精品解析：河南省信阳市商城县2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

商城县2024-2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则 A. B. C. D. 5. 已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 8. 由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（ ）（单位：m) A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 设A，B是两个概率大于的随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C. 若事件，则 D. 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 10. 下列关于向量的命题，错误的是（ ） A. B. 在边长为1的等边中， C. 若，则 D. 若，则向量的夹角是钝角 11. 在正方体中，在线段上，则（ ） A. 当为中点时，AE与所成角的正切值是 B. AE与平面所成角为定值 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知，且，则实数_____. 13. 如图，正方体中，、分别为棱、的中点，则平面与底面夹角的余弦值为______. 14. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，． （1）若，求，； （2）若，求点的坐标． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若α是的一个零点，求的值． 17. 已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，，求； （3）若，求的值． 18. 某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中实数a的值； （2）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； （3）若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 19. 如图，在等腰直角三角形中，，M是半圆弧上异于A，B的动点，平面平面．设O，N分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为． （1）证明：平面； （2）当时，求二面角的正切值； （3）求点N到平面的距离（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商城县2024-2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集进行求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断向量组中两个向量是否共线． 【详解】由已知是平面内的一个基底， 则若共线，则存在实数，使得，即，与是基底矛盾，因此不共线， 若共线，则存在实数，，所以，与是基底矛盾，因此不共线， 因为，所以不共线，共线， 因此D不能作为基底， 故选：D． 3. 若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用任意角的三角函数值的正负结合诱导公式计算求解各个选项即可. 【详解】因为为第三象限角，所以， ，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误； 故选：C. 4. 若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角差的正切求得，再利用二倍角公式求解即可 【详解】因为，所以，解得，从而. 故选C 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查两角差的正切及二倍角公式，考查运算求解能力，是基础题 5. 已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数定义列不等式求解． 【详解】∵，∴这组数据按从小到大顺序排列后，第65百分位数是第6个数，因此 不小于50，即， 故选：A． 6. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有两解，列不等式求解可得结果. 【详解】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 7. 在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系，设点.根据点E在线段上，所以设，其中，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可求解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，. 设点. 因为点E在线段上，所以设，其中， 所以，所以， 所以. 故选：D. 8. 由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（ ）（单位：m) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出长方体建筑物的上底面与点的高度差为，利用三角函数求出，，再利用勾股定理即可求出，进而可求得. 【详解】设长方体建筑物的上底面与点的高度差为， 可得，， 在直角三角形中，，即， 解得， 所以， 所以. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 设A，B是两个概率大于的随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C. 若事件，则 D. 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 【答案】CD 【解析】 【分析】根据事件的包含关系、互斥事件以及事件的相互独立性概念与性质，结合反例即可判断各个选项. 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B、D，若事件和互斥，则，若事件和相互独立， 则，B错误，D正确； 对于C，若事件包含事件，则，C正确. 故选：CD. 10. 下列关于向量的命题，错误的是（ ） A. B. 在边长为1的等边中， C. 若，则 D. 若，则向量的夹角是钝角 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量加法运算可判断A；向量的数量积可得BD，根据向量共线可判断C. 【详解】对A，，正确； 对B，，正确； 对C，若，则与共线，不一定，故错误； 对D，若，则向量的夹角是钝角或者为，故错误. 故选：CD 11. 在正方体中，在线段上，则（ ） A. 当为中点时，AE与所成角的正切值是 B. AE与平面所成角为定值 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当为中点时，取CD中点，连结EG，AG，得到即为AE与所成角，再由几何关系可得A正确；由几何关系得到线面角的正弦值可判断B；由棱锥的体积公式可判断C，当为中点时可判断D. 【详解】 当为中点时，取CD中点，连结EG，AG，则即为AE与所成角. 因为平面平面ABCD，所以，而，故正确； 点到平面的距离为2，设AE与平面所成角为，则，不是定值，B错误； 为定值，C正确； 由已知，都是等边为的等边三角形，将它们展开为一个平面图形， 当为中点时，AE和均取得最小值， 所以的最小值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知，且，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用共线的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故答案为：. 13. 如图，正方体中，、分别为棱、的中点，则平面与底面夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】推导出平面，可得出，，则平面与底面夹角为，计算出，即为所求. 【详解】因为且，、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 因为、平面，，， 所以，平面与底面夹角为， 易知，设，则，， 所以，， 因此，平面与底面夹角的余弦值为. 故答案为：. 14. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据线面角定义可知，设，可求得所需的侧棱长和底面边长；根据长度关系和垂直关系可确定点处的三个面角的大小，根据曲率定义可求得结果. 【详解】 设，则， 平面，即为与底面所成角，即， ，， ，，； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，，即，又， 顶点的曲率为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，． （1）若，求，； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解. 【小问1详解】 依题意得，， 则，所以， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若α是的一个零点，求的值． 【答案】（1）函数的单调递增区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式和诱导公式化简原函数，再根据的单调性求函数的单调递增区间； （2）根据零点条件求出α的正切值，利用倍角公式结合正切值计算出的正弦、余弦值，代入函数计算. 【小问1详解】 利用降幂公式和诱导公式化简原函数： 函数的单调递增区间为. 令： 解得： 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 根据零点条件： 利用倍角公式： ， 所以 17. 已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，，求； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得； （2）利用余弦定理解方程可得； （3）根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出. 【小问1详解】 由于，所以， 由根据正弦定理可得， 所以，且三角形为锐角三角形，即 所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理知， 即，解得或（舍）， 故. 【小问3详解】 由，可得， 所以， ， 即 18. 某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中实数a的值； （2）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； （3）若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 【答案】（1） （2） （3）（ⅰ） （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，列出方程，即可求解； （2）根据题意，求得成绩不低于80分的频率为，进而求得高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； （3）根据题意，得到成绩来自的学生人数为2人，记为，成绩来自的学生人数为4人，记为，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 可得，解得. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为， 所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人. 【小问3详解】 解：成绩来自的学生人数为人，记为， 成绩来自的学生人数为人呢，记为， 则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点， 设“两名学生数学成绩至多有一名及格”， 则，其中含了9个样本点， 所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率. 19. 如图，在等腰直角三角形中，，M是半圆弧上异于A，B的动点，平面平面．设O，N分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为． （1）证明：平面； （2）当时，求二面角的正切值； （3）求点N到平面的距离（用表示）． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，可得，再利用线面垂直即可证明求解； （2）利用二面角知识且结合（1）可得即为二面角，从而可求解； （3）利用等体积转换法可得，从而可求解. 【小问1详解】 由为等腰直角三角形，且，且，分别为，的中点，连接，， 则，又平面平面，且平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为为直径所对的圆周角，所以，即， 又，所以，因，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，由题意可知当时，三棱锥体积取到最大， 此时，解得， 由（1）知平面，平面，所以， 又，所以即为二面角， 因，所以，， 所以， 故二面角的正切值为. 【小问3详解】 连接，如图，由（1）知平面，平面，所以， 所以，，， 所以， 在中，，所以 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得， 故点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $