专题3 追及和相遇-2026年高一物理暑期能力提升

高中物理 高一暑期能力提升 专题3 追及和相遇 【方法解读】 1.追及相遇问题的实质：分析两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置. 2.追及相遇问题的分析方法 常用方法 相关说明 情境分析法 抓住两物体能否同时到达空间某位置这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，画出物体运动的情境图. 函数分析法 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况. 图像分析法 在同一坐标系中画出两物体的运动图像，位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系. 转换参考系法 一般情况下都是选择地面为参考系，但在一些特殊问题中，可通过转换参考系，寻找两物体间的相对运动关系.在追及问题中，常把被追物体作为参考系. 3.情境分析法的基本思路 4.追及相遇问题的两种典型情况 类型1　初速度小者追初速度大者 类型 图像 说明 匀加速追匀速 设x0为开始时两物体间的距离. （1）t＝t0以前，后面物体与前面物体间距不断增大. （2）t＝t0时，两物体速度相等，相距最远，最远距离为x0＋Δx. （3）t＝t0以后，后面物体与前面物体间距逐渐减小，直到追上. （4）一定能追上且只能相遇一次. 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 匀加速追匀加速（被追者加速度小于追赶者加速度） 类型2　初速度大者追初速度小者 类型 图像 说明 匀减速追匀速 开始追赶时，后面物体与前面物体间的距离在不断减小. 当两物体速度相等时，即t＝t0时刻，应有下面结论： （1）若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件； （2）若Δx＜x0，则不能追上，此时两物体相距最近，最近距离为x0－Δx； （3）若Δx＞x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇. 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 匀减速追匀减速（被追者加速度小于追赶者加速度） 提示：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前，该物体是否已经停止运动. 【例1】汽车A以vA＝4m/s的速度向右做匀速直线运动.汽车B以vB＝10m/s的速度同向运动，B在A前方x0＝7m处时汽车B开始匀减速刹车，直到停下，B刹车的加速度大小a＝2m/s2.从汽车B开始刹车时开始计时，求： （1）A追上B前，A、B间的最远距离； （2）经过多长时间A恰好追上B. 答案　（1）16m　（2）8s 解析　（1）当汽车A、B速度相等时，两车间的距离最远. 此时有vB－at＝vA，解得t＝3s 此过程中汽车A的位移xA＝vAt＝12m 汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21m 故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16m. （2）汽车B从开始减速直到停下经历的时间t1＝＝5s 运动的位移x'B＝＝25m 汽车A在t1时间内运动的位移x'A＝vAt1＝20m 此时两车相距Δx＝x'B＋x0－x'A＝12m 汽车A追上B需再运动的时间t2＝＝3s 故A追上B所用时间t'＝t1＋t2＝8s. 命题拓展 （1）[解题方法的探讨]若某同学应用关系式vBt－at2＋x0＝vAt，解得经过t＝7s（另解舍去）时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？ （2）[初速度大者追初速度小者]若汽车A以vA＝4m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7m处，有一辆以vB＝10m/s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车，其刹车的加速度大小为a＝2m/s2，则经过多长时间两车恰好第一次相遇？ 答案　（1）不合理，理由见解析　（2）（3－）s 解析　（1）这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t1＝＝5s＜7s，说明汽车A追上B之前汽车B已停止运动. （2）可由位移关系式vBt－at2＝x0＋vAt， 解得t1＝（3－）s（第一次相遇），t2＝（3＋）s（第二次相遇），则经过（3－）s两车恰好第一次相遇. 【例2】.一汽车在平直公路上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速行驶.经过0.4s的反应时间后，司机开始刹车，则： （1）为了避免相撞，汽车刹车的加速度大小至少为多少？ （2）若汽车刹车的加速度大小为4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ 答案　（1）5m/s2　（2）1m/s2 解析　（1）汽车的初速度v汽＝54km/h＝15m/s，汽车与自行车间的初始距离d＝14m 设汽车刹车的加速度大小为a，减速时间为t，则 汽车的位移为x汽＝v汽（t0＋t）－at2 自行车的位移为x自＝v自（t0＋t） 假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d 代入数据整理得数学方程at2－10t＋10＝0 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即 Δ＝102－20a≤0 解得a≥5m/s2 所以为了避免相撞，汽车刹车的加速度大小至少为5m/s2. （2）设自行车的加速度为a'，加速时间为t'，同理可得 v汽（t0＋t'）－a汽t'2＝v自（t0＋t'）＋a't'2＋d 代入数据整理得数学方程（a'＋2）t'2－10t'＋10＝0 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即 Δ＝102－20a'－80≤0，解得a'≥1m/s2 所以自行车的加速度至少为1m/s2，才能保证两车不相撞. 方法点拨 利用函数法分析追及相遇问题的思路 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到位移x关于时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况. ①若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇； ③若Δ＜0，说明追不上或不能相遇. 【例3】两个质点A、B放在同一水平面上，由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动，其运动的v-t图像如图所示。对A、B运动情况的分析，下列结论正确的是(　　) A.A、B加速时的加速度大小之比为2∶1，A、B减速时的加速度大小之比为1∶1 B.在t=3t0时刻，A、B相距最远 C.在t=5t0时刻，A、B相距最远 D.在t=6t0时刻，A、B相遇 答案　D 解析　由v-t图像可知，斜率表示加速度，则加速时A、B的加速度大小之比为10∶1，减速时A、B的加速度大小之比为1∶1，故A错误；由A、B的运动关系可知，当A、B速度相同时，A、B间的距离最大，故选项B、C错误； 由题意可知A、B是从同一位置同时开始运动的，由速度—时间图像与横轴围成的面积表示位移可知，6t0时刻，A、B的位移大小 xA==3v0t0 xB==3v0t0 因此在此时刻A、B相遇，故D正确。 1.x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2.利用v-t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v-t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3.若为x-t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a-t图像，可转化为v-t图像进行分析。 【针对性训练】 1.[2021海南]甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间（x－t）图像和速度—时间（v－t）图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是（　BC　） A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 答案 BC 解析　A项图中，甲、乙在t0时刻之前位移没有相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能再次相遇；B项图中，甲、乙在t0时刻之前图像有交点，即此时位移相等，两人在t0时刻之前能再次相遇；C项图中v－t图像与t轴所围图形的面积表示位移，甲、乙在t0时刻之前位移有相等的时刻，即两人能再次相遇；同理，D项图中，在t0时刻之前，甲、乙间的距离一直增大，则两人不能再次相遇.故选B、C. 2.[2026广东揭阳联考]甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，其x－t图像如图所示，已知甲车做匀变速直线运动，其余数据已在图中标出.根据图中数据可知（　B　） A.t＝2s时刻，甲、乙两车速度大小相等 B.t＝2s时刻，甲、乙两车相遇 C.0～2s内，甲车位移等于乙车位移 D.相遇之前，t＝1s时两车相距最远 答案 B 解析　x－t图像的斜率表示速度，可知t＝2s时刻，甲车的速度比乙车大，A错误；t＝2s时刻，甲、乙两车相遇，B正确；0～2s内，甲车发生的位移为x甲＝6m－（－2）m＝8m，乙车发生的位移为x乙＝6m－0＝6m＜x甲，所以0～2s内，甲车位移大于乙车位移，C错误；设甲车的位置表达式为x＝v0t＋at2＋x0，将（0，－2）、（1，0）、（2，6）代入，可得v0＝0，a＝4m/s2，x0＝－2m，乙车的速度为v乙＝＝m/s＝3m/s，当两车速度相同时，两车相距最远，两车相距最远的时刻为t1＝＝0.75s，D错误. 3 .假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶.甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30m/s，甲、乙相距x0＝100m.t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车 的加速度随时间变化的图像分别如图甲、乙所示.取运动方向为正方向.下列说法正确的是（　C　） A.t＝3s时两车相距最近 B.t＝6s时两车速度不相等 C.t＝6s时两车距离最近，且最近距离为10m D.两车在0～9s内会相撞 答案 C 解析　 由题给图像作出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6s时两车速度相等，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝[×30×3＋×30×（6－3）]m＝90m＜x0＝100m，即两车在t＝6s时距离最近，最近距离为x0－Δx＝10m，故A、B错误，C正确；t＝6s时，甲车在前、乙车在后，且两车相距10m，在6～9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在0～9s内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D错误. 4.[2026南京六校联合调研]甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们的位置坐标x随时间t变化的关系如图所示，已知乙车做匀变速直线运动，其图线最低点为P，则下列说法正确的是（　D　） A.甲车的初速度为10m/s B.两车第一次相遇时运动方向相同 C.乙车的加速度大小为1.2m/s2 D.乙车的初始位置坐标x0＝90m 答案 D 解析　 C错，D对. 5.[2026河南名校联考]歼－20是我国自主研制的新一代隐身战斗机，具有隐身性好、机动性强、战斗力强等特点.在某次模拟演习中，歼－20以100m/s的速度巡航时发现正前方10.5km处有一敌机正以240m/s的速度匀速逃跑.歼－20立即以大小为70m/s2的加速度沿两机连线方向进行追赶，在追赶的过程中最大速度为800m/s，则下列说法正确的是（　B　） A.歼－20追上敌机的最短时间为28s B.歼－20追上敌机的最短时间为25s C.在追赶的过程中，歼－20与敌机的最大距离为10800m D.在追赶的过程中，歼－20与敌机的最大距离为10600m 答案 B 解析　歼－20巡航速度v0＝100m/s，最大速度v1＝800m/s，敌机逃跑速度v2＝240m/s，发现敌机时二者距离s＝10.5km，设歼－20追上敌机的最短时间为t，歼－20加速时间为t1＝＝s＝10s，由v0t1＋＋v1（t－t1）＝v2t＋s，联立解得t＝25s，A错误，B正确；在追赶过程中，二者速度相等时，距离最大，设歼－20开始追赶后经t2二者速度相等，则v0＋at2＝v2，解得t2＝2s，在追赶过程中，歼－20与敌机的最大距离为Δx＝v2t2＋s－（v0t2＋）＝10640m，C、D错误. 6.[2024江苏徐州模拟]如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现B车后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点（t＝0），A、B两车的v－t图像如图乙所示.已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1＝12m. （1）求B车的速度vB和A车的加速度大小a. （2）若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时（t＝0）两车的距离x0应满足什么条件？ 答案　（1）vB＝12m/s　a＝3m/s2　（2）x0＞36m 解析　（1）在t1＝1s时A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得x1＝vBt1 解得B车的速度为vB＝12m/s 图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝ 其中t2＝5s 解得A车的加速度大小为a＝3m/s2 （2）两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t2＝5s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x＝vB（t1＋t2） 代入数据解得x＝36m 因此若A、B两车不会相撞，则两车的距离x0应满足的条件为 x0＞36m. 7.[2026河南名校联考]如图（a）所示，甲、乙两车在同一水平道路上，开始时乙车在甲车前x0＝54m处，该时刻甲车匀速行驶，乙车停在路边，甲车开始匀减速运动准备停车.已知从甲车减速时开始计时，第1秒内位移为32m，第5秒内位移为1m.从甲车减速开始1秒末乙车开始运动，与甲车同向行驶，其v－t图像如图（b）所示，甲、乙相遇时会错车而过，不会相撞.求： （1）乙车从静止加速到最大速度时间内，行驶的位移是多少； （2）甲车刚开始减速时的速度大小； （3）从甲车减速时开始计时，甲、乙两车相遇的时刻. 答案　（1）18m　（2）36m/s　（3）2s、4.75s 解析　（1）乙车从静止加速到最大速度时间内，利用平均速度计算行驶的位移得 x＝（vm＋0）t4＝×12×3m＝18m （2）设甲车匀减速的加速度大小为a，第1s末速度为v1，第5s末速度为v5，则第5s内x5＝v5t＋at2 第1s内x1＝v1t＋at2 又v1＝v5＋4at 将x1＝32m，x5＝1m，t＝1s代入以上三式，联立解得v5＝－m/s＜0. 说明第5秒内甲车已经停下.设第5秒内甲车运动了Δt，则x5＝a1（Δt）2，x1＝a1（Δt＋4s）2－a1（Δt＋3s）2 解得Δt＝0.5s，a1＝8m/s2 甲车刚减速时速度为v0＝a1（4s＋Δt）＝36m/s （3）设从甲车减速开始经过t1时间甲车与乙车相遇，则x甲＝v0t1－a1 设乙车加速度为a2，由图像得a2＝＝4m/s2 由位移公式x乙＝a2（t1－1s）2 甲、乙两车的位移关系x甲＝x乙＋x0 解得t1＝2s（另一解不合理舍去） 此次相遇时甲车的速度v甲＝v0－a1t1＝20m/s＞v乙＝4m/s，因此甲车与乙车还会第二次相遇，设甲车减速阶段位移为x'甲 x'甲＝a1（Δt＋4s）2 此过程中乙车的位移为x'乙＝a2＋vmΔt 解得x'甲＝81m，x'乙＝24m 从而有x'甲＞（x'乙＋x0） 即甲车停止时，乙车还在甲车后面. 设乙车再经时间t'追上甲车，则有x'甲－（x'乙＋x0）＝vmt' 解得t'＝0.25s 故甲、乙两车第二次相遇时间为t2＝t'＋4s＋Δt＝4.75s. 8（2026山东烟台联考）在某次军事演习中，歼击机以v0＝220m/s的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶机.当两者相距x0＝3.2km时，歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为a＝20m/s2的匀加速直线运动，t0＝20s时击中无人靶机并将其击落.已知发射导弹的时间不计，发射导弹对歼击机速度无影响. （1）求无人靶机被击中前飞行的速度大小； （2）求导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离； （3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置，且要求歼击机到达时速度为零继而悬停在空中.已知歼击机以最大加速度加速t＝4.8s后达到最大速度vm＝340m/s，且歼击机加速和减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击中无人靶机至歼击机到达无人靶机被击落的空中位置的最短时间.（结果保留3位有效数字） 答案　（1）260m/s　（2）3.24km　（3）19.4s 解析　（1）根据题意，设靶机速度为v1，则有x0＝v0t0＋－v1t0 解得v1＝260m/s （2）设导弹被发射后经t1时间与无人靶机速度相等，此时二者间距最大，则有v1＝v0＋at1 解得t1＝2.0s 最大距离为Δx＝v1t1－（v0t1＋）＋x0 解得Δx＝3.24km （3）导弹击中靶机时，歼击机与无人靶机的距离为 x1＝x0＋（v1－v0）t0 经分析可知，导弹击中靶机后，歼击机须先做匀加速直线运动，达到最大速度后再以最大速度做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，且到达靶机被击落的空中位置时的速度为零.设歼击机的最大加速度为am＝ 歼击机做匀加速直线运动的位移大小为x2＝t 歼击机做匀减速直线运动的时间和位移大小分别为t2＝、x3＝t2 歼击机做匀速直线运动的时间为t3＝ 所以从导弹击中靶机至歼击机到达靶机被击落的空中位置的最短时间为tmin＝t＋t2＋t3≈19.4s. 9.[2026河南洛阳质检]蓝牙是一种无线技术，可实现固定设备、移动设备之间的短距离数据交换.如图所示，甲、乙两辆汽车并排沿平直路面向前行驶，两车车顶O1、O2两位置都装有蓝牙设备，这两个蓝牙设备在相距17m以内时会立即自动连接实现通信，一旦超过该距离，蓝牙信号便会立即断开，无法通信.t＝0时刻，甲、乙两车刚好位于图示位置，此时甲车的速度为8m/s，乙车静止，O1、O2的距离为8m.从该时刻起乙车以大小为2m/s2的加速度做匀加速直线运动，当速度达到9m/s后保持匀速运动，甲车保持原有 速度做匀速直线运动.求： （1）两车通信第一次中断时，甲车行驶的位移大小； （2）甲、乙两车第一次通信中断持续的时间； （3）整个运动过程中，甲、乙两车能够保持通信的总时间. 答案　（1）24m　（2）2.25s　（3）33s 解析　（1）设甲、乙两车经过时间t1第一次通信断开，根据几何关系可知，甲车在乙车斜前方且O1O2为17m，由几何关系得两车在运动方向上位移之差满足Δx＝x甲－x乙＝m＝15m 根据运动学公式x甲＝v甲t1、x乙＝ 联立以上三式可得t1＝3s或t'1＝5s（舍） 此时甲车行驶的位移大小为x甲＝24m. （2）设经时间t2乙车速度达到最大，有t2＝＝4.5s 此时乙车运动的位移x'乙＝＝20.25m 甲车位移为x'甲＝v甲t2＝36m 由于x'甲－x'乙＝15.75m 通信仍处于中断状态，再经过Δt1甲、乙两车恢复通信，则Δt1＝＝0.75s 甲、乙两车从第一次通信断开到恢复的时间 Δt2＝t2＋Δt1－t1＝2.25s. （3）第一次通信断开后恢复的时候，甲车在前方，乙车速度大于甲车，从O1O2小于17m，至乙车在甲车前方且O1O2为17m时，通信断开，用时为Δt3＝＝30s 此后两车相距越来越远，失去信号.可知两车能够保持通信的总时间为Δt4＝t1＋Δt3＝33s. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理 高一暑期能力提升 专题3 追及和相遇 【方法解读】 1.追及相遇问题的实质：分析两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置. 2.追及相遇问题的分析方法 常用方法 相关说明 情境分析法 抓住两物体能否同时到达空间某位置这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，画出物体运动的情境图. 函数分析法 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况. 图像分析法 在同一坐标系中画出两物体的运动图像，位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系. 转换参考系法 一般情况下都是选择地面为参考系，但在一些特殊问题中，可通过转换参考系，寻找两物体间的相对运动关系.在追及问题中，常把被追物体作为参考系. 3.情境分析法的基本思路 4.追及相遇问题的两种典型情况 类型1　初速度小者追初速度大者 类型 图像 说明 匀加速追匀速 设x0为开始时两物体间的距离. （1）t＝t0以前，后面物体与前面物体间距不断增大. （2）t＝t0时，两物体速度相等，相距最远，最远距离为x0＋Δx. （3）t＝t0以后，后面物体与前面物体间距逐渐减小，直到追上. （4）一定能追上且只能相遇一次. 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 匀加速追匀加速（被追者加速度小于追赶者加速度） 类型2　初速度大者追初速度小者 类型 图像 说明 匀减速追匀速 开始追赶时，后面物体与前面物体间的距离在不断减小. 当两物体速度相等时，即t＝t0时刻，应有下面结论： （1）若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件； （2）若Δx＜x0，则不能追上，此时两物体相距最近，最近距离为x0－Δx； （3）若Δx＞x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇. 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 匀减速追匀减速（被追者加速度小于追赶者加速度） 提示：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前，该物体是否已经停止运动. 【例1】汽车A以vA＝4m/s的速度向右做匀速直线运动.汽车B以vB＝10m/s的速度同向运动，B在A前方x0＝7m处时汽车B开始匀减速刹车，直到停下，B刹车的加速度大小a＝2m/s2.从汽车B开始刹车时开始计时，求： （1）A追上B前，A、B间的最远距离； （2）经过多长时间A恰好追上B. 答案　（1）16m　（2）8s 解析　（1）当汽车A、B速度相等时，两车间的距离最远. 此时有vB－at＝vA，解得t＝3s 此过程中汽车A的位移xA＝vAt＝12m 汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21m 故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16m. （2）汽车B从开始减速直到停下经历的时间t1＝＝5s 运动的位移x'B＝＝25m 汽车A在t1时间内运动的位移x'A＝vAt1＝20m 此时两车相距Δx＝x'B＋x0－x'A＝12m 汽车A追上B需再运动的时间t2＝＝3s 故A追上B所用时间t'＝t1＋t2＝8s. 命题拓展 （1）[解题方法的探讨]若某同学应用关系式vBt－at2＋x0＝vAt，解得经过t＝7s（另解舍去）时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？ （2）[初速度大者追初速度小者]若汽车A以vA＝4m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7m处，有一辆以vB＝10m/s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车，其刹车的加速度大小为a＝2m/s2，则经过多长时间两车恰好第一次相遇？ 答案　（1）不合理，理由见解析　（2）（3－）s 解析　（1）这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t1＝＝5s＜7s，说明汽车A追上B之前汽车B已停止运动. （2）可由位移关系式vBt－at2＝x0＋vAt， 解得t1＝（3－）s（第一次相遇），t2＝（3＋）s（第二次相遇），则经过（3－）s两车恰好第一次相遇. 【例2】.一汽车在平直公路上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速行驶.经过0.4s的反应时间后，司机开始刹车，则： （1）为了避免相撞，汽车刹车的加速度大小至少为多少？ （2）若汽车刹车的加速度大小为4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ 答案　（1）5m/s2　（2）1m/s2 解析　（1）汽车的初速度v汽＝54km/h＝15m/s，汽车与自行车间的初始距离d＝14m 设汽车刹车的加速度大小为a，减速时间为t，则 汽车的位移为x汽＝v汽（t0＋t）－at2 自行车的位移为x自＝v自（t0＋t） 假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d 代入数据整理得数学方程at2－10t＋10＝0 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即 Δ＝102－20a≤0 解得a≥5m/s2 所以为了避免相撞，汽车刹车的加速度大小至少为5m/s2. （2）设自行车的加速度为a'，加速时间为t'，同理可得 v汽（t0＋t'）－a汽t'2＝v自（t0＋t'）＋a't'2＋d 代入数据整理得数学方程（a'＋2）t'2－10t'＋10＝0 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即 Δ＝102－20a'－80≤0，解得a'≥1m/s2 所以自行车的加速度至少为1m/s2，才能保证两车不相撞. 方法点拨 利用函数法分析追及相遇问题的思路 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到位移x关于时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况. ①若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇； ③若Δ＜0，说明追不上或不能相遇. 【例3】两个质点A、B放在同一水平面上，由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动，其运动的v-t图像如图所示。对A、B运动情况的分析，下列结论正确的是(　　) A.A、B加速时的加速度大小之比为2∶1，A、B减速时的加速度大小之比为1∶1 B.在t=3t0时刻，A、B相距最远 C.在t=5t0时刻，A、B相距最远 D.在t=6t0时刻，A、B相遇 答案　D 解析　由v-t图像可知，斜率表示加速度，则加速时A、B的加速度大小之比为10∶1，减速时A、B的加速度大小之比为1∶1，故A错误；由A、B的运动关系可知，当A、B速度相同时，A、B间的距离最大，故选项B、C错误； 由题意可知A、B是从同一位置同时开始运动的，由速度—时间图像与横轴围成的面积表示位移可知，6t0时刻，A、B的位移大小 xA==3v0t0 xB==3v0t0 因此在此时刻A、B相遇，故D正确。 1.x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2.利用v-t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v-t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3.若为x-t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a-t图像，可转化为v-t图像进行分析。 【针对性训练】 1.[2021海南]甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间（x－t）图像和速度—时间（v－t）图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是（　BC　） A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 答案 BC 解析　A项图中，甲、乙在t0时刻之前位移没有相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能再次相遇；B项图中，甲、乙在t0时刻之前图像有交点，即此时位移相等，两人在t0时刻之前能再次相遇；C项图中v－t图像与t轴所围图形的面积表示位移，甲、乙在t0时刻之前位移有相等的时刻，即两人能再次相遇；同理，D项图中，在t0时刻之前，甲、乙间的距离一直增大，则两人不能再次相遇.故选B、C. 2.[2026广东揭阳联考]甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，其x－t图像如图所示，已知甲车做匀变速直线运动，其余数据已在图中标出.根据图中数据可知（　B　） A.t＝2s时刻，甲、乙两车速度大小相等 B.t＝2s时刻，甲、乙两车相遇 C.0～2s内，甲车位移等于乙车位移 D.相遇之前，t＝1s时两车相距最远 答案 B 解析　x－t图像的斜率表示速度，可知t＝2s时刻，甲车的速度比乙车大，A错误；t＝2s时刻，甲、乙两车相遇，B正确；0～2s内，甲车发生的位移为x甲＝6m－（－2）m＝8m，乙车发生的位移为x乙＝6m－0＝6m＜x甲，所以0～2s内，甲车位移大于乙车位移，C错误；设甲车的位置表达式为x＝v0t＋at2＋x0，将（0，－2）、（1，0）、（2，6）代入，可得v0＝0，a＝4m/s2，x0＝－2m，乙车的速度为v乙＝＝m/s＝3m/s，当两车速度相同时，两车相距最远，两车相距最远的时刻为t1＝＝0.75s，D错误. 3 .假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶.甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30m/s，甲、乙相距x0＝100m.t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车 的加速度随时间变化的图像分别如图甲、乙所示.取运动方向为正方向.下列说法正确的是（　C　） A.t＝3s时两车相距最近 B.t＝6s时两车速度不相等 C.t＝6s时两车距离最近，且最近距离为10m D.两车在0～9s内会相撞 答案 C 解析　 由题给图像作出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6s时两车速度相等，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝[×30×3＋×30×（6－3）]m＝90m＜x0＝100m，即两车在t＝6s时距离最近，最近距离为x0－Δx＝10m，故A、B错误，C正确；t＝6s时，甲车在前、乙车在后，且两车相距10m，在6～9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在0～9s内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D错误. 4.[2026南京六校联合调研]甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们的位置坐标x随时间t变化的关系如图所示，已知乙车做匀变速直线运动，其图线最低点为P，则下列说法正确的是（　D　） A.甲车的初速度为10m/s B.两车第一次相遇时运动方向相同 C.乙车的加速度大小为1.2m/s2 D.乙车的初始位置坐标x0＝90m 答案 D 解析　 C错，D对. 5.[2026河南名校联考]歼－20是我国自主研制的新一代隐身战斗机，具有隐身性好、机动性强、战斗力强等特点.在某次模拟演习中，歼－20以100m/s的速度巡航时发现正前方10.5km处有一敌机正以240m/s的速度匀速逃跑.歼－20立即以大小为70m/s2的加速度沿两机连线方向进行追赶，在追赶的过程中最大速度为800m/s，则下列说法正确的是（　B　） A.歼－20追上敌机的最短时间为28s B.歼－20追上敌机的最短时间为25s C.在追赶的过程中，歼－20与敌机的最大距离为10800m D.在追赶的过程中，歼－20与敌机的最大距离为10600m 答案 B 解析　歼－20巡航速度v0＝100m/s，最大速度v1＝800m/s，敌机逃跑速度v2＝240m/s，发现敌机时二者距离s＝10.5km，设歼－20追上敌机的最短时间为t，歼－20加速时间为t1＝＝s＝10s，由v0t1＋＋v1（t－t1）＝v2t＋s，联立解得t＝25s，A错误，B正确；在追赶过程中，二者速度相等时，距离最大，设歼－20开始追赶后经t2二者速度相等，则v0＋at2＝v2，解得t2＝2s，在追赶过程中，歼－20与敌机的最大距离为Δx＝v2t2＋s－（v0t2＋）＝10640m，C、D错误. 6.[2024江苏徐州模拟]如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现B车后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点（t＝0），A、B两车的v－t图像如图乙所示.已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1＝12m. （1）求B车的速度vB和A车的加速度大小a. （2）若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时（t＝0）两车的距离x0应满足什么条件？ 答案　（1）vB＝12m/s　a＝3m/s2　（2）x0＞36m 解析　（1）在t1＝1s时A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得x1＝vBt1 解得B车的速度为vB＝12m/s 图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝ 其中t2＝5s 解得A车的加速度大小为a＝3m/s2 （2）两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t2＝5s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x＝vB（t1＋t2） 代入数据解得x＝36m 因此若A、B两车不会相撞，则两车的距离x0应满足的条件为 x0＞36m. 7.[2026河南名校联考]如图（a）所示，甲、乙两车在同一水平道路上，开始时乙车在甲车前x0＝54m处，该时刻甲车匀速行驶，乙车停在路边，甲车开始匀减速运动准备停车.已知从甲车减速时开始计时，第1秒内位移为32m，第5秒内位移为1m.从甲车减速开始1秒末乙车开始运动，与甲车同向行驶，其v－t图像如图（b）所示，甲、乙相遇时会错车而过，不会相撞.求： （1）乙车从静止加速到最大速度时间内，行驶的位移是多少； （2）甲车刚开始减速时的速度大小； （3）从甲车减速时开始计时，甲、乙两车相遇的时刻. 答案　（1）18m　（2）36m/s　（3）2s、4.75s 解析　（1）乙车从静止加速到最大速度时间内，利用平均速度计算行驶的位移得 x＝（vm＋0）t4＝×12×3m＝18m （2）设甲车匀减速的加速度大小为a，第1s末速度为v1，第5s末速度为v5，则第5s内x5＝v5t＋at2 第1s内x1＝v1t＋at2 又v1＝v5＋4at 将x1＝32m，x5＝1m，t＝1s代入以上三式，联立解得v5＝－m/s＜0. 说明第5秒内甲车已经停下.设第5秒内甲车运动了Δt，则x5＝a1（Δt）2，x1＝a1（Δt＋4s）2－a1（Δt＋3s）2 解得Δt＝0.5s，a1＝8m/s2 甲车刚减速时速度为v0＝a1（4s＋Δt）＝36m/s （3）设从甲车减速开始经过t1时间甲车与乙车相遇，则x甲＝v0t1－a1 设乙车加速度为a2，由图像得a2＝＝4m/s2 由位移公式x乙＝a2（t1－1s）2 甲、乙两车的位移关系x甲＝x乙＋x0 解得t1＝2s（另一解不合理舍去） 此次相遇时甲车的速度v甲＝v0－a1t1＝20m/s＞v乙＝4m/s，因此甲车与乙车还会第二次相遇，设甲车减速阶段位移为x'甲 x'甲＝a1（Δt＋4s）2 此过程中乙车的位移为x'乙＝a2＋vmΔt 解得x'甲＝81m，x'乙＝24m 从而有x'甲＞（x'乙＋x0） 即甲车停止时，乙车还在甲车后面. 设乙车再经时间t'追上甲车，则有x'甲－（x'乙＋x0）＝vmt' 解得t'＝0.25s 故甲、乙两车第二次相遇时间为t2＝t'＋4s＋Δt＝4.75s. 8（2026山东烟台联考）在某次军事演习中，歼击机以v0＝220m/s的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶机.当两者相距x0＝3.2km时，歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为a＝20m/s2的匀加速直线运动，t0＝20s时击中无人靶机并将其击落.已知发射导弹的时间不计，发射导弹对歼击机速度无影响. （1）求无人靶机被击中前飞行的速度大小； （2）求导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离； （3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置，且要求歼击机到达时速度为零继而悬停在空中.已知歼击机以最大加速度加速t＝4.8s后达到最大速度vm＝340m/s，且歼击机加速和减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击中无人靶机至歼击机到达无人靶机被击落的空中位置的最短时间.（结果保留3位有效数字） 答案　（1）260m/s　（2）3.24km　（3）19.4s 解析　（1）根据题意，设靶机速度为v1，则有x0＝v0t0＋－v1t0 解得v1＝260m/s （2）设导弹被发射后经t1时间与无人靶机速度相等，此时二者间距最大，则有v1＝v0＋at1 解得t1＝2.0s 最大距离为Δx＝v1t1－（v0t1＋）＋x0 解得Δx＝3.24km （3）导弹击中靶机时，歼击机与无人靶机的距离为 x1＝x0＋（v1－v0）t0 经分析可知，导弹击中靶机后，歼击机须先做匀加速直线运动，达到最大速度后再以最大速度做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，且到达靶机被击落的空中位置时的速度为零.设歼击机的最大加速度为am＝ 歼击机做匀加速直线运动的位移大小为x2＝t 歼击机做匀减速直线运动的时间和位移大小分别为t2＝、x3＝t2 歼击机做匀速直线运动的时间为t3＝ 所以从导弹击中靶机至歼击机到达靶机被击落的空中位置的最短时间为tmin＝t＋t2＋t3≈19.4s. 9.[2026河南洛阳质检]蓝牙是一种无线技术，可实现固定设备、移动设备之间的短距离数据交换.如图所示，甲、乙两辆汽车并排沿平直路面向前行驶，两车车顶O1、O2两位置都装有蓝牙设备，这两个蓝牙设备在相距17m以内时会立即自动连接实现通信，一旦超过该距离，蓝牙信号便会立即断开，无法通信.t＝0时刻，甲、乙两车刚好位于图示位置，此时甲车的速度为8m/s，乙车静止，O1、O2的距离为8m.从该时刻起乙车以大小为2m/s2的加速度做匀加速直线运动，当速度达到9m/s后保持匀速运动，甲车保持原有 速度做匀速直线运动.求： （1）两车通信第一次中断时，甲车行驶的位移大小； （2）甲、乙两车第一次通信中断持续的时间； （3）整个运动过程中，甲、乙两车能够保持通信的总时间. 答案　（1）24m　（2）2.25s　（3）33s 解析　（1）设甲、乙两车经过时间t1第一次通信断开，根据几何关系可知，甲车在乙车斜前方且O1O2为17m，由几何关系得两车在运动方向上位移之差满足Δx＝x甲－x乙＝m＝15m 根据运动学公式x甲＝v甲t1、x乙＝ 联立以上三式可得t1＝3s或t'1＝5s（舍） 此时甲车行驶的位移大小为x甲＝24m. （2）设经时间t2乙车速度达到最大，有t2＝＝4.5s 此时乙车运动的位移x'乙＝＝20.25m 甲车位移为x'甲＝v甲t2＝36m 由于x'甲－x'乙＝15.75m 通信仍处于中断状态，再经过Δt1甲、乙两车恢复通信，则Δt1＝＝0.75s 甲、乙两车从第一次通信断开到恢复的时间 Δt2＝t2＋Δt1－t1＝2.25s. （3）第一次通信断开后恢复的时候，甲车在前方，乙车速度大于甲车，从O1O2小于17m，至乙车在甲车前方且O1O2为17m时，通信断开，用时为Δt3＝＝30s 此后两车相距越来越远，失去信号.可知两车能够保持通信的总时间为Δt4＝t1＋Δt3＝33s. 1 学科网（北京）股份有限公司 $