精品解析：河北邯郸市永年区第二中学等校联考2025-2026学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

2025—2026学年第二学期质量检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于x轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在复平面内，复数对应的点为，因此复数对应的点为， 所以. 2. 样本数据的平均数为4，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】因为样本数据的平均数为4， 所以，解得，故A正确. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，由正弦定理得， 则，因为，所以， 解得，而，可得，故B正确. 4. 已知向量，，若且，则（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，， 所以，解得或（舍去）， 则，，得到. 5. 某高中学校共有学生2700人，其中高一900人，高二1000人，其余为高三学生．该校为了调查学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方式，从高一与高二的学生中共抽取38人，则应从高三学生中抽取（ ） A. 20人 B. 18人 C. 16人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解. 【详解】由题意可得，高一900人，高二1000人， 则高一高二总占总人数占比为，高三占总人数比例为， 又因为高一与高二的学生中共抽取38人， 设高三学生抽取人，则，解得. 6. 在中，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算公式化简可得. 【详解】由题意可知，如图所示， 已知，所以，即，所以， 所以，故D正确. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为,再由余弦定理求解. 【详解】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为. 如图，，,所以 是 中点，，，中，由余弦定理得 ,所以 所以 的最小值为 . 8. 已知点P在矩形的边及其内部运动，且，，，若的最小值为，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加法运算及数量积运算可得，当与反向共线时，取得最小值为，再利用坐标法结合数量积运算列式求解即可. 【详解】， , 所以， 当与反向共线时，取得最小值为， 此时， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 所以，又， 所以，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行、垂直关系与面面垂直、平行关系的判定与性质定理逐项判断即可. 【详解】A项：由，，得, 又，则，故A正确； B项：由，，得. 又，则内存在直线，所以， 即内有一条直线垂直于，故，B正确. C项：由，得或，结合，可得或，无法推出，故C错误. D项：由，，得. 又，则，故D正确. 10. 已知复数，则（ ） A. B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对A，，故A正确； 对B，，则其在复平面内所对应的点的坐标为在第一象限，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误. 11. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，x表示第一次抛掷骰子的点数，y表示第二次抛掷骰子的点数．记事件，，，，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件和独立事件的定义进行判断即可. 【详解】由已知可记抛掷结果为，共有种结果. 对于A：存在公共事件，所以与不互斥，故A错误； 对于B：两次点数和不可能同时为5和7，所以与互斥，故B正确； 对于C：，，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D：事件含有样本点为共6个，则， 事件含有样本点为共2个，则， 又因为所以，即与相互独立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校高二（1）班有30名女生，其身高数据（单位：）按从小到大排序如下： 151 152 154 154 154 155 156 156 158 158 160 160 161 161 162 162 162 163 163 164 164 165 165 166 166 167 168 169 170 171 则这30名同学身高数据的第70百分位数为________． 【答案】164.5## 【解析】 【详解】由题意得，则第70百分位数为第和第个数字的平均数， 则第70百分位数为. 13. 已知向量与的夹角为，，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得 ， 则. 14. 已知是正实数，复数，，若的实部与虚部相等，则的最小值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】结合复数的性质与题意得到，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意得， 若的实部与虚部相等，可得，整理可得， 而， 当且仅当时取等，此时解得，则的最小值为7. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且，，． （1）求a的值； （2）求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 由已知得，且， 由余弦定理得， 解得或. 【小问2详解】 因为，，所以， 当时，，， 同理当时，，， 综上，的面积为． 16. 某中学为普及学生的人工智能知识，组织高一学生开展使用方法培训，并为每位学生发放《使用学习手册》．培训结束后，学校组织了针对高一学生使用能力的测试，并随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分）整理后分成5组：，，，，，并绘制成如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值． （2）现设置一道测试题，从成绩区间中随机抽到学生甲作答，其答对该题的概率为0.7，从成绩区间中随机抽到学生乙作答，其答对该题的概率为0.8，从成绩区间中随机抽到学生丙作答，其答对该题的概率为0.9．已知甲、乙、丙三人是否答对该题相互独立，求甲、乙、丙三人中恰有两人答对该题的概率． 【答案】（1） （2）0.398 【解析】 【小问1详解】 由题可知，解得． 【小问2详解】 设“学生甲答对”，“学生乙答对”，“学生丙答对”， 则，，， 设“甲、乙、丙三人中有且仅有两人答对”， 则 . 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点E在棱上，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点F在棱上，且平面，证明：F为中点． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又因为是正方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，则， 因为，且， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3）如图，连接交于点O，连接， 由勾股定理知，，． 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以． 因为，所以， 所以F为的中点． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到平面，再结合面面垂直的判定定理求解即可. （2）结合已知找到线面角，再结合三角函数的定义求解即可. （3）利用线面平行的性质得到，进而得到，最后结合相似三角形的性质证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由等面积公式得，． 由（1）知平面，所以即为与平面所成角， 且， 在中，． 【小问3详解】 略 18. 如图，已知正三棱柱的外接球球心为O，底面边长，三棱锥为正四面体，P为侧棱的中点，点M，N在棱上，且，为正三角形． （1）求四棱锥的体积； （2）求四棱锥的外接球的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意求出高和底面积，再结合体积公式求解即可. （2）结合题意确定外接球的球心，再利用定义确定半径，最后利用表面积公式求解即可. 【小问1详解】 设三棱柱上、下底面的中心分别为，， 连接，，则O为的中点， 由题意得，， 则，所以， 因为是正三角形，所以， 所以四棱锥的体积． 【小问2详解】 取和的中点D，E， 由题意得面，而面， 则平面平面，且是正三角形， 设中点为Q，连接，则平面． 在上取的中心G，则， 过G作平面的垂线，则该垂线在平面内， 且该垂线上任意一点到三顶点的距离相等， 所以四棱锥的外接球球心在该垂线上． 设该垂线交于点H，所以， 则，，， 可得， 得到， 所以点H到B，M，N，四点的距离相等， 又点H到P，M，N的距离也相等，所以H为四棱锥的外接球球心， 所以四棱锥的外接球的表面积． 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义． （1）若，证明：； （2）已知向量，的夹角为，向量，的夹角为，若，证明：； （3）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边上，为角A的平分线，，，，，求． 【答案】（1）由，得， 即，整理得， 所以，即，所以. （2）因为 ，所以， 同理，， 则． （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定定义并结合向量垂直的坐标表示证明即可. （2）结合题意与同角三角函数的基本关系求解即可. （3）结合题意与三角形面积公式得到，再结合余弦定理求出，，进而求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 因为， 即，得到， 由余弦定理得， 解得，所以，又，解得，， 所以， 由（2）知． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期质量检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于x轴对称，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据的平均数为4，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若且，则（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 5. 某高中学校共有学生2700人，其中高一900人，高二1000人，其余为高三学生．该校为了调查学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方式，从高一与高二的学生中共抽取38人，则应从高三学生中抽取（ ） A. 20人 B. 18人 C. 16人 D. 12人 6. 在中，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P在矩形的边及其内部运动，且，，，若的最小值为，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 已知复数，则（ ） A. B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 11. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，x表示第一次抛掷骰子的点数，y表示第二次抛掷骰子的点数．记事件，，，，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校高二（1）班有30名女生，其身高数据（单位：）按从小到大排序如下： 151 152 154 154 154 155 156 156 158 158 160 160 161 161 162 162 162 163 163 164 164 165 165 166 166 167 168 169 170 171 则这30名同学身高数据的第70百分位数为________． 13. 已知向量与的夹角为，，，则________． 14. 已知是正实数，复数，，若的实部与虚部相等，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且，，． （1）求a的值； （2）求的面积． 16. 某中学为普及学生的人工智能知识，组织高一学生开展使用方法培训，并为每位学生发放《使用学习手册》．培训结束后，学校组织了针对高一学生使用能力的测试，并随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分）整理后分成5组：，，，，，并绘制成如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值． （2）现设置一道测试题，从成绩区间中随机抽到学生甲作答，其答对该题的概率为0.7，从成绩区间中随机抽到学生乙作答，其答对该题的概率为0.8，从成绩区间中随机抽到学生丙作答，其答对该题的概率为0.9．已知甲、乙、丙三人是否答对该题相互独立，求甲、乙、丙三人中恰有两人答对该题的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点E在棱上，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点F在棱上，且平面，证明：F为中点． 18. 如图，已知正三棱柱的外接球球心为O，底面边长，三棱锥为正四面体，P为侧棱的中点，点M，N在棱上，且，为正三角形． （1）求四棱锥的体积； （2）求四棱锥的外接球的表面积． 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义． （1）若，证明：； （2）已知向量，的夹角为，向量，的夹角为，若，证明：； （3）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边上，为角A的平分线，，，，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $