11.5 因式分解-（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦八年级上册“因式分解”核心内容，涵盖概念辨析、提公因式法及公式法（平方差公式、完全平方公式）。通过复习整式乘法逆运算导入，如从m(a+b+c)=ma+mb+mc过渡到ma+mb+mc=m(a+b+c)，搭建与整式乘除的知识支架，帮助学生建立逆向思维脉络。 其亮点在于采用分层练习设计，从基础提公因式到含负号、整体因式的进阶训练，结合简便计算、求值等应用实例，培养学生运算能力与推理意识。课堂小结梳理知识框架，助力学生形成结构化认知，既提升学生分解技能与应用能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 11.5 因式分解 第十一章 整式的乘除 华东师大版八上11.5因式分解同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列各式变形属于因式分解的是（） A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$x^2+4x+1=x(x+4)+1$$ C. $$(x+1)(x-1)=x^2-1$$ D. $$x^2-2x=x^2(1-\dfrac{2}{x})$$ 2. 多项式$$3a^2b-6ab^2$$的公因式是（） A. $$3ab$$ B. $$3a^2b$$ C. $$ab^2$$ D. $$3$$ 3. 分解因式$$x^2-x$$的结果是（） A. $$x(x-1)$$ B. $$x(x+1)$$ C. $$x^2(1-x)$$ D. $$(x-1)^2$$ 4. 下列因式分解正确的是（） A. $$2x+4=2(x+2)$$ B. $$x^2-4x=x(x+4)$$ C. $$-x^2+2x=-x(x+2)$$ D. $$3x^2-6=3(x^2-6)$$ 5. 多项式$$(x-y)^2-(y-x)$$提取公因式后结果为（） A. $$(x-y)(x-y-1)$$ B. $$(x-y)(x-y+1)$$ C. $$(y-x)(x-y-1)$$ D. $$(x-y)(y-x+1)$$ 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 因式分解：$$5x+10=$$________。 2. 因式分解：$$a^2-3a=$$________。 3. 多项式$$4m^2n-6mn^2$$的公因式是________。 4. 因式分解：$$-2x^2+4x=$$________。 5. 因式分解：$$(a+b)^2-(a+b)=$$________。 6. 若$$x^2+mx=x(x-5)$$，则$$m=$$________。 三、计算题（每题 6 分，共 36 分） 1. 基础提公因式分解： （1）$$6x^2-9x$$ （2）$$8a^3-4a^2$$ （3）$$12mn-18m^2n$$ 2. 进阶提公因式分解（含负号、整体因式）： （1）$$-5x^2+10xy$$ （2）$$x(x-2)+3(x-2)$$ （3）$$2(a-b)^2-4(b-a)$$ 四、解答题（共 20 分） 1. 利用因式分解简便计算：$$2025\times45-2025\times25$$。（10 分） 2. 先因式分解，再求值：$$3x^2y-6xy^2$$，其中$$x=3，y=1$$。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.A 2.A 3.A 4.A 5.B 二、填空题 1.$$5(x+2)$$ 2.$$a(a-3)$$ 3.$$2mn$$ 4.$$-2x(x-2)$$ 5.$$(a+b)(a+b-1)$$ 6.$$-5$$ 三、计算题 1.（1）$$3x(2x-3)$$ （2）$$4a^2(2a-1)$$ （3）$$6mn(2-3m)$$ 2.（1）$$-5x(x-2y)$$ （2）$$(x-2)(x+3)$$ （3）$$2(a-b)(a-b+2)$$ 四、解答题 1. 解：原式$$=2025\times(45-25)$$$$=2025\times20=40500$$ 答：计算结果为$$40500$$。 2. 解：原式$$=3xy(x-2y)$$ 将$$x=3，y=1$$代入得： 原式$$=3\times3\times1\times(3-2\times1)=9\times1=9$$ 答：式子的值为$$9$$。 练习题拓展讲解（约 400 字） 因式分解是整式运算的逆向变形，是本章重难点内容，承接整式乘除运算，也是后续分式化简、解方程、二次函数学习的核心基础。本节核心定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，核心特征是“和差化积”，与整式乘法的“积化和差”互为逆运算。 本节基础核心方法为**提公因式法**，是因式分解的第一种、也是最基础的方法。公因式确定三步法：系数取各项系数的最大公约数、字母取各项都含有的相同字母、指数取相同字母的最低次幂。提公因式核心原则：首项为负先提负号，提取公因式后剩余项不丢项、不漏项，整体多项式可作为公因式提取。 高频考点包含因式分解概念辨析、简单提公因式分解、整体公因式分解、因式分解简便运算、化简求值五类。常见易错点：混淆因式分解与整式乘法、提取公因式不彻底、首项为负未变号、整体公因式符号转换错误。解题需牢记“分解彻底、结果为整式乘积、无剩余和差形式”三大原则，熟练掌握提公因式法，为后续公式法因式分解筑牢基础。 （全文含题目、答案、知识点讲解总计约 900 字） 学习目标 1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的 区别和联系.（重点） 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法 分解因式. 学习目标 复习回顾 1.运用前面所学的知识填空： （1）m(a+b+c)=_____________； （2）(x+1)(x−1)=_____________； （3）(a+b)2=_____________. ma+mb+mc x2−1 a2+2ab+b2 2.试一试，观察上面三个等式，填空： （1）ma+mb+mc=( )( )； （2）x2−1=( )( )； （3）a2+2ab+b2=( )2. m a+b+c x+1 x−1 a+b 这些式子有什么共同点？ 都是多项式化为几个整式的积的形式. 03 新知探究 探究 因式分解 回忆 运用前面所学的知识填空 （1）m ( a + b + c ) =__________________; （2）(a + b)(a - b) =____________________; （3）(a + b)2 =__________________. ma+mb+mc a2 - b2 a2+2ab+b2 03 新知探究 探究 因式分解 试一试 观察上面三个等式，填空. （1）ma + mb + mc =__________________; （2）a2 - b2 =____________________; （3）a2+2ab+b2 =________________. m ( a + b + c ) (a + b)(a - b) (a + b)2 你能发现什么？ 知识要点 “回忆”中的三个等式是我们已熟悉的整式的乘法运算，而“试一试”中的三个等式，其运算过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式. 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. ma+mb+mc m (a+b+c) 因式分解 整式乘法 03 新知探究 探究 提公因式法 观察多项式中的每一项，你能发现什么？ ma + mb + mc 多项式ma +mb +mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式. 把公因式提出来，多项式ma +mb+mc就可以分解成两个因式 m 和 ( a +b +c)的乘积了. 像这种因式分解的方法，叫做提公因式法. 03 新知探究 想一想：怎样用提公因式法进行因式分解？ 第一步，确定公因式 1.确定系数：取多项式各项系数的最大公约数。若系数有负号，通常提取负号，使括号内首项为正。 2.确定字母：取多项式各项中都含有的相同字母。 3.确定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个。 例如8a3b2+12ab3c 中8和12的最大公约数是​4，相同字母​a的最低次幂是​a，相同字母​b的最低次幂是b2，所以公因式是4ab2. 03 新知探究 想一想：怎样用提公因式法进行因式分解？ 第二步，将多项式的每一项除以公因式，所得的商作为另一个因式. 第三步，将公因式与另一个因式相乘。 如（8a3b2+12ab3c）÷4ab2=2a2+3bc. 所以8a3b2+12ab3c因式分解为4ab2（2a2+3bc） 03 新知讲解 【例】把下列多项式分解因式： (1)3a +3b；(2) 5x-5y+5z；(3) - 5a2+ 25a；(4) 3a2 - 9ab； 解：(1)3a +3b= 3（a +b）； (2) 5x-5y+5z= 5（x - y + z）； (3) - 5a2+ 25a= -5a( a-5 )； (4) 3a2 - 9ab= 3a( a - 3b ). 03 新知探究 探究 公式法 （2）a2 - b2 =(a + b)(a - b); （3）a2+2ab+b2 =(a + b)2. “试一试”中的小题(2)和小题(3)，实际上是将乘法公式反过来用，来进行因式分解的. 这种因式分解的方法称为公式法. 03 新知探究 探究 公式法 a2 - b2 =(a + b)(a - b) 观察公式，说一说这个公式的特点. 本题是用平方差公式进行因式分解的形式， 其特点为左边是一个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积。 03 新知探究 探究 公式法 a2 - b2 =(a + b)(a - b) 平方差公式因式分解的步骤： 1.确定a和b：将多项式中的两项分别写成平方形式，确定对应的底数a和b。如，4x2-9可写成 ( 2x )2- 32，此时a=2x，b=3。 2.应用平方差公式：根据公式a2 - b2 =(a + b)(a - b)，将多项式分解为两个二项式的乘积。如，4x2-9=(2x+3)(2x - 3)。 03 新知探究 探究 公式法 a2+2ab+b2 =(a + b)2 本题是用完全平方公式进行因式分解的形式， 其特点为左边是一个三项式，其中两项是两个数的平方和，另一项是这两个数乘积的 2 倍；右边是这两个数和的平方。 观察公式，说一说这个公式的特点. 03 新知探究 探究 公式法 a2+2ab+b2 =(a + b)2 完全平方公式因式分解的步骤： 1.先找两个数的平方，确定a，b，再验证第三项是否为两数ab乘积的2倍。如16x2+24x+9可写成( 4x )2+2×4×3+32，此时a=4x，b=3。 2.应用完全平方公式：根据公式a2+2ab+b2 =(a + b)2，将多项式因式分解。如，16x2+24x+9=( 4x+3 )2。 03 新知讲解 【例】把下列多项式分解因式： （1）x2 - 4y2； （2）25x2- 16y2； （3）m2+6mn+9n2 ；（4）x2 + 4xy +4y2. 解：（1）x2 - 4y=x2 - （2y）2= （x + 2y）（x - 2y）； （2） 25x2- 16y2=（5x）2 -（4y）2= （5x + 4y）（5x - 4y）； （3）m2+6mn+9n2 = m2+6mn+（3n）2=( m+3n )2； （4）x2 + 4xy +4y2= x2 + 4xy +（2y）2=( x +2y)2. 03 新知讲解 【例2】把下列多项式分解因式： （1）4x3y - 4x2y2+xy3； （2）3x3 - 12xy2； 解：（1）4x3y - 4x2y2+xy3 =xy（4x2 - 4xy+y2） =xy（2x - y）2. （2）3x3 - 12xy2 =3x（x2 - 4y2） =3x[ x2 - （2y）2] =3x（x+2y）（x-2y） 03 新知讲解 【拓展提高】 对于因式分解应注意以下几点： （1）分解的对象必须是多项式； （2）有时需要先把多项式进行适当变形，然后再把它因式分解； （3）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式； （4）要分解到不能分解为止. 1. ［2025上海黄浦区期中］下列等式中，从左向右的变形为 因式分解的是( ) A. B. C. D. 2. 把多项式 分解因式，应提的公因式是 ( ) A. B. C. D. √ √ 返回 中考考法 19 3. 长宽分别为， 的长方形周长为16，面积为12，则 的值为( ) A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 4. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为 ，那么 的值为( ) A. B. 1 C. D. 2 √ √ 返回 中考考法 20 5. 已知， ，则代数式 的值为( ) A. B. 30 C. D. 6. 一个多项式，把它用提公因式法因式分解 后有一个因式为 ，请你写出一个符合条件的多项式： _____________________. （答案不唯一） 7.计算 所得的结果是_______. √ 返回 中考考法 21 8. 把下列各式分解因式： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 返回 中考考法 22 9.先分解因式，再求值： （1），其中， ； 【解】原式 . 将， 代入，得原式 . 中考考法 23 （2） ，其中 ， . 原式 . 把,代入,得原式 . 返回 中考考法 24 10. 已知为有理数，则整式 的值 ( ) A. 不是负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0 11. 的三边长分别为,, ，且 ，则 是( ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 √ √ 返回 中考考法 25 12. 已知，，若 ， ，则与 的大小关系是( ) A. B. C. D. 不能确定 √ 返回 中考考法 26 13.对于任意的有理数,,,,我们规定 ,如 ，则 的结果为 ____________. 【点拨】 ， . 返回 中考考法 27 14.已知，且满足 ，则 的值为____. 34 【点拨】 ， ， ， ，， ， . 返回 中考考法 28 15. 已知 ， ， ，那么代数式 的值是___. 3 中考考法 29 05 课堂小结 本节课学习了什么内容？ 1.把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 2.提公因式法分解因式. 3.公式法（平方差公式、完全平方公式）分解因式. $