微专题集训14 函数模型及应用-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，通过真实情境题组构建从概念抽象到问题解决的逻辑链条，强化数学建模与数据分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数函数模型|3题（含2025北京卷T9）|给定模型求参数/增量，结合科技情境|从对数运算性质到实际问题量化分析| |指数函数模型|4题（含糖块溶解/光纤衰减）|指数方程求解/图像分析，涉及生物、通信领域|指数增长/衰减规律与现实过程建模| |分段函数模型|1题（天然气计费）|分段计算与费用反推，贴近生活|分段函数定义与实际收费规则对应| |幂函数模型|1题（史蒂文斯定律）|多选项判断，结合心理感受量化|幂函数性质与跨学科情境应用|

微专题集训14　函数模型及应用 [真题精准练] 1．B　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B. 2．D　对于A，当T＝220，P＝1026，即lg P＝lg 1026≈lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态，故A错误；对于B，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态，故B错误；对于C，当T＝300，P＝9987，即lg P＝lg 9987≈lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态，故C错误；对于D，当T＝360，P＝729，即lg P＝lg 729∈(lg 102，lg 103)，即lg P＝lg 729∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态，故D正确．故选D. 3．ACD　因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[50，60]，所以，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝，因为＝40，所以p3＝＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则，所以>10，所以>20，不可能成立，故B不正确；因为≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，选ACD. [高考变式练] 1．B　由题可得60＝10×lg ⇔＝6⇔＝106，且＝109，则＝103，lg ＝lg 103＝3，故选B. 2．D　设天然气使用量为x m3，天然气费为f(x)元，则f(x)＝由于f(400)＝1000<1360<f(600)＝1720，则400<x<600，所以3.6(x－400)＋1000＝1360，解得x＝500，所以天然气使用量为500m3，故选D. 3．A　由题意，当t＝0时，S＝a＝7，当t＝5时，S＝7e-5k＝3.5，则e-5k＝，则－5k＝ln ＝－ln 2，即k＝.故选A. [最新模拟练] 1．B　由题意可得：＝P0e-3.5α，即e-3.5α＝，得3.5α＝ln 2，P(z1)＝400＝，P(z2)＝25＝，两式相除可得：16＝，两边同时取对数可得：ln 16＝－αz1＋αz2＝α(z2－z1)，所以z2－z1＝＝14，则它们的比值不会是固定值．故选B. 2．C　由P(t1)＝代入化简得＝8，　① 由P(t2)＝得＝2，　② ①除以②得＝4，则t2－t1＝ln 4＝2ln 2.故选C. 3．B　设x年后A设计方案计算量更高，则x年后，A设计方案计算量为N1x，B设计方案计算量为3N1·x，则N1x>3N1x⇒x>3⇒x lg >lg 3⇒x>≈4.92，预计至少5年后A设计方案计算量更高．故选B. 4．B　对于①，令a＝(a>0)，则f(t)＝，所以f′(t)＝，当且仅当ae－rt＝，即ae－rt＝1，即e－rt＝1，即t＝ln 时取等号，即f′(t)有最大值，故①正确；对于②，令t4＝ln ，则＝1，f(t4)＝，所以f(t)＋f(2t4－t)＝＝K，故②正确； 对于③，表示点表示点(t1，f(t1))与点(t3，f(t3))连线的斜率，不妨令A(t1，f(t1))，B(t2，f(t2))，C(t3，f(t3))，取如图所示三点A(t1，f(t1))，B>，故③错误．故选B. 5．A　由题意可设f(t)＝k(t－12)2＋82，t∈(0，14]，由图象得f(14)＝81，所以k＝－.又因为81＝loga(14－5)＋83，所以loga9＝－2，a＝.要使学习效率最佳，需y≥80，所以或 解得12－2≤t≤14或14≤t≤32，所以12－2≤t≤32，因为32－＝20＋2≈22.828.所以最佳的时间共有22.828分钟．故选A. 6．ABD　对于A，S＝I2，则I＝，由S3>S2可知I3>I2，故A正确；对于B，注意到I5＝2故I5≥I1，即2I5≥3I1，故B正确；对于C，S＝I3，则3＝，当S2＝11，S4＝17，S3＝12时，3＝>1，可得，故C错误；对于D，S＝I4，则4＝>1，可得I1I2I4>I3I5，故D正确．故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训14　函数模型及应用 1．(2025·北京卷T9)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A．2　　　　　　 B．4 C．20 D．40 2．(2022·北京卷T7，中)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 3．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷T10，中)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 1．分贝数dB由声音强度I(单位：W/m2)与基准声强I0(通常取10-12 W/m2，是人耳能听到的最弱声音)的比值共同决定：dB＝10×lg .一场演唱会的声音强度Ic是基准声强I0的109倍，而普通交谈时的声音分贝约为60 dB.记普通交谈时的声音强度为I1，则lg ＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 2．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400 m3的部分 2.50元/m3 超过400 m3但不超过600 m3的部分 3.60元/m3 超过600 m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为(　　) A．610 m3 B．600 m3 C．544 m3 D．500 m3 3．经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则k＝(　　) A． B． C．ln 2 D．ln 3 1．(2026·湖南岳阳模拟)在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率(单位：W)可表示为P(z)＝P0e－αz，其中P0为起始光功率(单位：W)，α为衰减系数，z为接收信号处与发射器间的距离(单位：km). 已知距离发射器3.5 km处的光功率衰减为起始光功率的一半. 若距离由z1 km变到z2 km时，光功率由P(z1)＝400 W变到P(z2)＝25 W，则(　　) A．z1－z2＝14 B．z2－z1＝14 C．＝14 D．＝14 2．(2026·安徽合肥期中)在一个有限的资源和空间环境下，某种生物的数量P(t)与时间t(单位：天)的关系式为P(t)＝，其中K，A为正常数．已知该种生物数量为时，所对应的时间分别为t1，t2，则t2－t1＝(　　) A．ln 2 B．ln 3 C．2ln 2 D．2ln 3 3．(2026·山东淄博模拟)随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长. 某公司现有新一代AI芯片A、B两套研发方案，若A设计方案中初始计算量为N1 ，每年增长50%；B设计方案中初始计算量为N2(N2＝3N1)，每年增长 20%.如此预计至少几年后A设计方案计算量更高？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477 )(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 4．(2026·北京朝阳期中)某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量N与时间t之间的关系可以由函数N＝f(t)＝刻画，其中常数N0(N0>0)表示该种群数量的初始值，常数K(K>N0)表示该种群环境容纳量，常数r(r>0)表示内禀增长率，函数N＝f(t)的图象如图所示． 给出下列三个结论： ①函数f(t)的导函数f′(t)有最大值； ②存在t0>0，使得函数f(t)在区间(0，t0)的图象是中心对称图形； ③对于任意的0<t1<t2<t3，有成立． 其中所有正确结论的序号是(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 5．(2026·广东揭阳名校联考)为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数y与时间t之间的关系近似满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40)时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有____分钟．(参考数据：≈1.414，≈1.732，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．22.828 B．9.172 C．21.172 D．21.477 6．(多选)(2026·辽宁丹东名校联考)在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：S＝k·In，其中k为非零常数，n为幂常数，S为主观感觉强度，I为物理刺激强度，I>0.现有如下RPE(主观感觉强度)表： 强度 S1 S2 S3 S4 S5 自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20 已知在临床条件下k＝，在RPE强度为Si时得到的实际物理刺激强度为Ii，则(　　) A．当n＝2时，I3>I2 B．当n＝2时，2I5≥3I1 C．当n＝3时 D．当n＝4时，I1I2I4>I3I5 学科网（北京）股份有限公司 $