作业(一) 导数的概念、几何意义及其运算-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]在世界的历史中，每一伟大而高贵的时刻都是某种热忱的胜利。 高二数学（配RJA版） 第一部分 温故知新 作业（一） 今 月日 星期 导数的概念、几何意义及其运算 台 历 天气 1知识整合 3.基本初等函数的导数公式 1.“函数f(x)在点x。处的导数”“导函数”及 基本初等函数 导数 二者之间的区别与联系 f(x)=c(c为常数) f(x)=0 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的 f(x)=x(a∈R,且&≠0) f(x）=a.x0-1 函数的改变量与自变量的改变量的比的极 f(r)=sin x f'(r)=cos r 限.它是一个数值，不是变量 f(x)=cos x f(x)=-sinx (2)“导函数”：从求函数y=f(x)在x=x处 f(x)=a'(a>0,且a≠1) f'(x)=a"In a 导数的过程可以看到，当x=x。时，f(x) f(r)=ex f'(r)=ex 是一个唯一确定的数，这样，当x变化时， f(r)=logar(a>0, 1 f(x)= 且a≠1) rIn a y=f(x)就是x的函数，称它为y=f(x) f(r)=Inr 的导函数（简称导数）.y=f(x)的导函数 f()-I 有时也记作y,即f(x)=y 4.导数的四则运算法则 lim f(2tAr)-f(z) (1)[f(x)士g(x]'=f(x)士g'(x). △x (2)[cf(x)]'=cf(x)(c为常数). (3)函数y=f(x)在点xo处的导数f'(x) 就是导函数f'(x)在点x=x。处的函数 (3)Lf(x)g(x)]'=f(x)g(x)+f(x)g'(x) 值.f(xo)=f(x)|x=x,所以求函数在一 (4) f(x)],_f(x)g(x)-f(x)g'(x) g(x) [g(x)]2 点处的导数，一般是先求出函数的导函数， (g(x)≠0). 再计算这点的导数 5.复合函数的求导法则 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点P(xo,y)处的导数 一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x) f'(x。)表示函数y=f(x)在x=xo处的瞬 复合而成的函数y=f(g(x),它的导数 时变化率，导数f'(x。)的几何意义就是函 与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关 数y=f(x)在P(xo,y)处的切线的斜率， 系为y',=y'.·u,即y对x的导数等于 其切线方程为y一y=f(xo)(x一x). y对u的导数与u对x的导数的乘积」 暑假作业改变你的想法，你就改变了自己的世界。 [每日格言] 2基础诊断 3.若函数f(x)=lnx-ax在点P(1,b)处的 切线与3x-y+3=0平行，则2a+b= 1.(多选)下列导数计算正确的是 A.2 B.0 A.( 2√ C.-1 D.-2 B.(cos x)=sin x 4.已知函数f(x)=2x3-x2-2lnx,则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标 c.( 轴所围成的三角形的面积为 A.2 B.1 D.(log2x)'=- 1 xIn 2 c n 2.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)= 5.点P是曲线f(x)=√上一个动点，则点P 7t2+8(0≤t≤5)，则 ( ) 到直线x一y十2=0的距离的最小值是 A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在t=4时的瞬时速度是56 6.若曲线y=e在点(0,1)处的切线也是曲 C.该物体位移的最大值为43 线y=ln(x十l)十a的切线，则a= D.该物体在t=5时的瞬时速度是70 3.(教材改编)设函数fr)=千。若了①D 7.求下列已知函数的导函数： (1)f(x)=3"+x2; ,则 (2)f(x)=cos'x-sin'x; (3)y=(x+1)(x+2)(x+3); 4.曲线y=lnx- 2在x=1处的切线方程为 x+3 (4)y=In x2+3 3综合应用 1.已知函数f(x)=x3一a.x,若 1imf1+2△x)-f1D=1,则实数4= U △x 5 A.2 B.2 c. D.1 2.已知函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)= 2lnx-f'(1)x-2,则f(1)= A.-3 B.-1 C.1 D.3 [每日格言]生命如同寓言，其价值不在于长短，而在于内容。 高二数学（配JA版） 8.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. 2.(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是 (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线 曲线y=e+x十a的一条切线，则a= 方程； (2)求经过点A(2,一2)的曲线f(x)的切 3.(2024·新课标I卷)若曲线y=e+x在 线方程 点(0，l)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a 的切线，则a= 5易错警示 易错一 对复合函数的求导法则理解不透 致误 [示例1]已知函数f(x)在R上可导， F(x)=f(x3-1)+f(1-x3),则F'(1)= [名师叮嘱]求复合函数的导数时，要注意看函 数是由哪些基本初等函数复合而成的，再利用复合 函数的求导法则进行计算， 易错二 混淆曲线在某点处的切线方程与 过某点的切线方程 [示例2] 曲线y=2lnx+3过点(-号o) 的切线方程是 A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0 C.2x+4y+1=0 4真题体验 D.2x-4y+1=0 1.(2024·全国甲卷·理)设函数f(x)= e+2sin,则曲线y=f(x)在点(0,1)处 [名师叮嘱]曲线在某点处的切线方程明确了 1+x “某点”是切点，此时切线只有唯一一条，而过某点 的切线与两坐标轴所围成的三角形的面 的切线是指切线经过“某点”，此时“某点”可能是切 积为 ( 点，也可能不是切点，这样的切线可能是多条，所以 1 A.6 b.3 涉及过某点的切线的问题时，需要设出切点，写出 C.2 D. 切线方程，再把求切线的过程的已知点代入求解.[每日格言]凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。 高二数学（配RJA版） 参考答案 第一部分温故知新 7.解析(1)由f(x)=3十x得f(x)=3ln3+2.x. (2)f(x)=2cos a(cos x)'-2sin a(sin )=-2sin xcos x- 2sin acos =-2sin 2x. 作业（一）导数的概念、几何意义及其运算 (3)方法一： 【基础诊断】 y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=[(.x+1)(x+2)]Y(x+3) 1.AD2.ABD3.14.3x-y-5=0 +(x+1)(x+2)(x+3)' 【综合应用】 =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2.x+3)(x+ 1.A因为f(x)=x3-ax,故f(x)=3x2-a, 3)+x2+3.x+2=3x2+12x+11. 所以1imf1+2Ax)-f2=21imf1+2Ax)-f 方法二：因为(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3) △x △x-G 2△.x =x3+6x+11x+6, =2f(1)=1, 所以y=[(x+1)(x+2)(x+3)]了=(x3+6x2+11x+ 可得f1=3-a=子，解得a=子.故选A 6)′=3x2+12x+11. x+3 2.A f()=2In a-f(1)x-2, （4)令F元+3 得f)=是-f 则t=z+3)'(x+3)-(z+3)(z2+3 令x=1得f(1)=2-'(1), (x°+3)9 解得'(1)=1， (x2+3)-2x(x+3)=-x-6x+3 所以f(x)=2nx-x-2, (x2+3) (x2+3) f(1)=2ln1-1-2=-3.故选A. 所以y=父十3.二x-6x+3=--6x+3 3.D直线3x-y+3=0的斜率为3， x+3(x2+3)2(x+3)(x2+3) f(x)=Inx-ax.f(x)=1-a.f(1)=-a=b. 8.解析(1)因为f(x)=3x2-8.x+5, x 所以f'(2)=1,又f(2)=-2, f'(1)=1-a=3, 所以曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y十2=x-2,即 解得a=一2，b=2,所以2a十b=-2.故选D. x一y一4=0. 4.D函数f(x)=2x3-x2-2lnx,求导得广(x)=6x (2)设曲线与经过点A(2,一2)的切线相切于点P(x,z8 2x-2,则1)=2，而1)=1， -4.x6+5.x0-4), 因为f'(x0)=3x一8x。十5， 因此曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-1= 所以切线方程为y-(-2)=(3x号-8x。十5)(x-2), 2(x-1),即y=2x-1, 又切线过点P(xx8-4z6十5.x一4)， 孩切线交x轴子点（分0），交y轴子点0，-1， 所以x8-4x6+5x0-2=(3x-8.x+5)(xo-2), 整理得(x一2)(x。一1)=0， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为令× 解得x。=2或x。=1, 所以经过，点A(2,一2)的曲线∫(x)的切线方程为x一y 之X1=子故选D 4=0或y+2=0. 【真题体验】 5.解析因为f(x)=√的定义域为[0，十o),且广(x)= 1.Af(x)=c+2cos）1+)=（c+2sin）.2g,所 2◆1（行1，解得=子 (1+x2)2 2√ 以f(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程 为y一1=3(x一0)，即3x一y十1=0，切线与两坐标轴的 则（什）=子，可得点（任合》 交点分别为(0,1.（一子0），所以切线与两坐标轴所国 且点（什）到直线x-y十2=0的距高日 成的三角形的面积为2×1×子=日，故选A -+2 72 2.解析法一对于y=e十x十a,其导数为y=e+1, 因为直线y=2x十5是曲线的切线，直线的斜率为2， √2 8 令y=e+1=2,即e=1,解得x=0, 所以点P到直线x-y十2=0的距离的最小值是7 将x=0代入切线方程y=2x十5，可得y=2×0十5=5， 8 所以切点坐标为(0,5)， 答案7② 因为切点(0,5)在曲线y=e+x十a上， 8 所以5=e°十0十a,即5=1十a,解得a=4. 6,解析由y=e,得y'=c,y'|x=。=e°=1， 故答案为4. 故曲线y=e在(0,1)处的切线方程为y=x十1； 法二对于y=e十x十a,其导数为y=e十1， 由y=n(x+1)+a,得y= 假设y=2x十5与y=e十x十a的切点为(zyo), x十1' 1e9+1=2, 设切线与曲线y=In(x十1)十a相切的切点为(x。, 则{y=2.x+5, 解得a=4. In(zo+1)+a), y。=eo十xo十a, 由两曲线有公切线得一。十1，解得=0， 故答案为4. 答案4 则切点为(0，a),切线方程为y=x十a, 3.解析令f(x)=e+x,则f(x)=e+1,所以f(0)= 根据两切线重合，解得a=1. 2,所以曲线y=e十x在点(0,1)处的切线方程为y=2x 故答案为1. 答案1 十1.令gx)=nx+1D+a,则g()=设直线y 47 暑假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 [每日格言] 2x十1与曲线y=g(x)相切于点(xy),则 +7=2,得 6.解析由题意(.x)=(e-2r)'·(x2-2a.x)'= x=-号则头=2，+1=0，所以0=l(-号+1)小+a (2x-2a)e-r≥0，在[1,3]上恒成立， 因为e之r>0在R上恒成立， 所以a=n2. 所以只需x一a≥0在[1,3]上恒成立即可，即a≤xmn=l, 答案ln2 【易错警示】 所以实数a的取值范围为(-c0,1]. [示例1][解析]由已知得F(x)=f(x3-1)+f(1-x3) 答案(-∞，1] 在R上可导，所以F(x)=3xf(x3-1)-3x(1-x), 7.解析(1)当a=一1时，函数f(x)=lnx一x一x的定义 则F'(1)=3f(0)-3f(0)=0. 域为(0，十∞)， [答案]0 求号得/(x)=1-2x-1=二2x-x+1= x [示例2]B由题意，可得点(-号0）不在曲线y=2n (x+1)(2x-1) x+3上，设切点为(xy),因为y=2lnx十2，所以所求 切线的斜率k=2n,十2=% 2yo 1 x0+2 2x。十7，所以= 当x(（0,)时f)>0:当x(+）时) <0, 2xlnx。十2x十lnx十1，因为点(xy)是切点，所以y =2 Co In Zo+3,所以2 Zoln to+2xo+lnxo+1=2 coIn zo 所以函数f()在(0，)上单调递增，在(3，+∞）)上 +3,即2xo+lnx-2=0.设f(x)=2x+lnx-2(x> 单调递减。 0),明显f(x)在(0，十o)上单调递增，且f(1)=0,所以 2x,+lnx。一2=0有唯一解x。=1,则所求切线的斜率k (2)画数(2)的定义战为(0，十∞)，求导得了(x)=十 =2,故所求切线方程为y=2(2+号)=2x+1,即2x-y 2ax+2a+1=x+1)(2ax+1D, +1=0. 当a≥0时，(x)>0,函数f(x)在(0，十∞)上单调递增： 作业（二）导数与函数的单调性 当a<0时，由f(x)>0,得xe(0,-2):由f(x)<0, 【基础诊断】 1hA2.D3(0,）4.(-0,3] 得xe(-云+∞） 【综合应用】 函教fx)在(0-云）上单调递增，在(-品，十©)上 1.CDf(x)=e十(x-3)e=(x-2)e, 单调递减， 令'(x)>0可得x>2, 所以当a≥0时，函数f(x)在(0，十∞）上单调递增； 所以函数f(x)=(x一3)e的单调递增区间为 (2,+o),故选CD. 当a<0时，画数f()在(0，-。)上单词递增，在 2.C由fx)的图象可知，f(x)在(-，号）和(2，+∞) （一云十)上单调递减。 上单调递增，在（号2）上单调递减。 8.解析(1)由题意：f(x)=(2-x)e,f(x)=0,x=2, 当x∈（一o,2)时，f(x)>0;当x∈(2，十o)时，f(x)<0 刻当x∈(-0，）时fx)>0xe(2.十o)时.f) 故f(x)的单调递增区间为（一∞，2），单调递减区间为(2， +00). >0, (2)f(x)<g(x),证明如下： x∈(}，2)时，f(x)<0,所以不等式xf(x)<0的解集 由题意，f(x)一g(x) 为(-0,0)U(号2放选C =(x-1)(e-1)=z-1Dx-e) x 3.Af(x)=csin x,x∈R,则f(x)=sinx十xcos, 令h(x)=x-e,则h'(x)=1-e, 因为x>1,所以h'(x)<0,即h(x)在(1，十∞)上单调递 则0<x<受时，f(x)>0,f(x)=zsin单调递增， 减，故h(x)h(1)=1一e<0, 又0<晋<1<<登，则f()>f1)>f(故 则x一e<0,x一1>0，xe>0, 所以f(x)-g(x)<0,即f(x)<g(x). 选A. 【真题体验】 4.AC由题意得函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f(x)=x-9=-9 1.Cf)=ae-0对yxe1,2)恤成立. 由f(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间 a> 2e2, 为[3，十∞)， 由f(x)≤0，可得0<x≤3，则函数f(x)的单调递减区 g(x)在1,2)单调递减gz)<g()= 间为(0,3]， 因为f(x)在区间[m-1,m十1]上单调， a≥是选C 所以9支m-1≥8，解得1≤2或≥ 2.解析由函数的解析式可得f(x)=alna十(1十a)·ln (1十a)≥0在区间(0，十c∞)上恒成立， 结合选项可得A,C符合题意.故选AC. 则(1+a)ln(1十a)≥-alna, 5.解析 函教y=血+1的定义城为(0，十%)， y-(In z+1)'z-(Inz+Dz1-(In z+D_-Inz 中(）≥-na在区同(0，+0)上恤成立 In a 由y<0得>1，所以y=血+中的单调减区间为1，十0. 改（告）广=12na5a+1e1,2, x 答案(1，十∞) 故h1+a)>0,故6产-h… 48