辽宁朝阳市部分重点高中联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度下学期期末高一数学试题 第卷（选择题，共58分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知复数满足i=,则=（) 2-i B.I+i D.1+i 5 C.1-i 2.已知sin(元+a)=-,那么car3 2r+() A c.3 2 D.- 7 3.设m,是两条不同的直线，必，B是两个不同的平面，下列说法正确的是() A.若lla,a∩B=n,则mlln B.若/a,⊥n,则n⊥ C.若m⊥，n⊥a,则m∥n D.若mCa,nCB,a⊥B,则m⊥n 4.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB=8,C,O,D为线段AB的四等分 点，则该圆台的体积为() A B A.7V5 兀 B.73π 3 c. 3π D.55m 5.已知函数f(x)=2sin2x- 6/, 若将函数f(x)的图象向右平移(t>0)个单位长度，得到 函数g(x)的图象.若函数g(x)为奇函数，则t的最小值是() A君 B.12 C. 5π D. 5π 12 6 6.若函数f(x)=2sinx+sin2x在区间(0，a)上单调递增，则a的最大值为() A. 匹 B. 3π 8 C. D. 7元 8 高一数学共4页第1页 7.已知4、B、C是△A8C的三个内角，且A<8<©C引，则下列结论中正确的是《) A.a2+b2<c2 B.smA可以取到25 C.cosC可以取到 D.tan4<tanC 8.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC,AB=BC=CA=2,平面PAB与平面CAB夹角的余 弦值为3 ，则三棱锥P一ABC外接球的表面积为() 3 A.√6π B.6π C.8√6元 D.24π 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知向量ā，满足同=1，=1，a+=V5,则下列结论中正确的有() A,西夹角为？ Ba6=月 C.a-6=1 D.a-B与6夹角为 3 10.己知z为复数，则下列命题中正确的是() A.若=2<0，则z为纯虚数 B.若上+1=-1，则z为纯虚数 C.若z=z,则z为实数 D.若2=1，则z=z2 11.如图，在正四棱柱ABCD-ABC1D中，己知AB=2,A4=3,点E在棱A4上， AE=2EA,动点F在线段BD上（不含端点B),平面AEF与平面DCCD交于直线I, 则下列结论中正确的有() A.I//BB, B B.不存在点F,使得BE⊥AF C.∠AFE的最大值 6 D.I与平面BEF所成角的最大值为 4 高一数学共4页第2页 第1卷（填空、解答题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若anc-=tam3a,则la的最小值为 tana+1 形ABCD中，∠DAB=,AB=2AD,将△DAB沿对角线 平面BCD⊥平面ABD,则直线AB与CD所成角的余弦值为 14.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=1,4cos2B+4b2sin2A=3b2-3, 则taA的最大值为 四、解答题 15.(本题满分13分)己知w>0,向量m=(cosx,sin ax),n=(c0sar,V5 COSax),且 f(x)=m.n. (1)若函数y=f(x)的最小正周期是2π，求y=f(x)的单调增区间： (②)已知0<o0<2,若x=严是函数y=f()的图像的一条对称轴，求y=f)的最小正周期 6 和值域。 16.（本题满分15分)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，E、F、G分别是PC、 PD、BC的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l,平面PAD⊥平面ABCD. (1)证明：平面EFG//平面PAB; (2)求证：BC/1l: (3)求证：DC⊥PA. 高一数学共4页第3页 17.（本题满分15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为4，b,c,满足 c-acos B=b-asin B (1)求A: (2)若△ABC的面积为4v5,内角A的角平分线交边BC于E,求AE的最大值： (3)若a=7,边BC上的中线AD= ,设点O为△ABC的外接圆圆心，求4O.4D的值 2 18.(本题满分17分)已知函数f(x)=-2sinx+2cosx+a,其中a为常数. @当行司引时，fs0恒成立。求实数的取值范国： 回设函数四在（儿-习上有两个零点， ①求a的取值范围； 3元 ②证明：x+x2> 2 19.（本题满分17分)如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC是边长为4的等边三角形，底 面BCD为直角三角形，其中D为直角顶点，∠CBD=L.点O为棱BC的中点，E,F,G, 6 H分别是线段AB,AC,CD,DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形.设 A=AR ∈(0,1) AB (①设点A在平面BCD的射影A,当二面角A-BC-D从0增加到5的过程中，求线段CA: 扫过的区域的周长： (2)若△ACD是以CD为底边的等腰三角形： (i)求证：OA⊥平面BCD; B (ii)当入为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为2. D 高一数学共4页第4页2025-2026学年度下学期期末高一数学试题 答案及评分标准 一、单项选择题： 1-5 DACAC 6-8 BCB 二、多选题：9.CD 10.ACD 11.ABC 三、填空题：12. 3.4 8 4 15.（本题满分13分) (1)f(x)=m.n=cos2 axx+3sin @xcosax= 11 2+÷c0s20x+ -sin 2@x 22 444…2分 因为y=f)的最小正周期是2元，所以江=2元， 1 解得ω= 20 2 3分 故f(),+i血x+6 令-亚+2hm5r+T≤+2m.keZ.解得-2亚+2km≤xs+2m,k∈Z.4分 2 62 3 故y=f(x)的单调增区间为 +2k+; 3 6分 2)f)-+m2a+ 因为x=亚是函数y=f(x)的图像的一条对称轴， 6 所以2o.亚+π 二+k兀，k∈Z, .7分 662 解得0=1+3k,k∈Z, 8分 因为0<0<2，只有当k=0时，ω=1满足要求 9分 故f=方+n2x君 …10分 故y=f(x)的最小正周期为T= .11分 因为m[2x+爱)-1山.所以y=f的值域为 2'2 13分 高一数学共8页第1页 16.（本题满分15分) (1)E、F、G分别是PC、PD、BC的中点 .EF/∥CD,EG/PB1分 又：底面ABCD为矩形 ∴.AB/ICD .EF//AB ·'EFE平面PAB,ABC平面PAB .EF/平面PAB。 2分 又·EGt平面PAB,PBC平面PAB .EG∥平面PAB. 3分 'EF∩EG=E,EF、EGC平面EFG .平面EFG/平面PAB. 5分 (本题通过线线平行得到面面平行也对应给分) (2)底面ABCD为矩形.BC/AD6分 又，BCE平面PAD,ADC平面PAD .BC/平面PAD.7分 .BCC平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l9分 .BC/l10分 (3)四边形ABCD为矩.CD1AD.11分 ,·平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,CDC平面ABCD .CD1平面PAD14分 .·PAC平面PAD .CDL PA15分 高一数学共8页第2页 17.（本题满分15分) (1)在△ABC中，由c+√3 asin B-b-acos B=0及正弦定理 得sinC-sin AcosB=sinB-√3 sin A sin.… .1分 sin C=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 则cos Asin B+√3 sinAsin B-sinB=0 显然SinB>0,因此1-C0SA=√3SinA2分 (1-cosA)2=3sin2A=31-c0s24). 则0<A<元，得-1<csA<1,解得cosA=-】 44分 又A∈(0，m).所以A=2 .5分 3 2)由5 ebesinA=-45得kc=l6 6分 又SAABC=SAABE+S4cE, 45-)4Bb.5+是 +2 AE.c. .8分 2 AB=,16≤16 =2(当且仅当b=c=4时取等)， b+c 2bc 即AE的最大值为2；10分 (4)在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, 得b2+C2+bc=49 11分 由边BC上的中线AD= 又因为AB+AC=2AD 两边平方得AB2+AC+24B.AC=44D, 则b2+c2+2 bc cos 2r=11,即b2+c2-bc=11. .12分 解得b2+C2=30… .13分 令边AB,AC的中点分别为M,N,由点O为△ABC的外接圆圆心， 高一数学共8页第3页 得OM⊥AB,ON⊥AC, 4o丽-(+阿列而-丽0- 4oc-(+o)ac-4c-4c-, 所以 4oD=AoA5+4c)-号4o+号40.Ac-4e2+b)515分 18. (本题满分17分) (1)因为sin2x=1-cos2x, f(x)=-2sin2x+2cosx+a=-2(1-cos2x)+2cosx+a=2cos2x+2cosx+a-2........ 当号引时w剖 则f(x)≤0等价于2P+2t+a-2≤0在t∈ 1上恒成立 所以2-a2(2r2+21）a 3分 令g(t)=2t2+2t,te 则g(t)是增函数 所以g(t)ms=g(1)=2x12+2×1=4 …4分 所以2-a≥4，解得a≤-2 即的取值范围是(-0，-2] 5分 (2)①令k=cosx, e 则k=COSxE(-1,0) f(x)=2cos2x+2cosx+a-2=2k2+2k+a-2, 由y=cr在x(到上单调 故函数在x到上有丙个学点等价丁关于k的方程+4+a-2-0在(10)上 有两个不相等的实数根. 4…4448 高一数学共8页第4页 2×02+2×0+a-2>0 即有{2×(-1)+2×(-1)+a-2>0,解得2<a< 5 △=22-4×2(a-2)>0 即a的取值范围为 10分 (此问分参做也要对应给分】 ②证明：令k1=c0sx1<0,k2=cosX<0 则k,k为关于k的方程2k2+2k+a-2=0的两根， 则有所+6=-1，=a2 2 coscos1,co c2 2 12分 3π 2 cosx-sin2=-1-cosx2-sinx2 =-1-2sin …13分 医为无引所以+（警引 所以ms}反刂 3π 故cosx1>coS 25 15分 由y=COsx在x∈ 上单调递增 故飞>3 3π …17分 -x2,即+x3> 2 19.(本题满分17分) (1)延长CD到P,使DP=CD=2,由D为直角顶点， CBD三所以☑BCD=所以△BCP为等边三角形1分 连结OA,OP,AP,所以OA⊥BC,OP⊥BC, 又0An0P=0,OA、OPc平面A0P, 得BC⊥平面AOP,BCC平面BCP,平面AOP∩平面BCP, 高一数学共8页第5页 所以平面AOP⊥平面BCP 所以点A在平面BCD上的投影A在线段BC的中垂线OP上（如图所示）3分 当二面角A-BC-D为0时，点A,P,A'三点重合， 当二面角A-BC-D为90时，点A与O重合， 所以射影A的轨迹就是线段OP, 所以CA在平面BCD上的射影所扫过的平面区域为Rt△COPA分 又BCP是边长为4的正三角形，OP=4xV5 23 2 则RtACOP周长为6+2√3， 故所求平面区域的周长为6+25； .5分 B (2)（i)取CD的中点N,连接AN,ON, 因为△ACD是以CD为底边的等腰三角形， 所以AN⊥CD,ON//BD, 因为∠BDC=90,所以BD⊥CD,可得ON⊥CD 因为AN∩ON=N,AN、ONc平面AON 所以CDL平面AON,AOC平面AON,可得CD1AO8分 又因为AO⊥BC,BCOCD=C,BC、CDC平面BCD, 斤以A01平面BCD10分 高一数学共8页第页 (ii)Va-BcD= en40-{25×25-4 因为多面体ADEFGH的体积恰好为2， 所以多面体ADEFGH的体积为三棱锥A-BCD体积的一半 设F点到平面ABD的距离为he,C点到平面ABD的距离为hc, 因为四边形EFG为平行四边形，所以EF/HG,EF=HG, 又EFd平面BCD,HGC平面BCD,所以EF/平面BCD, 因为EFC平面ABC,平面ABCO平面BCD=BC,所以EF/BC, 则元=迟-AF_EF HG IB AG Be"BC所以BCHG,四uc.Dn.bG BC BD DC 则SAAH sin∠BA=B AH sin∠BAH=8 2 2 又Sm4B-BHsm∠AB服-=-A利Dsin∠AB服=1-A利Sao 1 所以SA=(1-2)SBD 所以V48H=22(1-2)）4B0D12分 设A点到平面BCD的距离为hA, Spam=)DH.DG∠BDC=号8D.DCsm∠BDC=23m 2 y 所以4Pce3 S.DGHhA SD班=入2， VA-BCD S.BCD 所以VA-00H=27A-B0D,14分 所以y多面体DEoH=VA-rH+V4-DGH=2(B-22)P4BC0= VA-BCD 所以6-2刘分整理得(2x-2-4-》-0 .16分 解得入=或=1±5， 因为0<1<1，所以= 17分 2 高一数学共8页第7页 2025-2026学年度下学期期末试卷细目表 高一数学 分 难 题号 题型 考查的主要内容及知识点 值 度 1 单选题 复数的运算、共轭复数 易 2 单选题 5 三角函数的诱导公式 易 3 单选题 5 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 易 4 单选题 0 圆台的侧面展开图、圆台的体积计算 中 6 单选题 5 三角函数的图像平移、奇函数的性质、正弦型函数的性质 中 6 单选题 6 三角恒等变换、正弦型函数的单调性 中 7 单选题 5 三角形的内角性质、正弦定理、余弦定理、三角函数的性质 中 8 单选题 5 三棱锥的外接球、二面角、球的表面积计算 难 9 多选题 6 向量的模、数量积、夹角计算 易 10 多选题 6 复数的基本性质、共轭复数、复数的模 中 11 多选题 6 空间中线线、线面平行与垂直的判定、线面角、最值问题 难 12 填空题 5 三角恒等变换、正切函数的性质、绝对值的最小值 13 填空题 5 翻折问题、异面直线成角的计算、面面垂直的性质定理 中 14 填空题 5 正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、正切函数的最值 难 向量的数量积、三角恒等变换、正弦型函数的周期、单调区 15 解答题 13 易 间、对称轴、值域 空间中线面、面面平行的判定定理和性质定理、面面垂直的性 16 证明题 15 易 质定理以及线线垂直的证明 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、角平分线性质、向量 17 解答题 15 中 的数量积、外接圆圆心性质 三角恒等变换、余弦函数的性质、恒成立问题、函数的零点、 18 解答题 17 中 不等式证明 空间几何体的结构特征、二面角、线面垂直的判定、空间几何 19 解答题 17 难 体的体积计算、动点问题 高一数学共8页第8页2025-2026学年度下学期期末高一数学试题答 题卡 学校： 姓名： 班级： 考场座位号： 贴码区 贴二维码/条形码，勿贴出框外！ 单选题 1[A][B][C][D] 6A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 多选题 9[AJ[B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 填空题 12 13 请勿在此区域作答 第1页（共6页） ■ 解答题 15(13分) 第2页（共6页） 16(15分) D以 G 1 1 第3页（共6页） 0 17(15分) 1 l 口 第4页（共6页） 18（17分) 第5页（共6页） 19（17分) 6 0 G C 1 I 1 第6页（共6页）