精品解析：河南巩义市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2025-2026学年下期期末考试试题卷高中二年级数学 本试题卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知函数f(x)＝cosx，f′(x)＝－1，则x＝（ ） A. B. － C. ＋2k，k∈Z D. －＋2k，k∈Z 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求得，然后解方程即可 【详解】解：＝－sinx，则sinx＝1， ∴x＝＋2k，k∈Z． 故选：C． 2. 观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系系数为，图2两个变量的相关关系系数为，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象和相关系数的意义可得，，且，依次判断即可． 【详解】①分析图的相关系数：观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内， 随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈负相关，故； ②分析图的相关系数：观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内， 随着的增大，总体呈增大趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故； 此外，观察图中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近，说明图的线性相关性更强，即， 对于A，，，且，所以，A正确； 对于B，，，所以，B错误； 对于CD，，，所以，CD错误． 3. 某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 直径服从正态分布，∴ 正态分布曲线的对称轴为，. ∵ ， ∴ . 又∵ ，根据正态分布的对称性，点与点关于对称轴对称， ∴ ，解得，即. 综上可得，，故选项C正确. 4. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法直接计算即可. 【详解】令，则， 令，则， 所以 5. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 60 A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线性回归方程过点计算可得，再利用残差定义作差即可得. 【详解】由题设可得，故， 故，即，故残差为． 6. 一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式即可解出答案. 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,， 所求概率为. 故选：B． 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察值之间的关系，可作差构造函数，通过求导分析函数单调性，确定大小关系. 【详解】设（）， 则，在上单调递增， 所以， 当时，，取，得，即； 设（）， 则，在上单调递减， 所以， 所以当时，， 取，得，即. 故. 8. 小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“点”的格子中，每次向右移动格或移动格，其中每次向右移动格的概率为，向右移动格的概率为，要求参与者一共移动次，每次移动之间互不影响，奖品放在“点”的格子中，次移动结束后参与者正好停在“点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能地拿到奖品，则的值为（ ） （小明） （奖品） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过解方程组可得次移动中需要次走格、次走格，再由独立重复试验的概率公式可得获得奖品的概率，再通过函数的导数判断概率的最大值可得. 【详解】设次移动中，有次移动格，次移动格， 根据题意可得方程组：，解得，，即需要次走格、次走格. 根据独立重复试验的概率公式，获得奖品的概率为， 令， 则， 令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以函数在处取得极大值也是最大值，此时小明拿到奖品的概率最大. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，取得极大值 C. 当时，取得极小值 D. 是在上的最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确； 对于B，C，由题图易知在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值，故BC，正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次 C. 若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式可判断A；两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，再通过计算即可判断B；先对h，a，y进行排列，再将p放入位置中即可，列出式子计算即可判断C；按3，1分组和2，2分组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可判断D． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，5人两两握手，即从5人中随便选出2人握手，即共握（次），故B正确； 对于C，在5个位置中选3个位置填入h，a，y，剩下2个位置填入p，共有（种），其中正确的只有1种，则可能出现的错误共有（种），故C正确； 对于D，将4人按3，1分派，共种；将4人按2，2分派，共有种， 故每个学校至少派1人，共有14种分派方法，故D错误． 故选：BC． 11. 已知莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数（质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数）的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为．则下列说法正确的是（ ） A. B. 对正整数， C. D. 若且， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据定义计算即可；对于B，取排除即可；对于C，取排除即可；对于D，利用定义由组合数定义以及二项式定理计算可得． 【详解】A项：，所以，故正确； B项：取，则，故错误； C项：取，则， 则，故错误； 项：，且，所以，且为偶数， ， ， 所以， 所以，故正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据条件概率公式及和事件概率公式计算可得. 【详解】由​，变形得. 又由和事件概率公式为：. 因此. 13. 在件工艺品中，有件二等品，件一等品，现从中不放回地抽取件，设抽得二等品件数为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定抽得二等品件数服从超几何分布，进而根据超几何分布的性质及期望的性质计算可得. 【详解】抽得二等品件数服从超几何分布，总体容量，其中二等品， 抽取样本量，的可能取值为， 由超几何分布的期望公式为，代入得， 根据期望性质得. 14. 已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由极值点的导数为零得，再由函数在上单调递增得导数在区间上恒成立，进而可得，再结合极值点的左右导数须变号得，从而可得结果. 【详解】由函数，函数定义域为，. 因为是的极值点，所以，代入得，即. 若在上单调递增，等价于对任意恒成立， 所以，因为， 所以对任意恒成立，即对任意恒成立，因此. 又因为是的极值点，且，所以，即. 因此且，所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值是4，最小值是. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）由得出函数的单调性，从而得极值，结合区间端点处函数值，比较得最值. 【小问1详解】 因为，所以， 有，. 因此，曲线在处的切线方程为， 即 . 【小问2详解】 ， 令，解得，或. 当变化时，，的变化情况如下表所示. 单调递增 单调递减 单调递增 在区间上，当时，有极小值. 又由于 ，， 所以，在上的最大值是4，最小值是. 16. 已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列． （1）求的值； （2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合； （3）将展开式中所有项重新排列，则有理项不相邻的不同的排法有多少种？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的性质及等差数列的性质计算可得； （2）由二项式的通项公式计算可得； （3）利用插空法计算可得. 【小问1详解】 因为展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为， ，，， ，，解得或. 因为要使有意义，则， 所以舍去，因此的值为. 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式为， 其中，且，当时，，此时为有理项， 而，则的取值集合为 【小问3详解】 由知展开式共项，其中有理项共项，其余项为无理项， 因为有理项不相邻，先排无理项：将项无理项进行排列，有种排法，五项排列形成个空位， 再将这个有理项插入这个空位，有种排法， 故有理项不相邻的情况有种情况． 17. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， （2） \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 认为是否报废与保养有关 【解析】 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【小问1详解】 由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. 【小问2详解】 设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 18. 某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为 （1）现将甲、乙两车间加工的该种零件按的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为． （i）求乙车间加工零件的达标率； （ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取个，记这个零件中达标的个数为，求的分布列和期望； （2）乙车间为了争取更多的加工量，着重提高了加工该种零件的达标率，已知在乙车间提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为，在乙车间不提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为．设事件“乙车间提高了加工该种零件的达标率”，“该厂给乙车间增加加工量”，若，，试比较与的大小，并加以证明． 【答案】（1）（i）； （ii） 期望为； （2），证明如下： 由，即，则，且， 所以，得， ，得，得证． 【解析】 【分析】（1）（i）直接由条件概率及全概率公式结合题意计算可得；（ii）由题意可得，且的可能取值有0，1，2，3，然后根据二项分布计算可得分布列及期望； （2）直接由条件概率公式及对立事件的概率公式由计算可得. 【小问1详解】 （i）设“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是甲车间生产”， “从混合放在一起的零件中随机抽取一件是乙车间生产”， “从混合放在一起的零件中随机抽取一件是合格品”， 由条件可知，， 由全概率公式得，，解得. 所以乙车间加工零件的达标率为. （ii）因为有可能取值为，且， 所以， ，， ，. 分布列如下， 期望 【小问2详解】 略 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】（1） 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）证明：当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数分和两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间； （2）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【小问1详解】 因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期期末考试试题卷高中二年级数学 本试题卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知函数f(x)＝cosx，f′(x)＝－1，则x＝（ ） A. B. － C. ＋2k，k∈Z D. －＋2k，k∈Z 2. 观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系系数为，图2两个变量的相关关系系数为，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 5. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 60 A. 2 B. C. 4 D. 6. 一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（    ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“点”的格子中，每次向右移动格或移动格，其中每次向右移动格的概率为，向右移动格的概率为，要求参与者一共移动次，每次移动之间互不影响，奖品放在“点”的格子中，次移动结束后参与者正好停在“点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能地拿到奖品，则的值为（ ） （小明） （奖品） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，取得极大值 C. 当时，取得极小值 D. 是在上的最大值 10. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次 C. 若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法 11. 已知莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数（质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数）的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为．则下列说法正确的是（ ） A. B. 对正整数， C. D. 若且， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 在件工艺品中，有件二等品，件一等品，现从中不放回地抽取件，设抽得二等品件数为，则的值为______． 14. 已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 16. 已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列． （1）求的值； （2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合； （3）将展开式中所有项重新排列，则有理项不相邻的不同的排法有多少种？ 17. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为 （1）现将甲、乙两车间加工的该种零件按的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为． （i）求乙车间加工零件的达标率； （ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取个，记这个零件中达标的个数为，求的分布列和期望； （2）乙车间为了争取更多的加工量，着重提高了加工该种零件的达标率，已知在乙车间提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为，在乙车间不提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为．设事件“乙车间提高了加工该种零件的达标率”，“该厂给乙车间增加加工量”，若，，试比较与的大小，并加以证明． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）证明：若，则存在唯一的极小值，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $