精品解析：甘肃白银市靖远县联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】在复平面内对应的点为，位于第二象限． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 3. 若一个正n棱台共有18条棱，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】正棱台共有条棱，所以，解得． 4. 从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】1，2，3，…，20中能被3整除的有3，6，9，12，15，18，共6个，所以所求概率为． 5. 已知向量，，实数x，y满足，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算求解． 【详解】由题可得， 则解得 6. 已知的三条边长为1，5，，则最大的内角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】中边长为的边所对的角最大，设其为， 由余弦定理得， 因为，所以． 7. 如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点H，则即为与平面所成的角，即可求解． 【详解】取的中点H，连接，则． 因为平面，平面，所以． 又平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，，， 则． 8. 将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为、、、、、）先后抛掷两次，记第一次和第二次向上的点数分别为、，设向量，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由，得． 由题意可知将该枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，共有种情况， 其中满足的的情况为、、、、、 、、、、、、，共有种等可能情况， 所以所求概率为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】，A正确；，B错误； ，所以的虚部为3，C错误． ，D正确． 10. 设事件A，B是互斥事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，因为，，所以，故A正确； 对于选项B，因为，，所以，故B正确； 对于选项C，事件A，B互斥，所以，故C错误； 对于选项D，事件A，B互斥，所以，故D正确. 11. （多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（ ） A. 平面平面 B. 的最小值为 C. 几何体共有8个面 D. 几何体外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据翻折前后，位于同一平面内的位置关系不变，可知，，利用面面垂直的判定判断；对于选项B，将平面与平面展开至同一平面，问题转化为求的长；对于选项C，观察图形可判断；对于选项D，将原图形补成长方体，长方体的体对角线长即为外接球的直径. 【详解】几何体共有7个面，C错误； 因为四边形为矩形，所以，，翻折后，，因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面，A正确； 因为，，， 所以，所以，则，同理可证， 可将几何体补全为长为、宽为3、高为4的长方体， 其外接球即为长方体的外接球，外接球的半径为，D正确； 连接，，将平面与平面展开至同一平面， 如图3所示，当F，K，P在同一直线上时，取得最小值. 因为，，， 所以平面，则， 在图3中过作，与的延长线交于点， 则，， 所以，B正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的底面半径分别为1和2母线长为3，则该圆台的侧面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】套用圆台侧面积公式求解. 【详解】因为圆台的底面半径分别为1和2母线长为3， 所以圆台的侧面积. 故答案为：. 13. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设与的夹角为，则． 因为，所以， 因为，所以，则， 故与的夹角为. 14. 为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点A在同一水平面的B，C两点作为测量点，测得米，，，在C处测得楼顶D的仰角为，则该大楼的高度约为_________米．（结果精确到整数） 【答案】85 【解析】 【详解】， 在中，由正弦定理得， 所以，得, 解得米， 因为在C处测得楼顶D的仰角为45°，所以， 则米，故该大楼的高度AD约为85米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，，． （1）用向量，表示，； （2）若，且B，P，E三点共线，求x的值． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出，； （2）由题意，设，，结合（1）及平面向量的基本定理列方程求参数值. 【小问1详解】 由，且； 【小问2详解】 因为B，P，E三点共线，可设，， 由（1）可得， 因为，所以，解得，故x的值为6. 16. 如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）证明：连接BD． 因为E，F分别是CD，BC的中点，所以EF是的中位线，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）证明：根据正三棱柱的性质可得平面． 因为平面，所以． 因为为等边三角形，所以． 因为，平面，面， 所以平面． （3）． 【解析】 【分析】（1）连接BD，由中位线得到，再根据线面平行的判定定理即可证得平面； （2）利用正三棱柱的性质结合线面垂直的性质得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理得到线面垂直； （3）先确定异面直线EF与所成的角即为（或其补角），再根据（2）得，利用勾股定理计算得到，进而求得即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得，所以异面直线EF与所成的角即为（或其补角）． 因为平面，所以由（2）可得． 因为，所以，，， 则，所以是以D为顶点的等腰直角三角形， 所以，即异面直线EF与所成的角为． 17. 某停车场实行每日按停车时长累计收费，规则如下表所示，其中不足1小时按1小时计费． 已知甲、乙两人每日停车时长均不超过4小时，且两人停车时长相互独立，每人每日停车费用为0元、6元、12元的概率分别为，，． 每日停车时长/小时 合计收费标准/元 0 6 12 18 （1）求某日甲、乙两人至少有一人停车时长超过2小时的概率； （2）求某日甲、乙两人停车费用之和为24元的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求得甲、乙当日停车时长未超过2小时的概率均为，进而利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可； （2）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意可得甲、乙当日停车时长未超过2小时的概率均为， 则甲、乙两人当日停车时长均未超过2小时的概率为， 所以甲、乙两人当日至少有一人停车时长超过2小时的概率为． 【小问2详解】 由题意可知，每人每日停车费用为18元的概率为． 设甲、乙两人当日停车费用之和为24元的事件为D， 甲当日停车费用为0元、6元、12元、18元的事件分别为，，，， 乙当日停车费用为0元、6元、12元、18元的事件分别为，，，， 则． 因为两人停车时长是相互独立的，所以 ． 18. 在锐角中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若，且边上的中线，求的面积； （3）求的最小值，并指出此时的形状． 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为，此时为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理，将边化角，再结合三角恒等变换，即可求解； （2）利用三角形的中线性质，结合三角形余弦定理，列出关于的方程组，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）先化简原式，再结合三角函数的运算，求得最值，进而可判断三角形的形状. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理可得，， 代入原式，可得， 又因为为锐角三角形，所以，，所以， 所以，即，所以， 又，所以， 所以，解得． 【小问2详解】 因为为的中点，所以，则， 因为，，所以， 整理得①， 又根据余弦定理，，且， 所以，即②， 由①②得③， 又因为，且，， 所以④，联立③④，解得， 所以的面积为． 【小问3详解】 由题意，， 又为的内角，所以，所以， 所以， 因为，所以 ， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则，所以， 所以，所以， 所以，即的最小值为， 此时，即，解得， 又，所以，所以为等边三角形． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． （1）设平面平面，证明：． （2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． （3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以． 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB． 因为平面PCD，平面平面，所以． （2）解：设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM． 因为F为PD上靠近点P的三等分点， 所以F为PM的中点，所以． 因为平面AMO，平面AMO，所以平面AMO． 同理可证平面AMO． 因为，所以平面平面AMO． 因为平面平面，平面平面，所以． 因为F为PM的中点，所以H为PC的中点． （3） 【解析】 【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可得证； （2）取PC的中点，则即为平面与棱的交点.设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM．通过证明平面AMO、平面AMO证得平面平面AMO，再根据面面平行的性质得到，结合F为PM的中点，即可得证； （3）过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI，证得为二面角的平面角.根据题设条件，运用等面积法、相似等平面几何知识得到，令，，得到，利用该函数的单调性求值域即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI， 因为，，，所以平面PBC，所以． 因为，，所以平面NID，则， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由底面是平行四边形，，得,． 由等面积法可得, 由，， 所以，． 则． 令，． 在中，则． 令，，则在上单调递增， 所以，， 所以二面角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若一个正n棱台共有18条棱，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，实数x，y满足，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知的三条边长为1，5，，则最大的内角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为、、、、、）先后抛掷两次，记第一次和第二次向上的点数分别为、，设向量，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 10. 设事件A，B是互斥事件，，，则（ ） A. B. C. D. 11. （多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（ ） A. 平面平面 B. 的最小值为 C. 几何体共有8个面 D. 几何体外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的底面半径分别为1和2母线长为3，则该圆台的侧面积是______. 13. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_________． 14. 为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点A在同一水平面的B，C两点作为测量点，测得米，，，在C处测得楼顶D的仰角为，则该大楼的高度约为_________米．（结果精确到整数） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，，． （1）用向量，表示，； （2）若，且B，P，E三点共线，求x的值． 16. 如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求异面直线与所成角的大小． 17. 某停车场实行每日按停车时长累计收费，规则如下表所示，其中不足1小时按1小时计费． 已知甲、乙两人每日停车时长均不超过4小时，且两人停车时长相互独立，每人每日停车费用为0元、6元、12元的概率分别为，，． 每日停车时长/小时 合计收费标准/元 0 6 12 18 （1）求某日甲、乙两人至少有一人停车时长超过2小时的概率； （2）求某日甲、乙两人停车费用之和为24元的概率． 18. 在锐角中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若，且边上的中线，求的面积； （3）求的最小值，并指出此时的形状． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． （1）设平面平面，证明：． （2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． （3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $