精品解析：甘肃张掖市第二中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则复数的虚部为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 故复数的虚部为．选D． 2. 下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ） A. 盒中装有个小球，某人一次抽取个小球 B. 从个产品中随机逐个抽取个进行产品合格检测 C. 从自然数中逐个抽取个数 D. 老师从班里名同学中点了名同学参加数学竞赛 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，一次抽取3个，不是逐个抽取，不符合简单随机抽样“逐个抽取”的要求； 对于B，从100个（有限总体）产品中“随机逐个抽取”10个，每个产品被抽到的概率相等，满足简单随机抽样的全部条件； 对于C，自然数是无限总体，简单随机抽样要求总体个体数有限，因此不符合； 对于D，老师主观点名，不是随机抽取，带有主观倾向性，不满足随机性要求． 3. 已知，，，则向量在向量上的投影为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量投影公式，先展开数量积，代入已知数量积与算出分子，再除以得到投影，题干给出的为无关干扰条件． 【详解】因为， 所以向量在向量上的投影为． 4. 在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，，，则或是异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.若满足条件的三角形有2个，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以. 因为满足条件的三角形有2个，所以，即. 6. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件“朝上的面的点数为奇数”，事件“朝上的面的点数为或”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件为对立事件 C. D. 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由各类事件的定义结合事件独立性的公式依次验证选项即可. 【详解】由题可知， 选项A：由题意知,根据古典概型概率公式，,A错误； 选项B：因为,所以事件与事件不是对立事件，B错误； 选项C：因为,所以，C错误; 选项D：因为,所以，又因为，, 显然成立，满足独立事件的条件，D正确. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得，结合二倍角正切公式及万能公式求函数值. 【详解】由，则，故， 由. 8. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定球的球心在上，再根据三角形相似确定球的半径，即可确定所求球的表面积. 【详解】 如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上， 因，则，， 在中，如图作于点， 设球的半径为，则，， 易得与相似，则，即，解得， 因此，球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 校园合唱比赛中，高一（4）班演唱结束后，位裁判分别进行打分，结果如下（满分分）：，，，，，，，，，．则下列说法正确的是（ ） A. 该班得分的中位数是 B. 该班得分的第百分位数是 C. 该班得分的极差是 D. 若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差不变 【答案】AC 【解析】 【详解】将数据排序：，，，，，，，，，. 则中位数，A正确； ，所以第80百分位数是第8个数和第9个数的平均值， 则第80百分位数，B错误； 最大值是，最小值是，所以极差，C正确； 原平均分， 去掉一个最高分和一个最低分后的平均分：，则平均分不变. 则D错误. 10. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A选项，结合辅助角公式化简；对B选项，利用二倍角余弦公式计算；对C选项，将转化为，利用诱导公式化简后计算即可；对D选项，利用积化和差公式和两角差的余弦公式化简，再结合特殊角三角函数值计算. 【详解】选项A，，A正确. 选项B，，B正确. 选项C，因为，故，原式，C正确. 选项D，由积化和差公式：， 代入：，D错误. 11. 如图，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，是侧面内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与所成的角为 C. 过点，，的平面截正方体所得的截面图形可能为五边形 D. 三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，结合图形利用直线平行的传递性和异面直线定义可以判断；选项B，利用直线平行，将异面直线夹角问题转化为特殊三角形夹角判断即可；选项C，当为棱的中点时，结合几何图形作出平面即可；选项D，利用等体积法转换顶点和底面，几何图形计算底面积和对应高，代入体积公式求解. 【详解】对于 A，取的中点为，连接，则， 四边形为平行四边形，则，显然三点共线，因此不平行，A错误； 对于 B，连接 ，如图，由分别为的中点，得， 则直线与所成的角为或其补角，由为等边三角形，得， 因此直线与所成的角为 ，B正确； 对于C，直线交棱的延长线分别于点，连接分别交于点， 连接，则五边形是过点的平面截正方体所得的截面图形，C正确； 对于 D，，因为点到平面的距离为， ， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数满足，且在复平面内对应的点在直线上，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据得到复数在复平面上的轨迹方程，通过与直线联立，即可求解得到复数的值. 【详解】由题意，设，则由可知， 满足方程. 联立可得，消去可得，解得或. 当时，. 当时，. 13. 如图，在四边形中，为等边三角形，且，，．若是的中点，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为为等边三角形，，所以， 所以， 因为，，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 所以. 14. 甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打场，每场胜者得分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多分或打满场时比赛终止，分数多者获胜．已知在每场比赛中，甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是，各场比赛互不影响，则甲最终获胜的概率为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得甲获胜有两种情况，第1场与第2场甲获胜或前2场甲胜1场第3场甲获胜， 所以甲最终获胜的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，且，，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行以及辅助角公式得出，再利用倍角公式即可. （2）利用两角差的正弦公式. 【小问1详解】 因为，，所以． 因为，，所以， 则，即． 所以． 【小问2详解】 因为，所以，即，解得． 因为，，所以，． 因为，所以， 所以 ． 16. 如图，在正四棱台中，，，，分别为边，上一点，且，． （1）求四棱台的体积； （2）证明：平面． 【答案】（1） （2）如图，连接， 因为，，所以，且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）由题设得正方形的面积，正方形的面积，连接，，过点作平面于点，求出相关线段长，结合棱台的体积公式求体积； （2）连接，根据已知证明，再由线面平行的判定定理证明结论. 【小问1详解】 因为，所以， 则正方形的面积，正方形的面积， 如图，连接，，则，， 过点作平面于点，则点在上，且， 在中． 所以四棱台的体积为 ． 【小问2详解】 略 17. 某校高一年级某次测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩．将成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计本次考试的平均分；（同组中每个数据用该组区间的中点值代替） （2）已知样本成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求样本成绩在内的平均数与方差． （3）若采用分层抽样的方法，从成绩在，的两组中抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈交流，求这人成绩均在的概率． 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为，，，，，，记两组数据的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】（1）， （2）平均数为，方差为 （3） 【解析】 【分析】（1）由各组频率和为1以及平均数的定义即可求解； （2）由样本成绩在，的频率比求解样本成绩在内的平均数，再由方差公式求解即可； （3）由成绩在与的频率之比为，通过分层抽样随机抽取，求出总的样本空间即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图性质，得， 解得， 本次考试的平均分为 ． 【小问2详解】 由频率分布直方图，得样本成绩在，的频率比为， 则样本成绩在内的平均数为， 样本成绩在内的方差为． 【小问3详解】 由（2），得成绩在与的频率之比为， 所以人中有人成绩在，记为，，， 有人成绩在，记为，． 设事件“座谈交流的人成绩均在”， 样本空间，共有个等可能的样本点， 事件，共有个样本点， 所以这人成绩均在的概率． 18. 记的内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角的大小； （2）若，点，分别在边，上（含端点），线段将分成面积相等的两部分，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可； （2）先求出各边长，设，，利用余弦定理和基本不等式可求. 【小问1详解】 由正弦定理及，得． 因为， 所以，即． 因为，所以，所以． 又因为，所以． 【小问2详解】 因为，， 所以，． 由正弦定理，解得，． 则． 设，，，． 因为平分的面积，所以，即． 由余弦定理得． 由基本不等式，得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 19. 如图，正方体的棱长为，为线段上的一个动点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）如图，连接．因为四边形是正方形，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】(1)线面垂直性质即可得； (2)根据线面垂直性质，借助直角三角形可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为，由正方体的性质，得． 设直线与平面所成角为，则，且， 所以当最小时，最大． 如图，连接． 因为平面，平面，所以， 所以． 所以当最小时，最小． 在中，，，所以当时，最小． 因为，所以，所以的最小值为． 所以的最小值为． 所以的最大值为， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则复数的虚部为 A. B. C. D. 2. 下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ） A. 盒中装有个小球，某人一次抽取个小球 B. 从个产品中随机逐个抽取个进行产品合格检测 C. 从自然数中逐个抽取个数 D. 老师从班里名同学中点了名同学参加数学竞赛 3. 已知，，，则向量在向量上的投影为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.若满足条件的三角形有2个，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件“朝上的面的点数为奇数”，事件“朝上的面的点数为或”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件为对立事件 C. D. 事件与事件相互独立 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 校园合唱比赛中，高一（4）班演唱结束后，位裁判分别进行打分，结果如下（满分分）：，，，，，，，，，．则下列说法正确的是（ ） A. 该班得分的中位数是 B. 该班得分的第百分位数是 C. 该班得分的极差是 D. 若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差不变 10. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，是侧面内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与所成的角为 C. 过点，，的平面截正方体所得的截面图形可能为五边形 D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数满足，且在复平面内对应的点在直线上，则__________． 13. 如图，在四边形中，为等边三角形，且，，．若是的中点，则___________． 14. 甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打场，每场胜者得分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多分或打满场时比赛终止，分数多者获胜．已知在每场比赛中，甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是，各场比赛互不影响，则甲最终获胜的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，且，，，求的值． 16. 如图，在正四棱台中，，，，分别为边，上一点，且，． （1）求四棱台的体积； （2）证明：平面． 17. 某校高一年级某次测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩．将成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计本次考试的平均分；（同组中每个数据用该组区间的中点值代替） （2）已知样本成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求样本成绩在内的平均数与方差． （3）若采用分层抽样的方法，从成绩在，的两组中抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈交流，求这人成绩均在的概率． 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为，，，，，，记两组数据的样本平均数为，样本方差为，则． 18. 记的内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角的大小； （2）若，点，分别在边，上（含端点），线段将分成面积相等的两部分，求的最小值． 19. 如图，正方体的棱长为，为线段上的一个动点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $