第21章 二次函数与反比例函数全章高频重点题型突破 15大题型（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 系统归纳二次函数与反比例函数高频题型，构建从基础概念到综合应用的递进训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|15类高频题型|覆盖定义、图像性质、解析式求法等核心概念与基础应用|从概念生成（定义）到性质推导（图像、系数关系），再到简单应用（平移、最值）| |综合攻坚|5类重难专项+综合题|侧重函数与几何、实际问题的综合应用，含探究性问题|以基础题型为依托，拓展至跨知识综合（函数与几何、函数与不等式），强化推理能力与应用意识|

第21章 二次函数与反比例函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的定义 题型2 二次函数的图像与性质 题型3待定系数法求二次函数解析式 题型4 二次函数图像与各项系数之间的关系 题型5 二次函数平移问题 题型6二次函数最值问题 题型7二次函数与不等式 题型8反比例函数的定义 题型9反比例函数的图像与性质 题型10反比例系数k的几何意义 题型11反比例函数与一次函数综合 题型12 反比例函数与实际问题 题型13反比例函数与几何综合 题型14二次函数与实际应用 题型15二次函数与几何综合 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 二次函数的定义 1．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 2．是一个开口向下的二次函数，那么__． 3．函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） ◆题型2 二次函数的图像与性质 4．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 5．当为何值时，二次函数中随的增大而减小（    ） A． B． C． D． 6．宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． ◆题型3待定系数法求二次函数解析式 7．已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为：__________（写出一个答案即可） 8．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 9．已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． ◆题型4 二次函数图像与各项系数之间的关系 10．抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 11．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ◆题型5 二次函数平移问题 13．我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 14．若抛物线与x轴的两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 15．如图，抛物线（其中）与y轴交于点A，将这段抛物线向左平移，使其经过点A，交x轴于点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． ◆题型6二次函数最值问题 16．在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）．该种群数量达到最大值时的培养时间为___________天． 17．若小敏骑单车的时间（单位：）受骑车速度（单位：）的影响，其关系可以用描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 18．为拓宽高端市场，某水产品养殖基地正规划开展特定高端水产品的专业化养殖项目．经过市场调查得到如下信息： (1)若该水产品的总产量为，求x的值； (2)养殖面积定为多少时，基地利润最大？最大利润是多少？ ◆题型7二次函数与不等式 19．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 20．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 21．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． ◆题型8反比例函数的定义 22．物理中压强公式 （F为压力，S为受力面积），若压力F恒定，则压强p与受力面积S成________比例关系． 23．根据欧姆定律可知，当电压为定值时，电流与电阻成反比例．当时，电流为（    ） A． B． C． D． 24．下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． ◆题型9反比例函数的图像与性质 25．已知实数满足，则下列点的坐标中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 26．攀登探险者一般会携带一种容积为5L的氧气瓶．一位探险者的吸氧速度为每小时不少于1L，但不多于5L，则氧气可供使用的时间（单位：h）关于此人的吸氧速度（单位：）的函数图象是（   ） A． B． C． D． 27．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（    ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， ◆题型10反比例系数k的几何意义 28．已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积． 29．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 30．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与矩形的边交于点，且，求矩形的面积． ◆题型1反比例函数与一次函数综合重难专项 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 2．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． ◆题型2 反比例函数与实际问题重难专项 4．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图2所示． (1)求h与之间的函数关系式； (2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化，变化了多少． 5．如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 6．如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求与之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． ◆题型3反比例函数与几何综合重难专项 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)则反比例函数的解析式为 ； (2)为轴上的一动点，当的面积为时，求点的坐标． 8．如图，平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过矩形的顶点，与边交于其中点，边在轴上，点坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)求由，，三点组成的三角形的面积． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． ◆题型4二次函数与实际应用重难专项 10．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 11．如图，从斜坡的顶端处拖出一个小球，恰好落在坡底处，小球在空中所经过的路线呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点，已知抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式． (2)求小球到斜坡的最大距离． (3)若抛物线恰好经过小树的树顶，点在斜坡上，且．已知小树与垂直，请直接写出点的坐标． ◆题型5二次函数与几何综合重难专项 12．二次函数的图象经过点，与x轴交于点B和点，与y轴交于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，平移线段至，使点B的对应点E落在二次函数在第一象限的图象上，点D的对应点F落在直线上，请求出此时点E的坐标； (3)如图2，在x轴上有一动点（），过点P作直线轴，交抛物线于点M．连接并延长，交y轴于点N，连接，，设的面积为，的面积为，当时，求m的值． 13．我们约定：对于二次函数，其顶点坐标为．若该函数图象上存在一个不同于顶点的点，满足，则称点Q为该函数的“对称点”，并称为“对称距”． (1)已知二次函数，判断点是否为它的“对称点”，并说明理由． (2)已知二次函数G：的图象经过原点，点是它的“对称点”，若该函数的“对称距”为4，求m的值． (3)在（2）的条件下，当时，求y的取值范围． 一、单选题 1．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 5．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 6．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 7．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 8．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 10．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 12．一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 三、解答题 13．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 15．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 17．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点，与轴交于点．点为轴下方抛物线上的动点，设点的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)过点作轴于点，过点作轴的平行线与轴交于点，与相交于点，过点作轴的垂线，交轴于点，设矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 二次函数与反比例函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的定义 题型2 二次函数的图像与性质 题型3待定系数法求二次函数解析式 题型4 二次函数图像与各项系数之间的关系 题型5 二次函数平移问题 题型6二次函数最值问题 题型7二次函数与不等式 题型8反比例函数的定义 题型9反比例函数的图像与性质 题型10反比例系数k的几何意义 题型11反比例函数与一次函数综合 题型12 反比例函数与实际问题 题型13反比例函数与几何综合 题型14二次函数与实际应用 题型15二次函数与几何综合 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 二次函数的定义 1．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 2．是一个开口向下的二次函数，那么__． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质及定义．先根据二次函数的定义求出或，再根据函数图象开口向下可得，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，即 ， ∴， 解得 或 ， 又∵函数图象开口向下， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，解题的关键是掌握二次函数的定义． 通过将函数表达式化为一般形式，判断其是否符合二次函数的定义． 【详解】解：函数可展开为，该形式为，其中，因此是二次函数． 故答案为：是． ◆题型2 二次函数的图像与性质 4．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 5．当为何值时，二次函数中随的增大而减小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数开口向下，对称轴为，进行判断即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 故选：C． 6．宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握将非标准形式转化为标准顶点式并从中识别顶点坐标是解题的关键． 先将给定的抛物线表达式转化为标准顶点式，再根据标准顶点式直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点形式为，对应,，顶点坐标为， 故选：C． ◆题型3待定系数法求二次函数解析式 7．已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为：__________（写出一个答案即可） 【答案】（或或） 【分析】选取三个点分四种组合求解二次函数解析式． 组合：选取、、三点，利用对称性设顶点式求解； 组合：选取、、三点，利用对称性设顶点式求解； 组合：选取、、三点，设一般式，代入三点坐标列方程组求解； 组合：选取、、三点，设一般式，代入三点坐标列方程组求解． 【详解】解：组合：过、、， ∵、关于轴对称， ∴抛物线对称轴为，设解析式为． 代入得， ∴， 代入得 解得， ∴解析式为． 组合：过、、 ∵、关于轴对称， ∴抛物线对称轴为， ∴设解析式为． 代入得， 代入得， 联立得， 解得，； ∴解析式为． 组合：过、、， 设解析式为， 代入：， 代入：，即， 代入：，即， 联立得， 解得，， ∴解析式为． 组合：过、、 设解析式为， 代入：， 代入：，即， 代入：，即， 联立得 解得，， ∴解析式为一次函数，不符合二次函数要求，故此组合舍去． 故答案为：（或或）． 8．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：设二次函数解析式为， 把、和代入得，， 解得， ∴二次函数解析式为， 故选：． 9．已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)抛物线解析式为 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再把代入，进行求解出，即可作答． （2）理解题意，此抛物线的解析式为，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线都经过点， ∴， 把代入， 得， ∴， （2）解：依题意，设此抛物线的解析式为， 由（1）得， ∵抛物线恰好经过点， ∴抛物线恰好经过点， ∴， 解得． ∴． ◆题型4 二次函数图像与各项系数之间的关系 10．抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 11．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 12．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴在y轴左边 ∴ ∴ ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②错误； ③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确； 综上所述：正确的有2个． ◆题型5 二次函数平移问题 13．我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移的性质，运用勾股定理求出两点之间的距离，先把一般式化为顶点式，找出抛物线的顶点坐标，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， ， 则抛物线的顶点坐标为， 依题意，， 即平移的距离至少是． 故答案为：， 14．若抛物线与x轴的两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，能够求出定弦抛物线的表达式并掌握平移规律是解题的关键．先根据定弦抛物线的定义求出定弦抛物线的表达式，再按图象的平移规律平移即可． 【详解】∵某定弦抛物线的对称轴为直线， ∴某定弦抛物线过点， ∴该定弦抛物线的解析式为， ∴将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是， 即， ∴抛物线顶点坐标为． 故选A． 15．如图，抛物线（其中）与y轴交于点A，将这段抛物线向左平移，使其经过点A，交x轴于点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再得，，，结合，即可作答． 【详解】解：过点A作轴交抛物线于一点C，记未平移前，抛物线与的正半轴交一点，即为点，如图： 依题意，把代入， ∴ 即点 ∵抛物线（其中）与y轴交于点A，将这段抛物线向左平移，使其经过点A，交x轴于点B， ∴，，， 把代入， 得， 整理得， ∴ 即， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：B ◆题型6二次函数最值问题 16．在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）．该种群数量达到最大值时的培养时间为___________天． 【答案】 【分析】本题考查把化为顶点式，求二次函数的最大值． 把化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最大值， ∴该种群数量达到最大值时的培养时间为天． 故答案为：． 17．若小敏骑单车的时间（单位：）受骑车速度（单位：）的影响，其关系可以用描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质，即可得出最短时间． 【详解】解：，二次项系数为正，函数图象开口向上，有最小值， 故当时，最小，最小值为， 最短时间为分钟． 故选：B． 18．为拓宽高端市场，某水产品养殖基地正规划开展特定高端水产品的专业化养殖项目．经过市场调查得到如下信息： (1)若该水产品的总产量为，求x的值； (2)养殖面积定为多少时，基地利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)养殖面积定为亩时，基地利润最大，最大利润是万元 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意，列出一元二次方程求解； （2）根据题意，列出二次函数关系式，再求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， 答：x的值为； （2）解：设基地利润为y万元， 当时，y有最大值， 答：养殖面积定为亩时，基地利润最大，最大利润是万元． ◆题型7二次函数与不等式 19．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的解集是或． 20．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】本题考查图象交点与不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．当时的取值范围是一次函数图象在二次函数图象下方对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数交于和两点由函数图象可得， 当或者时，一次函数在二次函数下方，即， ∴或者时，． 故答案为：或． 21．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ ◆题型8反比例函数的定义 22．物理中压强公式 （F为压力，S为受力面积），若压力F恒定，则压强p与受力面积S成________比例关系． 【答案】反 【分析】根据正反比例的定义，对给定公式变形，结合恒定的条件，即可判断与的比例关系． 【详解】解：由压强公式，变形可得， 根据正反比例的定义，若两个变量的乘积为定值，则两个变量成反比例关系， 已知压力恒定，即与的乘积为定值，因此压强与受力面积成反比例关系． 23．根据欧姆定律可知，当电压为定值时，电流与电阻成反比例．当时，电流为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴时，． 24．下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用待定系数法求出，然后将，代入求解． 【详解】解：将，代入得， 解得 ∴反比例函数 将，代入得， 解得． ◆题型9反比例函数的图像与性质 25．已知实数满足，则下列点的坐标中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解关于的分式方程得到的所有可能值，再根据反比例函数的性质：若点在图象上，则点横纵坐标的乘积等于，验证选项即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 整理得，， 即， 解得或， ∵反比例函数满足， ∴或， 、，不等于也不等于，故该选项不符合； 、，与的一个值相等，故该选项符合； 、，不等于也不等于，故该选项不符合； 、，不等于也不等于，故该选项不符合． 26．攀登探险者一般会携带一种容积为5L的氧气瓶．一位探险者的吸氧速度为每小时不少于1L，但不多于5L，则氧气可供使用的时间（单位：h）关于此人的吸氧速度（单位：）的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图像的识别，掌握反比例函数图像的特征是解题的关键； 根据题意得出吸氧速度与氧气可供使用的时间成反比，然后结合的范围求解． 【详解】解：氧气瓶容量一定，则吸氧速度与氧气可供使用的时间成反比， 由题意知，，又， ∴； 故选：D． 27．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（    ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质及点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的图像与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．将代入得， ∴点C的坐标为， 故A正确； B．由题意可知， ， ， ， ， 故B错误； C．若，则， ∴的图象关于x轴对称，故C正确； D．当时，， ∵反比例函数的函数值随的增大而增大， ∴当时，，故D正确． 故选：B． ◆题型10反比例系数k的几何意义 28．已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积． 【答案】8 【分析】 本题考查了反比例函数中的几何意义，设反比例函数的解析式为，把，代入即可得出的值，再根据矩形面积是个定值，即即可得出答案． 【详解】 解：设反比例函数的解析式为，把，代入，得， 矩形的面积． 29．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 30．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与矩形的边交于点，且，求矩形的面积． 【答案】12 【分析】本题主要考查矩形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握矩形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键；过点E作于点F，由题意易得四边形是矩形，然后由反比例函数k的几何意义可知：，进而根据可进行求解． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， 由反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴． ◆题型1反比例函数与一次函数综合重难专项 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入求出，然后代入求解即可； （2）将代入求出，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ，即 在反比例函数的图象上 ，解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：在反比例函数的图象上 ∴， 解得，即 轴 点的横坐标与点的横坐标相等， 将代入，得，即 ． 2．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． ◆题型2 反比例函数与实际问题重难专项 4．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图2所示． (1)求h与之间的函数关系式； (2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化，变化了多少． 【答案】(1) (2)密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了3cm 【分析】（1）设，把求出k，即可得出解析式； （2）把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设h与之间的函数关系式为（）． 由题可知，图象过， 将，代入， 得． 解得． 所以h与之间的函数关系式为． （2）解：当时，． ． 答：密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了． 5．如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式，求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． 6．如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求与之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 【答案】(1)； (2)它的最快移动速度． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出反比例函数解析式，利用已知条件求出比例系数，再代入求值． （1）根据题意设（）；将，代入，得，解得；故与之间的函数关系式为 . （2）将代入，得；故最快移动速度为． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设函数关系式为（）． 将，代入，得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 答：当载重后总质量时，它的最快移动速度为． ◆题型3反比例函数与几何综合重难专项 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)则反比例函数的解析式为 ； (2)为轴上的一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，以及平面直角坐标系中三角形面积的计算，熟练运用函数交点坐标的求法和面积分割法是解题的关键． （1）利用一次函数的解析式求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值，进而确定反比例函数的解析式； （2）先求出一次函数与轴的交点的坐标，设出点的坐标，用面积分割法表示出的面积，结合已知面积列方程求解，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入一次函数中可得， ， ， 将代入反比例函数中可得， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：把代入得， ， 设，则， ， ， ，， ， ，， 或． 8．如图，平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过矩形的顶点，与边交于其中点，边在轴上，点坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)求由，，三点组成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质： （1）点的坐标为，采用待定系数法求解即可； （2）将代入，得，可求得点的坐标为． 【详解】（1）根据题意可知，点的坐标为． 因为点在反比例函数（）的图象上，可得 ． 解得：． 所以反比例函数解析式为． （2）将代入，得 ． 解得 ． 所以点的坐标为． 可知． 所以． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合应用题，主要考查：函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式和平行于轴的线段长度的计算方法． （1）利用一次函数求点的坐标，然后利用点求反比例函数的； （2）利用反比例函数求点的坐标，再利用一次函数求点的坐标，最后计算的长． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入，得：，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得，即． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， 将代入，得：，解得，即． ∴． ◆题型4二次函数与实际应用重难专项 10．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 11．如图，从斜坡的顶端处拖出一个小球，恰好落在坡底处，小球在空中所经过的路线呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点，已知抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式． (2)求小球到斜坡的最大距离． (3)若抛物线恰好经过小树的树顶，点在斜坡上，且．已知小树与垂直，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点为抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，作于点，可证明，解直角三角形得到．求出直线的解析式为．设点的坐标为，则，可求出，求出的最大值即可得到答案； （3）设，则，根据，可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：设点为抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，作于点，如图所示． ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴． ∴． 设所在直线的解析式为， 将，代入得， ∴， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为，则， ∴． ∴ ． ∵， ∴当时，取最大值， ∴小球到斜坡的最大距离为． （3）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． ◆题型5二次函数与几何综合重难专项 12．二次函数的图象经过点，与x轴交于点B和点，与y轴交于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，平移线段至，使点B的对应点E落在二次函数在第一象限的图象上，点D的对应点F落在直线上，请求出此时点E的坐标； (3)如图2，在x轴上有一动点（），过点P作直线轴，交抛物线于点M．连接并延长，交y轴于点N，连接，，设的面积为，的面积为，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出，，直线的表达式为，设点，根据平移的性质得到，然后代入求解即可； （3）首先表示出，，，，证明，得到，求出，然后表示出，，然后根据列方程求解． 【详解】（1）解：将和代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：令得，， 解得：，， ， 把代入中，得：， ， ∴点B向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点D， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∵平移线段至， 设点，则点E向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点， 将点F代入，得 整理得，， 解得（舍去），， ∴； （3）解：，轴，交抛物线于点M， ， ∴，，， ， ∴， ，即， 解得， ，， ， ， 整理得，， 解得（舍去），， 的值是． 13．我们约定：对于二次函数，其顶点坐标为．若该函数图象上存在一个不同于顶点的点，满足，则称点Q为该函数的“对称点”，并称为“对称距”． (1)已知二次函数，判断点是否为它的“对称点”，并说明理由． (2)已知二次函数G：的图象经过原点，点是它的“对称点”，若该函数的“对称距”为4，求m的值． (3)在（2）的条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】(1)点不是二次函数的“对称点”，理由如下： ∵二次函数的顶点坐标为， ∴，， ∴，故点不是二次函数的“对称点”． (2) (3) 【分析】（1）根据“对称点”的定义判断即可． （2）先把二次函数一般式化成顶点式，得出顶点坐标，根据二次函数过原点得出，再根据“对称点”的定义得出，根据“对称距”为4，分别求出对应的a的值，最后将a的值代入，即可求出m的值，最后根据得出m的值即可． （3）根据（2）得出，，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵， ∴顶点坐标为． ∵函数G的图象经过原点，∴． 由题意可知：，， ∴． ∵函数的“对称距”为4，即， ∴或． 当时，． 将代入，得， 解得或（舍去）； 当时，． 将代入， 得，， ∴无实数解． 综上，； （3）解：由（2）可知：，， ∴． ∵， ∴． ∵对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为， 当或3时，y有最大值，最大值为， ∴． 一、单选题 1．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 2．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：A、当时，，点不在该函数图象上，A错误； B、反比例函数中，，则该函数的图象分别位于第二、第四象限，B正确； C、当时，，可得，即，不符合，C错误； D、时，反比例函数仅在每个象限内满足随的增大而增大，对全体x不满足y随x增大而减小，D错误． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 5．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 6．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 7．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 8．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 二、填空题 9．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 10．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 【答案】 【分析】设，由为线段的中点，可得，，由，可得，，最后由，即可求解． 【详解】解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 12．一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 【答案】 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 三、解答题 13．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y (2)点坐标为或 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【详解】（1）解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ， 解得， 一次函数解析式：． （2）解：设直线与轴交于点，如图所示， 令， 解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 15．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】(1)（），（）； (2)每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 17．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点，与轴交于点．点为轴下方抛物线上的动点，设点的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)过点作轴于点，过点作轴的平行线与轴交于点，与相交于点，过点作轴的垂线，交轴于点，设矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①； ②当或时，随的增大而增大． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）利用二次函数解析式求出的坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求解，即可解题； （3）①根据题题意作草图，利用函数解析式推出点的纵坐标为，点的纵坐标为，再分情况：当时，当时，结合矩形周长公式求解，即可解题； ②结合二次函数的增减性进行分析，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过点，与轴交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 当时，有， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （3）解：①根据题意作图如下： 点的横坐标为，直线的解析式为； 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 当时， 有，， 矩形的周长为． 当时， 有，， 矩形的周长为． 综上，； ②当时，解析式对称轴为直线，且， 当随的增大而增大时，的取值范围为； 当时，解析式对称轴为直线，且， 当随的增大而增大时，的取值范围为； 综上，当或时，随的增大而增大． 2 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $