专题2.1 命题、定理、定义（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“命题、定理、定义”核心知识点，系统梳理命题的概念、真假分类、条件结论形式，以及定理与定义的内涵。知识点从基础概念辨析到综合应用，构建“概念识别—真假判断—结构分析—参数求解—集合交汇”的递进学习支架。 该资料以“题型+变式”为特色，通过具体问题培养数学思维（如逻辑推理判断命题真假）和数学语言（如改写“若p则q”形式）。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过变式训练强化理解，有效提升抽象能力与知识应用意识。

专题2.1 命题、定理、定义（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 命题的概念】 1 【题型2 判断命题的真假】 3 【题型3 指出命题的条件和结论】 5 【题型4 已知命题的真假求参数】 7 【题型5 命题与集合交汇】 9 考点1 命题、定理、定义 知识点1 命题及相关概念 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 知识点2 定理、定义 1．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 2．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题的概念】 【例1】（2026高一·全国·专题练习）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可. 【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解题思路】根据命题的定义逐个判断即可. 【解答过程】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据命题的定义直接判断即可. 【解答过程】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题. 故选：C. 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【解题思路】对于选项A，将集合的子集一一列出，即可判断A错误；对于选项B，根据梯形的性质即可判断B错误；对于选项C，取特值，即可判断C错误；对于选项D，取特值，即可判断D正确. 【解答过程】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【答案】D 【解题思路】根据各项的描述及相关数、式、形的概念和性质判断命题的真假. 【解答过程】不是所有梯形的对角线都相等，只有等腰梯形的对角线相等，A错误； 当时，，B错误； 所有的自然数均大于或等于0，C错误； 当，时，，D正确. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·单元测试）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【解题思路】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题. 【解答过程】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确； 因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确； 因为，故③正确； 取，则是整数，故④正确. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·假期作业）下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 【答案】(1)真命题，原因见解析 (2)假命题，原因见解析 (3)不是命题（祈使句） (4)假命题，原因见解析 (5)不是命题（一般疑问句） (6)不是命题（无法判断真假） 【解题思路】（1）真命题，设这个自然数为加以说明； （2）假命题，举反例； （3）不是命题，不是陈述句； （4）假命题，举反例； （5）不是命题，是问句； （6）不是命题，不可以判断真假. 【解答过程】（1）是命题，并且是真命题． 这是因为个位数是的自然数可写成的形式，而， 所以能被整除，即“个位数是的自然数能被整除”是一个真命题； （2）是命题，并且是假命题. 取三个角分别为的直角三角形，它与三个角分别为的直角三角形不相似．所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题； （3）不是命题，因为“上课请不要讲话”不是判断语句，所以它不是一个命题； （4）是命题，并且是假命题， 取一个角为，另一个角也为，它们是互补的，所以它是假命题； （5）不是命题.因为“你是高一学生吗？”是问句，不是表示判断的陈述句，所以它不是命题； （6）不是命题.虽然“”是陈述句，但是它包含一个可变的对象，无法判断其真假，因此它不是命题. 【题型3 指出命题的条件和结论】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【解题思路】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【解答过程】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏·单元测试）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【答案】A 【解题思路】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【解答过程】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”. 故选:A. 【变式3-2】（25-26高一·全国·随堂练习）写出下列命题的条件与结论. （1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等； （2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等； （4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】根据命题的“若，则”形式，依次逐一分析得到条件，结论即可. 【解答过程】（1）由题意，根据命题的“若，则”形式， 条件：两个三角形全等， 结论：这两个三角形的对应高相等； （2）由题意，根据命题的“若，则”形式， 条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等， 结论：这两个三角形全等； （3）由题意，根据命题的“若，则”形式， 条件：一个四边形是菱形， 结论：这个四边形的四边相等； （4）由题意，根据命题的“若，则”形式， 条件：两条直线被一组平行线所截， 结论：所得的对应线段成比例. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【解答过程】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 【题型4 已知命题的真假求参数】 【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【解答过程】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-1】（25-26高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是___________. 【答案】或 【解题思路】根据命题的真假列出，解不等式即可求解. 【解答过程】当命题为真命题时，可得，即. 所以当命题为假命题时，可得或. 故答案为：或. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知：，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【解答过程】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 【变式4-3】（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【解答过程】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）由题意，，中一真一假， 当为真命题，为假命题时，则，∴， 当为假命题，为真命题时，则，∴， 综上，若，中一真一假，则. 【题型5 命题与集合交汇】 【例5】（25-26高一上·上海·期中）以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：①中的元素有正整数，也有负整数；②若，，则，在下列两个命题中，判断正确的是（    ） 命题：若，则，其中为正整数；命题：0一定属于集合． A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题为假命题，命题为假命题 【答案】A 【解题思路】根据若，，则，逐步将拆分为k个x相加即可推断命题的真假，再据此设，且，，推导及即可推断命题的真假． 【解答过程】对任意正整数，因为，则有，，，，所以命题为真命题， 由命题为真命题，可设，且，， 因为，为正整数，所以，因为x为正整数，，所以，所以，命题为真命题． 故选：A． 【变式5-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【解题思路】运用元素和集合的关系判断即可. 【解答过程】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 【变式5-2】（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【解答过程】（1）解：若是真命题，则，解得， 则； （2）解：因为，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 【变式5-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【解答过程】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 命题、定理、定义（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 命题的概念】 1 【题型2 判断命题的真假】 2 【题型3 指出命题的条件和结论】 3 【题型4 已知命题的真假求参数】 4 【题型5 命题与集合交汇】 5 考点1 命题、定理、定义 知识点1 命题及相关概念 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 知识点2 定理、定义 1．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 2．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题的概念】 【例1】（2026高一·全国·专题练习）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【变式1-1】（25-26高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【变式1-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【变式2-1】（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·单元测试）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【变式2-3】（24-25高一上·上海·假期作业）下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 【题型3 指出命题的条件和结论】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【变式3-1】（25-26高一上·江苏·单元测试）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【变式3-2】（25-26高一·全国·随堂练习）写出下列命题的条件与结论. （1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等； （2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等； （4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【题型4 已知命题的真假求参数】 【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是___________． 【变式4-1】（25-26高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是___________. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知：，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【变式4-3】（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【题型5 命题与集合交汇】 【例5】（25-26高一上·上海·期中）以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：①中的元素有正整数，也有负整数；②若，，则，在下列两个命题中，判断正确的是（    ） 命题：若，则，其中为正整数；命题：0一定属于集合． A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题为假命题，命题为假命题 【变式5-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【变式5-2】（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【变式5-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $