精品解析：黑龙江大庆铁人中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

大庆铁人中学2025级高一年级下学期期末考试 数 学 2026.7 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若空间中四条两两不同的直线，满足 则下面结论一定正确的是（ ） A. B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置关系不确定 3. 从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与互斥 D. 与不对立 4. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，那么在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 某市有5个旅游景点，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万人，标准差为，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万人，被误统计为15万人，乙景点实际为18万人，被误统计成23万人；更正后重新计算得到标准差为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若事件与事件是相互独立事件，则有 B. 若事件与事件是对立事件，则有 C. 若一组数据的方差为2，则的方差为 D. 给定五个数据，则这组数据的分位数是 10. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. ，则 C. 若，，有两解，则 D. 11. 已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 异面直线和所成角的余弦值为 C. 四棱锥的体积为 D. 与三棱锥各棱均相切的球的体积为 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上） 12. 已知样本数据、、、、的方差，则样本数据、、、、的平均数为_________． 13. 我省高考实行3+1+2模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生需在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均相等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为_________． 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，其中，，若，，则的最小值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量与的夹角为，，． （1）求和的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为，，，已知. （1）求角A的大小; （2）若，求的最小值. 18. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正切值． 19. 数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且. （1）若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； （2）用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为. （ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆铁人中学2025级高一年级下学期期末考试 数 学 2026.7 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义解出，再根据复数的几何意义即可求解． 【详解】由题得，， 复数在复平面内对应点坐标为，在第二象限． 2. 若空间中四条两两不同的直线，满足 则下面结论一定正确的是（ ） A. B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置关系不确定 【答案】D 【解析】 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 3. 从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与互斥 D. 与不对立 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义即可. 【详解】从一批产品中取出三件产品的样本空间有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”，“三件次品”. 事件的样本点有“三件正品”，事件的样本点有“三件次品”，事件的样本点有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”. 所以与互斥不对立，与互斥且对立，与不互斥. 4. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图： 取中点，连接，. 因为，所以即为异面直线与所成的角. 不妨设，在中，，， 所以. 5. 已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，那么在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由可得坐标，然后由投影向量计算公式可得答案. 【详解】平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，， 设，由题可得. 则，， 在上的投影向量为. 6. 某市有5个旅游景点，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万人，标准差为，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万人，被误统计为15万人，乙景点实际为18万人，被误统计成23万人；更正后重新计算得到标准差为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】对比数据，更正后的平均数不变，再得到两个标准差，将两个标准差作差就可以比较大小. 【详解】因为甲、乙两处景点原统计人数之和为万人，实际人数之和为万人， 所以更正后的总人数不变，平均数也不变，设其他景点人数分别为， 则， 更正后. 所以，所以. 又因为，所以. 7. 三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面角定义，结合正弦定理、勾股定理、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】如图，设外接球的球心为O，设的外接圆圆心为， 因为平面，所以为直线与平面所成角，即， 所以，又，所以，所以， 设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，解得， 则在中，， 则三棱锥的外接球表面积为． 8. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果. 【详解】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:： 、、，齐王获胜三局； 、、，齐王获胜两局； 、、，齐王获胜两局； 、、，齐王获胜两局； 、、，田忌获胜两局； 、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为 故选：B 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若事件与事件是相互独立事件，则有 B. 若事件与事件是对立事件，则有 C. 若一组数据的方差为2，则的方差为 D. 给定五个数据，则这组数据的分位数是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由独立事件性质可判断选项正误；对于B，由对立事件与互斥事件关系可判断选项正误；对于C，由方差性质可判断选项正误；对于D，由百分位数计算方式可得答案. 【详解】对于A，因事件与事件是相互独立事件，则，故A正确； 对于B，因事件与事件是对立事件，则事件与事件是互斥事件，从而，故B正确； 对于C，因一组数据的方差为2，则的方差为，故C正确； 对于D，将5个数据从小到大排列得到：， 因为，所以分位数为4，故D错误. 10. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. ，则 C. 若，，有两解，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解、推理判断ABC；利用和角的余弦公式判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理，得， 又，因此或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有两解， 得，且，解得，C正确； 对于D，在中，， 则，D正确. 11. 已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 异面直线和所成角的余弦值为 C. 四棱锥的体积为 D. 与三棱锥各棱均相切的球的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断AB选项；求出平行六面体的高，分析可知四棱锥的体积是平行六面体体积的，结合柱体的体积公式可判断C选项；求出三棱锥棱切球的半径，结合球体体积公式可判断D选项. 【详解】由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 所以 ，所以，故A错误； 因为， 则 ， ， 所以， 所以，异面直线和所成角的余弦值为，故B正确； 四棱锥的体积为平行六面体体积的， 平行六面体的高即为正四面体的高，如下图所示： 设点在平面的射影为点，则为正的中心， 由正弦定理可得，， 菱形的面积为， 所以平行六面体的体积为， 所以四棱锥的体积为，故C正确； 三棱锥为正四面体，棱长为6， 设正四面体的棱切球球心为，且也为其外接球球心，则， 则，即，解得， 取线段的中点，连接，则， 且， 所以，正四面体的棱切球的半径为， 故球的体积为，故D错误. 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上） 12. 已知样本数据、、、、的方差，则样本数据、、、、的平均数为_________． 【答案】9或-7 【解析】 【分析】设样本数据、、、、的平均数为，利用方差公式可求得的值，再利用平均数公式可求得样本数据、、、、的平均数. 【详解】设、、、、的平均数为，则， 所以， 所以 又因为，所以，解得或， 所以样本数据、、、、的平均数为或. 13. 我省高考实行3+1+2模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生需在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均相等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法；由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有36种，由此利用对立事件概率计算公式能求出她们的选科至少有一科不相同的概率． 【详解】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有： {化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}， {生物，地理}，{政治，地理}共6种选法， 由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有种， 其中两人的选科完全相同的选法有6种， 所以她们的选科至少有一科不相同的概率为． 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，其中，，若，，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合二次函数性质求出最小值. 【详解】依题意， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量与的夹角为，，． （1）求和的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义求，根据数量积的运算律求的值. （2）根据，且向量与不共线，列式求的取值范围. 【小问1详解】 由题意， 因为，所以. 【小问2详解】 由， 所以，解得. 由. 综上，当时，向量与的夹角为锐角. 16. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）平面，平面，． 是圆O的直径，C为圆上一点， ． 又，且平面，平面． 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证，得到平面，最后得到平面平面. （2）先找出直线与平面所成角，然后求出的长度，最后得到其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点作于点， 平面，平面，， 又，平面，平面． 即为直线与平面所成角． ，，可得． . 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为，，，已知. （1）求角A的大小; （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合正弦的两角和公式求解； （2）由三角形的正弦面积公式求得，再利用余弦定理结合基本不等式可求解. 【小问1详解】 ，， 由正弦定理得，， .又，即.，； 【小问2详解】 由题意可得：，所以. 由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，，即的最小值为. 18. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正切值． 【答案】（1）设，则，， 由为中点，得，由，，得是平行四边形， 则，即，由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 又，，平面，因此平面平面， 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定，面面平行的判定、性质推理得证. （2）利用定义确定平面与平面所成二面角的平面角，作出平面与平面的交线并作出二面角的平面角，利用定义法求出正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，又，，则，延长交于点， 连接，因此为平面与平面的交线， 由，，得为平面与平面所成的二面角， 即，设，则，， 在中，由余弦定理得， 由，得， 又平面，平面，则，而， 平面，于是平面， 在平面内，过点作，交于点，连接， 即，，而平面， 则平面，又平面，因此， 为平面与平面所成二面角的平面角， 在内，由，，得， 在内，， 所以平面与平面所成二面角的正切值为． 19. 数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且. （1）若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； （2）用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为. （ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）接收到的两个数字中有且只有一个正确，包括数字0接收正确数字1错误和数字0接收错误数字1正确两种情况，利用事件独立性和互斥性计算即可求解； （2）（i）事件表示接收到的数据中含两个0，包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误，②数学0错误，数字1都错误，事件表示接收到的数据中含三个0，只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误，然后建立等式，将代入等式中消元，然后根据范围确定取值：（ii）理解事件包含以下三种情况：①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，分别求出概率再相加，利用换元的思想，令，利用二次函数的性质研究最值即可求解，注意需要确定的范围. 【小问1详解】 记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件A，由已知， 事件包含两种情况： 第一种数字0接收正确数字1错误，概率为：， 第二种数字0接收错误数字1正确，概率为：， 所以； 【小问2详解】 （i）由发送的数据为“011“可知，事件表示接收到的数据中含两个0， 包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误， ②数学0错误，数字1都错误， 所以， 事件表示接收到的数据中含三个0， 只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误， 所以， 由得： ， 化简得， 又，上式可化为： 或（舍去）； （ⅱ）当发送的数据为“0101”，事件包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为， ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 其概率为， ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为 ， ， 令，则， 又且，， ， ， 记， 由二次函数的性质可知，在单调递减， 得最大值为， 即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $