精品解析：广东梅州市五华县 2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年第二学期七年级期末学习能力 检测题数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，无理数是（     ） A. B. C. 1 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果展开后不含项，那么的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如下图，则此不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A. 27 B. 12 C. 24 D. 36 9. 如图，直线、相交于点，，且平分．若时，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 12. 若，， _________． 13. 若关于x的不等式组恰有2个整数解，则m的取值范围______． 14. 已知，满足方程组，则 ________． 15. 如图，在中，和分别是的两条高，与相交于点，连接，若，，，则__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 17. 解方程组：． 18. 如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，． （1）试说明：； （2）若，，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上． （1）作交的延长线于点 ； （2）将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请在图中作出平移后的三角形． 20. 已知：如图，，． （1）证明． （2）若，垂足为点A，，求的度数． 21. 某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板共需万元，购买2台电脑和1台电子白板共需万元． （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案？ （3）最低费用是多少万元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 对、定义了一种新运算T，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：， 已知，． （1）求，的值； （2）求． （3）若关于的不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围． 23. 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为． （1）当时，求的长； （2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期七年级期末学习能力 检测题数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，无理数是（     ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，为整数，为分数，均属于有理数. 是开方开不尽的数，为无理数． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误． 选项B：，故B正确． 选项C：，故C错误． 选项D：，故D错误． 3. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断各选项． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，变形正确，且结果是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C、原式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、原式右边的不是整式，结果不符合要求，不是因式分解，不符合题意． 4. 如果展开后不含项，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将原式展开合并同类项，再根据“不含项”得到项系数为，列方程求解即可． 【详解】解： ， 又展开后不含项， 项的系数为，即， 解得， 故选：A． 5. 一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如下图，则此不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上表示出的解集，用式子写出即可． 【详解】由数轴可得， 此不等式的解集为． 6. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质对各选项逐一判断，找出不一定成立的选项即可． 【详解】解：A. ∵不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，变形一定成立，故本选项不符合题意； B. ∵不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，∴，变形一定成立，故本选项不符合题意； C. 当时，，此时，不等式不成立，因此该不等式不一定成立，故本选项符合题意； D. ∵不等式两边同时减去，不等号方向不变，∴，变形一定成立，故本选项不符合题意． 7. 下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、举反例：取，，满足，但，故A错误； B、， ，故B错误； C、， ，故C错误； D、， ，故D正确． 8. 如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A. 27 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】先证，再求出长，根据面积公式可得的面积． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ， ， 又点为中点 ， ， ， ． 9. 如图，直线、相交于点，，且平分．若时，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直定义得出，结合已知倍数关系求出的度数，利用邻补角性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用平角定义及角的和差关系求解． 【详解】解：， ． ，且， ， 解得． 直线、相交于点， ． 平分， ． 点、、在同一直线上， ． ． 10. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 若，， _________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13. 若关于x的不等式组恰有2个整数解，则m的取值范围______． 【答案】 【解析】 【详解】解第一个不等式，得x>−2． 解第二个不等式，得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有个整数解， 不等式组的整数解为和， ， 解得−4≤m<1， 则m的取值范围为． 14. 已知，满足方程组，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】消去参数，整理方程即可得到 的值． 【详解】方程组， 将第一个方程变形得 ，代入第二个方程得 ， 去括号得， 移项整理得． 15. 如图，在中，和分别是的两条高，与相交于点，连接，若，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过已知条件证明，得到，再根据表示出，得出． 【详解】解：， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】使用加减消元法即可求解． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 18. 如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，． （1）试说明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）首先证明出，得到，即可证明； （2）首先求出，然后由得到，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上． （1）作交的延长线于点 ； （2）将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请在图中作出平移后的三角形． 【答案】（1）如图，高即为所求 （2）如图，三角形即为所求： 【解析】 【详解】（1）略 （2）略 20. 已知：如图，，． （1）证明． （2）若，垂足为点A，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由得到，然后等量代换得到，即可得到； （2）由得到，求出，然后由，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：， ． ， ． ． ； 【小问2详解】 解：， ． ， ． ， ， ， ． ． ． 21. 某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板共需万元，购买2台电脑和1台电子白板共需万元． （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案？ （3）最低费用是多少万元？ 【答案】（1）每台电脑万元，每台电子白板万元 （2）有3种购买方案 （3）28万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；③根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用． （1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据“购买1台电脑和2台电子白板共需万元，购买2台电脑和1台电子白板共需万元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需购进电脑m台，则购进电子白板台，根据“总费用不超过30万元，但不低于28万元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总价单价数量，可分别求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元， 根据题意得：， 解得： 答：每台电脑万元，每台电子白板万元； 【小问2详解】 解：设需购进电脑m台，则购进电子白板台， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为15、16、17， 共有3种购买方案， 方案1：购进电脑15台，电子白板15台； 方案2：购进电脑16台，电子白板14台； 方案3：购进电脑17台，电子白板13台； 【小问3详解】 解：选择方案1所需费用为（万元）； 选择方案2所需费用为万元）； 选择方案3所需费用为（万元）， ， 最低费用是28万元． 答：最低费用是28万元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 对、定义了一种新运算T，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：， 已知，． （1）求，的值； （2）求． （3）若关于的不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据题中的新定义列出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值； （2）利用题中的新定义将，代入计算即可； （3）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示出解集，由不等式组恰好有4个整数解，确定出的范围，再解不等式组即可． 【详解】解：（1）根据题意得： ， 解得：； （2）由（1）得： ∴； （3）根据题意得：， 由①得：；由②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰好有4个整数解，即，1，2，3， ， 解得：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则、理解新定义的意义是解本题的关键． 23. 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为． （1）当时，求的长； （2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质． （1）证明，可得； （2）证明即可求解； （3）连接，由是钝角，则当与全等时，在中必有一个钝角，只能是是钝角，此时，再根据，即可求的值． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在点使得与全等，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $