专题03 一元二次方程与实际问题（题型专练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以12类实际问题为载体，构建“题型分类-方法提炼-变式迁移”体系，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字问题|1典例+3变式|数位表示法|用未知数表示数位关系建立方程| |循环问题|1典例+3变式|单/双循环模型|区分有序无序，应用组合公式列方程| |传播/变化率|各1典例+3变式|增长率公式|传染源/初始量→传播/增长后总量关系| |销售利润|1典例+4变式|“每每型”公式|利润=单个利润×销量，建立函数关系| |几何问题|图形/动态各1典例+3变式|面积公式/运动变量|静态图形用面积公式，动态用变量表示边长|

专题03 一元二次方程与实际问题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 数字问题 【典例1】 【答案】或 【变式1】 【答案】原来的两位数为53 【变式2】 【答案】原来的两位数为或． 【变式3】 【答案】257 ▌题型02 单/双循环问题 【典例2】 【答案】10 【变式1】 【答案】13个 【变式2】 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【变式3】 【答案】(1)3；15 (2)10人 (3)不可能；理由见解析 ▌题型03 传播问题 【典例3】 【答案】4名 【变式1】 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【变式2】 【答案】6 【变式3】 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 ▌题型04 变化率问题 【典例4】 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【变式1】 【答案】(1) (2)，所以该市不能完成目标 【变式2】 【答案】5月份该市的商品房成交均价不会跌破16000元 【变式3】 【答案】(1)20% (2)万人次 ▌题型05 销售利润问题 【典例5】 【答案】(1) 月平均增长率为 (2) 该款风云球服降价元时，月销售利润达元 【变式1】 【答案】(1)平均增长率为 (2)海水稻的定价为每千克10元或12元 【变式2】 【答案】(1) (2)降价30元 【变式3】 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． ▌题型06 工程问题 【典例6】 【答案】(1)600 (2)50 【变式1】 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【变式2】 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【变式3】 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【变式4】 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 ▌题型07 行程问题 【典例7】 【答案】4 【变式1】 【答案】 【变式2】 【答案】 【变式3】 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 ▌题型08 图表信息问题 【典例8】 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【变式1】 【答案】(1)该用户应缴纳水费元 (2)10 【变式2】 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【变式3】 【答案】（1），；（2）10． ▌题型09 与图形有关的问题 【典例9】 【答案】道路的宽度为 【变式1】 【答案】可以，米 【变式2】 【答案】(1) (2)当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【变式3】 【答案】(1) (2)当时，新劳动基地的面积不可以为，理由见解析 ▌题型10 动态几何问题 【典例10】 【答案】2秒或4秒 【变式1】 【答案】 6 【变式2】 【答案】2或4 【变式3】 【答案】2 ▌题型11 新情境问题 【典例11】 【答案】(1) (2)此时模型的实际售价为50元 (3)扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元，见解析 【变式1】 【答案】(1)750万元 (2)4万人 【变式2】 【答案】(1) (2)每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元 【变式3】 【答案】(1)每个帆布袋单价为 16 元，每套染料单价为 20 元 (2)售价应定为 35 元 ▌题型12 新考法问题 【典例12】 【答案】 【变式1】 【答案】(1)34 (2)的值为 (3)不存在，理由见详解 【变式2】 【答案】(1)围栏方案为矩形的长为，宽为 (2)整个大矩形养殖区的面积不能达到，理由如下∶ 设，则，， 根据题意得∶， 整理得∶， ， 此方程无解， ∴整个大矩形养殖区面积不能达到． 【变式3】 【答案】(1) (2)解：猜想人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下： 设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为， 假设这两个正方形的面积之和能等于，则， 整理得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， ∴这两个正方形的面积之和不能等于， ∴人工智能平台回复的结果是“不能”． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程与实际问题 （题型突破·举一反三） 题型01 数字问题 题型02 单/双循环问题 题型03 传播问题 题型04 变化率问题 题型05 销售利润问题 题型06 工程问题 题型07 行程问题 题型08 图表信息问题 题型09 与图形有关的问题 题型10 动态几何问题 题型11 新情境问题 题型12 新考法问题 ▌题型01 数字问题 【典例1】（25-26九年级上·全国·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【变式2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． ▌题型02 单/双循环问题 1）若甲乙两个个体，要考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲应算作两次碰面.那么，在这个群体中，每个个体都要和除他本身以外的(x-1)个个体碰一次面.所以，总的碰面次数为x(x-1)，所以可列方程:x(x-1)=n. 2）若甲乙两个个体，不考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲是一样的，算作一次碰面那么，所以，总的碰面次数为，所以可列方程: . 【典例2】（26-27九年级·全国·暑假作业）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【变式2】（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【变式3】（（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ ▌题型03 传播问题 传染源+第一轮被传染数+第二轮被传染数=第二轮被传染的总数. 【典例3】（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【变式2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【变式3】（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： ▌题型04 变化率问题 【典例4】（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期末）某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）在国家的宏观调控下，某市主城区的商品新房成交均价由今年1月份的24000元下降到3月份的20000元，如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到5月份该市的商品房成交均价是否会跌破16000元？请说明理由． 【变式3】（2026·安徽阜阳·三模）某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． ▌题型05 销售利润问题 ①常用公式：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. ②“每每型”销售问题中，若单价每涨a元，少卖b件，则涨价y元，少卖的件数为件. 【典例5】（25-26八年级下·云南昆明·期末）2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． (1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 【变式3】（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ ▌题型06 工程问题 【典例6】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【变式1】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【变式3】（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【变式4】（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． ▌题型07 行程问题 【典例7】（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【变式1】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步． 【变式3】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． ▌题型08 图表信息问题 【典例8】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【变式1】（21-22九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【变式2】（21-22八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【变式3】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． ▌题型09 与图形有关的问题 几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般通过分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 【典例9】（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？ 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． (1)若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） (2)当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 【变式3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，某劳动基地的形状为矩形，，． (1)如图1，活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ (2)学校准备扩建基地，如图2，扩建后的新劳动基地的形状为矩形．因场地受限，的最大长度为，的最大长度为．当时，新劳动基地的面积可以为吗？若可以，请求出和的长；若不可以，请说明理由． ▌题型10 动态几何问题 【典例10】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当_________时，的面积是面积的． ▌题型11 新情境问题 【典例11】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即）． 【问题解决】 (1)用含的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是_____件； (2)若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； (3)为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 课题：游乐园收益大揭秘 素材1 2026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张． 素材2 国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用． 素材3 由以往数据统计得出：若设游客人数为万人，购买快速通道票的人数为万人，这万人平均每人购买张快速通道票，则当时，购买快速通道票的人可忽略不计；当时，有，且． 问题解决： (1)任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？ (2)任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？ 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期末）自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 【变式3】（2026·广东深圳·模拟预测）APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ ▌题型12 新考法问题 【典例12】（福建省厦门市湖滨中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为________． 【变式1】（安徽省芜湖市华强中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子，．．．，依此规律，回答下列问题． (1)第五个图形有___________个石子． (2)若第个图形有160个石子，求的值． (3)是否存在某个图形有216个石子，请说明理由． 【变式2】（25-26八年级下·安徽六安·期末）综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡(篱笆全部用完，不剩余)，在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 (如图1)，无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域(如图2)，且满足． 问题解决： (1)任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 (即确定矩形的长和宽)． (2)任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【变式3】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果： 交流展示 请根据以上的活动报告，解答下列问题： (1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； (2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程与实际问题 （题型突破·举一反三） 题型01 数字问题 题型02 单/双循环问题 题型03 传播问题 题型04 变化率问题 题型05 销售利润问题 题型06 工程问题 题型07 行程问题 题型08 图表信息问题 题型09 与图形有关的问题 题型10 动态几何问题 题型11 新情境问题 题型12 新考法问题 ▌题型01 数字问题 【典例1】（25-26九年级上·全国·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设个位数字为x，则十位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可得出这个两位数是或． 【详解】解：设这个两位数个位数字为，则十位数字为， 依题意得方程：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故这个两位数为或． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为53 【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式． 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：原来的两位数为53． 【变式2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据题意，得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，，原来的两位数为； 当时，，原来的两位数为； 答：原来的两位数为或． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【答案】257 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程． 【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则： ， 整理，得：， 所以． 所以或， 解得，或（舍去）， 则，， 则该三位数是257． 答：这个数是257． ▌题型02 单/双循环问题 1）若甲乙两个个体，要考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲应算作两次碰面.那么，在这个群体中，每个个体都要和除他本身以外的(x-1)个个体碰一次面.所以，总的碰面次数为x(x-1)，所以可列方程:x(x-1)=n. 2）若甲乙两个个体，不考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲是一样的，算作一次碰面那么，所以，总的碰面次数为，所以可列方程: . 【典例2】（26-27九年级·全国·暑假作业）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【答案】10 【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为场，再设邀请个 队参赛，根据题意总共的比赛场数为，列一元二次方程进行求解即可， 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排5场比赛， 总比赛场数为 场， 设比赛组织者应邀请个队参赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场， 比赛总场数为， 由此可得方程：， 解得 （不符合题意，舍去）， 比赛组织者应邀请10个队参赛． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【答案】13个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设共有x个球队参加比赛，则可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设共有x个球队参加比赛． ．    整理得：． 解得： （不合题意，舍去）     答：共有13个球队参加比赛． 【变式2】（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 【变式3】（（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 【答案】(1)3；15 (2)10人 (3)不可能；理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳推出一般规律，令，解一元二次方程即可得； （3）参照（2）的规律，归纳推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次）， 若参加聚会的人数为6，则共握手（次）． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （3）解：角的总数不可能是20；理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． ▌题型03 传播问题 传染源+第一轮被传染数+第二轮被传染数=第二轮被传染的总数. 【典例3】（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 【变式2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 【变式3】（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． ▌题型04 变化率问题 【典例4】（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：      解得：，（不合题意舍去）     答：这两日定制量的日平均增长率是． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期末）某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 【答案】(1) (2)，所以该市不能完成目标 【分析】（1）设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程进而取符合题意的解，即可求解； （2）计算2026年机器人产业总产值，与亿元，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x， 由题意得：，解得，（舍去） 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为． （2）略 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）在国家的宏观调控下，某市主城区的商品新房成交均价由今年1月份的24000元下降到3月份的20000元，如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到5月份该市的商品房成交均价是否会跌破16000元？请说明理由． 【答案】5月份该市的商品房成交均价不会跌破16000元，理由见解析 【分析】设月平均降价的百分率为x，根据题意得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：设月平均降价的百分率为x，根据题意得： ， 可得：， 所以， 因为． 答：5月份该市的商品房成交均价不会跌破16000元． 【变式3】（2026·安徽阜阳·三模）某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 【答案】(1)20% (2)万人次 【分析】（1）设第三、四季度的平均增长率为x．根据题意列一元二次方程，求解即可 （2）分别计算各季度的游客人数，再求和即可． 【详解】（1）解：设第三、四季度的平均增长率为x． 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第三、四季度游客人数的平均增长率为； （2）解：∵第一季度游客人数为100万人次， ∴第二季度游客人数为（万人次）， 第三季度游客人数为（万人次）． ∵第四季度游客人数为129.6万人次， ∴该旅游景区一年接待游客的总人数为（万人次）． ▌题型05 销售利润问题 ①常用公式：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. ②“每每型”销售问题中，若单价每涨a元，少卖b件，则涨价y元，少卖的件数为件. 【典例5】（25-26八年级下·云南昆明·期末）2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) 月平均增长率为 (2) 该款风云球服降价元时，月销售利润达元 【分析】（1）根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该款风云球服销售量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款风云球服降价元时，月销售利润达元， 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服降价元时，月销售利润达元. 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)海水稻的定价为每千克10元或12元 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． (1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 【答案】(1) (2)降价30元 【分析】（1）根据每件降价1元，多售出2件，降价x元则销售量增加件，原每件盈利50元，降价后每件盈利元； （2）根据每件利润×销售量=总盈利列一元二次方程，求解后结合让利于顾客的条件选择较大的降价幅度． 【详解】（1）解：∵每件降价1元，多售出2件， ∴降价x元，则销售量增加件， ∵原每件进价为70元，销售价为120元， ∴原每件盈利50元， ∴降价x元，则每件服装盈利元． （2）解：由题意可知：每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件，     则由题意得：，整理得：，     解得：． 又∵需要让利于顾客， ．    答：每件服装降价30元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1600元． 【变式3】（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． ▌题型06 工程问题 【典例6】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 【变式1】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【变式3】（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式4】（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． ▌题型07 行程问题 【典例7】（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 【变式3】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． ▌题型08 图表信息问题 【典例8】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 【变式1】（21-22九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】(1)该用户应缴纳水费元 (2)10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费”，即可求解； （2）当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值，再根据5月份的用水量和水费总额验证a的值即可；当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：元， 答：该用户应缴纳水费元； （2）解：当时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴符合题意； 当时，则， 解得（舍去）； 综上所述，． 【变式2】（21-22八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． ▌题型09 与图形有关的问题 几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般通过分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 【典例9】（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？ 【答案】道路的宽度为 【分析】设道路的宽度为，然后根据要使草坪的面积是地面面积的二分之一，列出方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为，则 ， ， ， 解得（不合题意，舍去）， 答：道路的宽度为． 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，米 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． (1)若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） (2)当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 【答案】(1) (2)当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，得的长为，即可作答． （2）理解题意，根据围成一个面积为的矩形菜地，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，设， ∴， 则的长为； （2）解：由（1）得，则， ∵围成一个面积为的矩形菜地， ∴， 整理得， 解得． 当时，； 当时，； 答：当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【变式3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，某劳动基地的形状为矩形，，． (1)如图1，活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ (2)学校准备扩建基地，如图2，扩建后的新劳动基地的形状为矩形．因场地受限，的最大长度为，的最大长度为．当时，新劳动基地的面积可以为吗？若可以，请求出和的长；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，新劳动基地的面积不可以为，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设小路宽度应为，依题意列出方程，解得（不符合题意，舍去），即可解答． （2）根据新劳动基地的面积为，列出关于y的一元二次方程，解之得出y的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设小路宽度应为，依题意，得 ， 即， 解得（不符合题意，舍去）． 答：小路宽度应为； （2）解：当时，新劳动基地的面积不可以为，理由如下： 假设新劳动基地的面积可以为， 设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，新劳动基地的面积不可以为． ▌题型10 动态几何问题 【典例10】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【答案】 6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形不同边相等的各类情况，并用勾股定理求出对应线段长度是解题的关键． （1）先根据是等腰三角形，得到，用含有t的式子将表示出来，再围绕利用勾股定理，即可求解． （2）分别讨论、和三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理先求的长度，再求t，即可求解． 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，， ，解得， 故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时， 可得， ， ， ， 在 中，， ， ， ，即，解得； ②如图，当时， 可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点， 则， ， ， ， ， ，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：，，． 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设t秒后的面积等于，由题意得：，则有，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当_________时，的面积是面积的． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——动点问题、勾股定理，根据题意列出方程是解题的关键． 根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为， ，， ， 的面积是面积的， ， 解得． 故答案为：2． ▌题型11 新情境问题 【典例11】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即）． 【问题解决】 (1)用含的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是_____件； (2)若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； (3)为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)此时模型的实际售价为50元 (3)扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元，见解析 【分析】（1）根据题意列出代数式； （2）利用一元二次方程求解； （3）列出一元二次方程，通过根的判别式进行判断． 【详解】（1）解：∵售价60元时销量200件，每降2元增10件， 每降1元，销量增5件， 降价元， 销量； （2）解：每件利润元，销量件，利润2500元，， 整理得， 解得， ， 舍去， 此时模型的实际售价为50元； （3）解：每售出一件捐赠5元， 每件实际利润为元， 假设利润能达到3800元，列方程：， 展开并整理得， ∵此方程中， ， ∴该一元二次方程无实数根， 不存在满足条件的售价 ∴扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 课题：游乐园收益大揭秘 素材1 2026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张． 素材2 国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用． 素材3 由以往数据统计得出：若设游客人数为万人，购买快速通道票的人数为万人，这万人平均每人购买张快速通道票，则当时，购买快速通道票的人可忽略不计；当时，有，且． 问题解决： (1)任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？ (2)任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？ 【答案】(1)750万元 (2)4万人 【分析】（1）根据题意，列出代数式，将数值直接代入即可． （2）先判断的取值范围，再根据范围列出票务收入的代数式，根据票务收入等于票务收入代数式列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：∵4月30日为平日票， ∴门票为200元/张， ∴票务收入为： ， 将代入（万元）， （2）解：∵5月5日为假期， ∴门票价格为240元/张， 若每位游客都没有购买快速通道票，则（万人），与题意不符， 所以游客人数大于等于万人， 此时票务收入为：， 则，解得或， ∵游客上限是5万人， ∴， 即5月5日游客人数为4万人． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期末）自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 【答案】(1) (2)每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元 【分析】（1）设月平均增长率为，4月基数人，经过两个月增长到6月人，套用平均增长率公式：初始量增长率最终量，列一元二次方程求解，舍去负根． （2）单件利润原售价进价降价；总销量原销量降价增加的销量；总利润单件利润销量．列方程求出两个降价值，减少库存应使销量尽可能大，因此选更大的降价． 【详解】（1）解：设从4月到6月报名人数的月平均增长率为． 4月人数：人，经过、两个月增长，因此列方程： ， 两边同除以： ， ， ①若，得； ②若，得，增长率不能为负，舍去． 答：月平均增长率为． （2）解：设纪念品每件降价元． 单件利润：元； 月销售量：件； 总利润为元，列方程： ， 整理标准一元二次方程：， 解得：，． 要求尽量减少库存，即销量越大越好，降价越多销量越高： 降价2元：销量（件）； 降价8元：销量（件）， ，因此取． 答：每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元． 【变式3】（2026·广东深圳·模拟预测）APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【答案】(1)每个帆布袋单价为 16 元，每套染料单价为 20 元 (2)售价应定为 35 元 【分析】（1）设未知数建立方程组求解帆布袋与染料的单价即可； （2）根据利润公式建立方程求解售价即可． 【详解】（1）解：设每个帆布袋单价为x元，每套染料单价为y元． 根据题意列二元一次方程组， 解得， 答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元； （2）解：每套染料可制作5个帆布袋，单个帆布袋分摊染料成本（元）， 单个成品帆布袋总成本：（元）， 设单个售价上涨m元， 则由题意可列方程， 解得， 此时售价：（元）， 答：售价应定为35元． ▌题型12 新考法问题 【典例12】（福建省厦门市湖滨中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程应用以及跨学科考题，根据机械能守恒定律，系统初始总机械能等于任意位置的总机械能，初始时弹簧压缩，小球静止，总机械能仅为弹性势能；当弹簧位移为x时，总机械能等于动能与弹性势能之和，由此列出方程求解速度. 【详解】解：初始时，弹簧压缩量，小球速度 ，总机械能 当时，， 整理得， 解得：（舍去负值）， 故答案为：. 【变式1】（安徽省芜湖市华强中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子，．．．，依此规律，回答下列问题． (1)第五个图形有___________个石子． (2)若第个图形有160个石子，求的值． (3)是否存在某个图形有216个石子，请说明理由． 【答案】(1)34 (2)的值为 (3)不存在，理由见详解 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示，找出规律是解题的关键． （1）根据图示，由图的序号与图形中的石子数量得到第5个图形有个石子，由此即可求解； （2）结合（1）中的数量关系得到第个图形有（个）石子，由此列式求解即可； （3）结合（2）中的数量关系方程求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形有6个石子，， 第2个图形有10个石子，， 第3个图形有16个石子，， 第4个图形有24个石子，， ∴第5个图形有个石子， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，第个图形有（个）石子， ∴，整理得，， 因式分解得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为； （3）解：不存在，理由如下， 根据题意得到，整理得，， ∵， ∴， ∵是无理数， ∴不存在某个图形有216个石子． 【变式2】（25-26八年级下·安徽六安·期末）综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡(篱笆全部用完，不剩余)，在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 (如图1)，无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域(如图2)，且满足． 问题解决： (1)任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 (即确定矩形的长和宽)． (2)任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)围栏方案为矩形的长为，宽为 (2)整个大矩形养殖区的面积不能达到，理由如下∶ 设，则，， 根据题意得∶， 整理得∶， ， 此方程无解， ∴整个大矩形养殖区面积不能达到． 【分析】（1）设，则，根据矩形的性质得出面积，解一元二次方程得出解并与35比较即可得出答案． （2）设，则，．根据题意列出关于y的一元二次方程，然后再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解∶设，则， 根据题意得∶， 整理得∶， 解得∶，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意 答∶围栏方案为矩形的长为，宽为； （2）略； 【变式3】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果： 交流展示 请根据以上的活动报告，解答下列问题： (1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； (2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：猜想人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下： 设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为， 假设这两个正方形的面积之和能等于，则， 整理得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， ∴这两个正方形的面积之和不能等于， ∴人工智能平台回复的结果是“不能”． 【分析】（1）设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为，根据首日的下载量和第三天的下载量建立方程求解即可； （2）设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为，假设这两个正方形的面积之和能等于列方程，然后利用判别式判断该方程是否有正实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为； （2）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $