精品解析：甘肃省环县第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

环县一中2025～2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册. 参考公式：回归直线方程： 其中 样本相关系数 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解. 【详解】因为，所以，所以，，所以． 2. 抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（ ） A. 0≤X≤5，X∈N B. －5≤X≤0，X∈Z C. 1≤X≤6，X∈N D. －5≤X≤5，X∈Z 【答案】D 【解析】 【分析】根据第一枚的最小值和第二枚的最大值的差求得的最小值，根据第一枚的最大值和第二枚的最小值的差求得的最大值，从而得出正确选项. 【详解】第一枚的最小值为，第二枚的最大值为，差为 第一枚的最大值为，第二枚的最小值为，差为 故的取值范围是 故选：D. 3. 利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查列联表计算得，那么认为X与Y有关系，这个结论错误的可能性不超过（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 0.005 B. 0.05 C. 0.001 D. 0.01 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立性检验中值与临界值比较判断即可. 【详解】因为， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为与有关系． 4. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】. 5. 为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（ ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A. B. 与的样本是负相关 C. 当时，的预估值为2.2 D. 去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 【答案】D 【解析】 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A；由的正负即可判断B；.根据回归方程代入计算即可判断C，由相关系数公式即可判断D. 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，解得，故A错误； 因为，所以与的样本是正相关，故B错误； 当时，的预估值为，故C错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变，故D正确． 故选：D． 6. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数学期望与方差的性质求解 【详解】，得， ，得， 故选：B 7. 当时，函数取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，由题意，解得，即可计算. 【详解】当时，函数取得最小值， 所以，所以，得， 又，根据函数在处取得最值， 所以即得， 所以，. 故选：C. 8. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互质的定义，确定事件，再在这些互质数内，根据二次剩余的定义，计算出的二次非剩余数，结合条件概率的计算公式，即得. 【详解】在到中与互质的有1,5,7,11,13,17,19，即； 由二次剩余的定义，假设是的二次非剩余，则整数的整数不存在， 当时，，当时，， 当时，不存在， 即， 由事件中有种情况，事件有种情况， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ） x 0 1 P a b c A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及分布列的性质求解即可. 【详解】因为成等差数列，所以． 由分布列的性质得，即，解得，B正确. 所以，D正确． 因为题目中未给出与的关系，只能得到，无法求出与的值，故AC错误． 10. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，. A. 该校学生体育成绩的方差为10 B. 该校学生体育成绩的期望为70 C. 该校学生体育成绩的及格率不到 D. 该校学生体育成绩的优秀率超过 【答案】BC 【解析】 【分析】由正态分布的期望、方差判断A、B正误，利用正态分布的对称性，结合特殊区间概率的求法求、即可判断C、D的正误. 【详解】A：由题设知，所以该校学生体育成绩的方差，错误； B：由题设知，即该校学生体育成绩的期望为70，正确； C：，所以该校学生体育成绩的及格率不到85%，正确； D：，故该校学生体育成绩的优秀率为2.28%，故错误； 故选：BC. 11. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ） A. ，使 B. 线段存在最小值，最小值为 C. 直线与平面所成的角恒为 D. ，都存在过且与平面平行的平面 【答案】AD 【解析】 【分析】结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；取，可得A；结合向量模长与数量积的关系，计算可得B；得到平面的法向量后，结合空间向量夹角公式计算可得C；借助向量性质可得，，为共面向量，即可得D. 【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面， 平面平面，平面，故平面， 而平面，故． 设，则，其中， 由题设可得： ； 对于A，当即时，，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当即时等号成立，故，故B错误； 对于C，平面的法向量为，且， 故，此值不是常数， 故直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误； 对于D，由，故，，为共面向量， 而平面，故平面，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______． 【答案】0.6 【解析】 【分析】根据两点分布的性质即可求出答案. 【详解】随机变量X服从两点分布，则，又，联立解得． 故答案为：0.6. 13. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理、向量的线性运算及向量相等求解即可. 【详解】由题意可知. 设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据题意可得在上单调递减，不等式可化为，根据函数的单调性解不等式即可求出答案. 【详解】令，因为， 所以，即在上单调递减， 又，所以， 因此不等式等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，利用全概率公式可求得的值； （2）利用条件概率公式可求得的值. 【小问1详解】 记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区， 记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区， 则，且、、彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 . 【小问2详解】 由条件概率公式可得. 16. 某网红冰淇淋公司计划在A市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示在5个区域开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和． x（个） 1 2 3 4 5 y（千万元） 1 1.6 2 2.4 3 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归直线方程； （2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋．完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为两个店的顾客购买率有差异． 买 不买 总计 分店一 分店二 总计 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2） 买 不买 总计 分店一 180 120 300 分店二 150 50 200 总计 330 170 500 有99.9%的把握认为两个店的顾客购买率有差异 【解析】 【分析】（1）根据线性回归模型，结合回归系数公式及样本均值计算即可. （2）提出零假设，求出，与临界值比较判断即可. 【小问1详解】 ，， 则，， 所以， ， 所以关于的回归直线方程为：． 【小问2详解】 由题意，得出列联表如下表： 买 不买 总计 分店一 180 120 300 分店二 150 50 200 总计 330 170 500 设零假设：两个店的顾客购买率无差异． 则， 因为，，所以拒绝零假设， 即有的把握认为两个店的顾客购买率有差异． 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为为等边三角形，为的中点， 所以． 过作，垂足为， 因为底面为直角梯形，，，，， 所以，则， 由得，所以 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 又，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形三线合一得到，在直角梯形中通过已知边和角求得长，由勾股定理得到长，再由勾股定理逆定理得到，结合面面垂直，得到平面，然后得到，然后得证平面； （2）由（1）得到三条两两垂直的直线，以这三条线建立空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，从而求得平面的法向量的坐标，由轴⊥平面直接写出平面法向量，由空间向量的关系求得面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由（1）可知，轴⊥平面，不妨取平面的法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 18. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的. （1）求选手乙正确作答2个题目的概率； （2）求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望； （3）从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 ； （3） 设选手乙正确作答的题目个数为，则， 数学期望， 由，可得，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设选手甲正确作答的题目个数为，求出的可能取值及其对应的概率，得到分布列，求出数学期望； （3）设选手乙正确作答的题目个数为，计算出、，再求出，则，与、作比较可得答案，即可判断； 【小问1详解】 设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，则，所以选手乙正确作答2个题目的概率． 【小问2详解】 设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3． 所以，，，． 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望． 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴； （3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为． （2） ，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由题意可知，，解得． 所以，则， 又，则， 所以曲线在处的切线方程为， 故曲线在处的切线平行于轴． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导数的正负得出单调区间； （2）根据导函数得出函数的单调性，再代入计算得出切线即可证明； （3）先求出导函数，再构造函数，再结合单调性得出参数范围. 【小问1详解】 当时，， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上有两个零点，即方程在上有2个根． 设，则， 令，则，所以在上单调递增， 即在上单调递增， 又，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，，当时，， 由题意可知，直线与曲线有两个交点，则， 故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县一中2025～2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册. 参考公式：回归直线方程： 其中 样本相关系数 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 2. 抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（ ） A. 0≤X≤5，X∈N B. －5≤X≤0，X∈Z C. 1≤X≤6，X∈N D. －5≤X≤5，X∈Z 3. 利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查列联表计算得，那么认为X与Y有关系，这个结论错误的可能性不超过（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 0.005 B. 0.05 C. 0.001 D. 0.01 4. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（ ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A. B. 与的样本是负相关 C. 当时，的预估值为2.2 D. 去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 6. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 当时，函数取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 8. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ） x 0 1 P a b c A. B. C. D. 10. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，. A. 该校学生体育成绩的方差为10 B. 该校学生体育成绩的期望为70 C. 该校学生体育成绩的及格率不到 D. 该校学生体育成绩的优秀率超过 11. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ） A. ，使 B. 线段存在最小值，最小值为 C. 直线与平面所成的角恒为 D. ，都存在过且与平面平行的平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______． 13. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 16. 某网红冰淇淋公司计划在A市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示在5个区域开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和． x（个） 1 2 3 4 5 y（千万元） 1 1.6 2 2.4 3 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归直线方程； （2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋．完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为两个店的顾客购买率有差异． 买 不买 总计 分店一 分店二 总计 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的. （1）求选手乙正确作答2个题目的概率； （2）求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望； （3）从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴； （3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $