B.已知关于，的方程-m+n=0通过配方可变形为-号1名，则的值为 14.若关于x的方程m2+1=2x(m为常数)有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 15.已知关于x的一元二次方程？+4x+m=0有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m 16.如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位 数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”.例如：m=2345,满足2<3<4<5，且 2+5=3+4,所以2345是“登高数”：n=2355,其中2<3<5=5，所以2355不是“登高数”.则最大 的四位“登高数”是 一：对于一个“登高数”m=abcd 先交换其千位和个位数字，再交换十位 和百位得到新数m=da规定：F(m)-m+m+2 121一.当F(m)为整数时，则满足条件的m的最大值与 最小值的差为 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分)选择适当的方法解下列方程： 2x2-3x=0 2)-4+3=0 18。(6分)已知关于×的方程+2x-k=0有两个实数根，西 (1)求k的取值范围 (x+x2)=x2-3 (2)若 ”,求的值 19.(8分)已知P,9分别为满足条件的最大整数，关于x的方程x+4x-2p=0没有实数根，而方程 x2+5x+2q=0有两个不相等的实数根。 (1)求P,9的值： (2)试判断关于x的方程x+px+q=0的根的情况； (3)若4x2+4g(n+1)x+(5p-3)n为完全平方式，求常数n的值. 20.(8分)公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量.某头盔经销商5至7 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 月份统计，某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相 同.请解决下列问题： (1)求该品牌头盔销售量的月增长率： ()为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能 是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产 头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 21.(10分)三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法， 以解一元二次方程x2+3x-10=0为例： 将方程x2+3x-10=0写成x(x+3)=10: 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为(x+x+3,4个小长方形与正方形的面积的和为4x(x+3)+32,即4×10+9=49. 所以，(x+x+3)=49.易得一个正实数根x=2. 请用构造几何图形方法解决下列问题： x+3 x+3 x+3 x+3 图1 图2 (1)一元二次方程x2+2x-24=0的一个正实数根为； (2)关于x的一元二次方程x+5x-n=0(n为常数)，在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一 元二次方程的正实数根及的值.（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）， 22.(10分)某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日 均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件.设该商品的售价定为×元/件. (1)用含×的式子表示出该商品每日的销售量： (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价. 23.(12分)阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程 的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 4/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则可将 m,n看作方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数a,b满足a+b=3,ab=2,则可以将a,b看作方程 x2-3x+2=0 的两个实数根， 根据上述材料解决下列问题： 尼知元=次方程-3x-3=0的两根5，。，则+场 X1X2= ”+m 2已知实数m,n满足3m2-m-2=0?3n2-n-2=0,求m十n的值： 3已知实数a,b,c满足a-b=c-5,ab-6 c-5,且c<5,求c的最大值. 24.(12分)综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区BDEF和矩形 配料区FEHG (DE>EH) 的养殖基地 建造方案： 粗线A-B-C表示“L"形墙，已知AB=2m,BC=30m.现计划用118m的钢架栅栏（细线表示，且其粗 细忽略不计)围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在AF，FG段各开一个宽为2m的门，为了充分利用 墙体，点D必须在线段BC上. 问题解决： B G D (1)若围成的矩形养殖基地BDHG的面积为925m,求BD的长. 5/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)围成的矩形配料区FEHG的面积能否达到468m？若能，请求出GH的长；若不能，请说明理由. 5-1 (3)当矩形的宽与长的比值为2时，该矩形为黄金矩形.若该矩形养殖基地BDHG是黄金矩形，请直接 写出GH的长. 6/6 2026-2027学年九年级上学期单元测试卷 第25章 一元二次方程 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第25章 一元二次方程（25.1-25.3）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 2．方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 3．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 根的判别式为， 当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项： A选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； B选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； C选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； D选项：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，符合要求． 4．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 5．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 6．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 7．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为人，则根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设到会人数为x，每个人与其他人握手，但每次握手被计算两次，因此总握手次数为，据此列方程． 【详解】解：∵ 到会人数为x，则每个人与其他人握手，每两人握手一次，且握手总次数为66， ∴ ． 故选：A． 8．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 9．对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 10．如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得出，结合运动速度和运动方向得，根据三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设秒后的面积是面积的一半， 则， ∵点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为， ∴， 故， 即， ∴， 整理得 ∴ 解得或， 当时，则不符合题意； ∴秒后的面积是面积的一半， 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 12．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 13．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 14．若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，可得二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：， 的取值范围是且． 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 16．如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”．例如：，满足，且，所以2345是“登高数”；，其中，所以2355不是“登高数”．则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：．当为整数时，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 6789 2178 【分析】根据“登高数”的定义可直接求得最大的四位“登高数”，再根据数位表示法表示出和，化简后根据为整数得到的值，再结合和列举所有符合条件的，即可求出最大值与最小值的差. 【详解】解：根据“登高数”定义，要得到最大的四位“登高数”，需满足，且， 当千位数，则，，，不存在符合条件的， 因此最大为，此时，取，，满足，且， 因此最大的四位“登高数”是； 设“登高数”，则， ∴ ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵为整数， ∴是的倍数， ， ∴， ∴，即， ∵，， ∴或或， 当时，符合条件的为； 当时，符合条件的为； 当时，符合条件的为； 当时，不存在符合条件的； ∴满足条件的中，最小值为，最大值为，差值为. 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1） 解： 所以，或 所以，； （2） 解： 所以 所以，． 18．（6分）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解决此题的关键． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19．（8分）已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3) 【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解； （1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴； （2）解：将代入方程，得方程为， 其判别式 ， ∴方程没有实数根； （3）解：把代入得， ∵为完全平方式， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 计算该方程的判别式得， ∴ ． 20．（8分）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题： (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同，进行设该品牌头盔销售量的月增长率为x．再列式计算，即可作答． （2）根据一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设增加y条生产线， 由题意得：． 解得， ∵生产线越多，投入越大， ∴不符合题意，舍去， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，应该增加4条生产线． 21．（10分）三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 【答案】(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【分析】（1）根据题意可得，构造边长为的大正方形，再仿照例题求解即可； （2）根据题意可得，构造边长为的大正方形，可求出大正方形的面积为，也为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． 22．（10分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】(1) (2)该商品的售价为20元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 23．（12分）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 24．（12分）综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 【答案】(1)的长为 (2)不能，见解析 (3)或（）． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，黄金分割，正确的列出方程是解题的关键： （1）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程进行求解即可； （2）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，求出的值，进而求出的长，根据，进行判断即可； （3）根据黄金分割，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：设的长为，由题意，， 则：， 解得或（不合题意，舍去）； 故的长为； （2）不能，理由如下： 设的长为，由题意，当时， 解得或， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 故矩形配料区的面积不能达到； （3）由（1）可知：， 由题意，可知：， 解得． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $