21.3实际问题与一元二次方程第2课时（3个核心考点+3种题型+4个易错点+分层训练）2026-2027学年九年级数学上册人教版

**基本信息** 以三大实际问题模型（道路平移、靠墙围栏、销售利润）为核心，通过“审设列解验答”六步解题法构建系统性方法体系，结合中考改编典例与分层训练，实现知识逻辑与应试能力的双重突破，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识点|4个模型|道路平移公式、围栏墙长校验、利润万能公式、六步解题法|从具体模型到通用步骤，形成“特殊-一般”认知链条| |典型例题|3道中考改编题|中考核心考法解析（面积、利润）|以题载法，强化模型应用的推理能力| |高频易错点|4个易错点|针对性规避策略（根的取舍等）|聚焦解题关键环节，完善思维严谨性| |分层训练|11题（基础5+能力3+拓展3）|难度递进训练|从基础应用到综合拓展，提升问题解决能力|

2026-2027学年第一学期初三数学（人教版新课标）第21章 一元二次方程 21.3 第2课时 实际问题与一元二次方程 学案 资料目录 1． 学习目标与考情分析 （1） 学习目标 （二）考情分析 二．核心知识点全面梳理 1. 道路平移模型 2. 靠墙围栏模型 3. 销售利润万能公式 4.实际问题通用解题步骤 3、 典型例题精讲与详细分析 例1（2025威海中考改编·道路面积） 例2（2025福建中考改编·围栏面积） 例3（2025达州中考改编·利润问题） 四、本节高频易错点总结 易错点1. 道路平移不减对边长、重复扣减重叠区域。 易错点2. 围栏问题不校验墙长，保留超长错误根。 易错点3. 涨价降价搞反销量增减。 易错点4. 面积解出现负数边长不舍去。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—5题） 第二部分 能力培优练（6—8题） 第三部分 拓展拔高练（9—11题） 一、学习目标与考情分析 （一）学习目标 1. 掌握平移法解决道路面积、无盖长方体、靠墙围栏面积问题。 2. 掌握销售利润标准模型：总利润=单件利润×销售数量。 3. 能根据墙长、实际尺寸取舍方程的根。 （二）考情分析 2025–2026中考、期末解答题压轴高频，分值8–10分，是必考拉分题型。。 二、核心知识点全面梳理 1. 道路平移模型 等宽十字路：(长-x)(宽-x)=草坪面积 四周等宽路：(长-2x)(宽-2x)=草坪面积 2. 靠墙围栏模型 根据墙长限制，边长解必须小于等于墙长。 3. 销售利润万能公式 设降价x元： 单件利润=原售价−进价−x 销售数量=原销量+每降1元增加销量×x 总利润=单件利润×销售数量 实际问题通用解题步骤 1. 审：分清基数、变化次数、最终总量； 2. 设：直接设增长率/传染个数为x，不设百分数； 3. 列：套入对应模型列出一元二次方程； 4. 解：用直接开平方法或因式分解法解方程； 5. 验：负数解直接舍去，大于1的增长率结合实际取舍； 6. 答：文字作答，不带未知数。 三、典型例题精讲与详细分析 例1（2025威海中考改编·道路面积） 如图，在宽为、长为的矩形广场上，有两条同宽且互相垂直的小路，余下部分为绿地若绿地面积为，求小路的宽． 例2（2025福建中考改编·围栏面积） 直角墙角用5m篱笆围矩形，面积6m²，设一边x，列方程。 例3（2025达州中考改编·利润问题） 成本30元，售价40元日销60件；每降1元多卖10件，日利润630元，求降价多少元。 四、高频易错点总结 易错点1. 道路平移不减对边长、重复扣减重叠区域。 易错点2. 围栏问题不校验墙长，保留超长错误根。 易错点3. 涨价降价搞反销量增减。 易错点4. 面积解出现负数边长不舍去。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—5题） 1.如图，某小区规划在一个长，宽的长方形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么满足的方程是(     ) A. B. C. D. 2.如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，根据题意，可列方程为(     ) A. B. C. D. 3.如图，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上个小正方形和个小长方形图中阴影部分之后，恰好折成如图所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为(     ) A. B. C. D. 4.灵宝苹果，河南省三门峡市灵宝市特产，有“中华名果”之称根据市场数据分析，灵宝苹果每箱售价元时，每天可卖出箱，已知每箱成本为元，若想要每天获利元，则可列方程为(     ) A. B. C. D. 5.某服装店将进价为元的内衣，以元售出，平均每月能售出件，经试销发现每件内衣每涨价元，其月销售量就减少件，为实现每月利润元，设定价为元，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 第二部分 能力培优练（6-8题） 6.如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与矩形的一条平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为           ． 7.哈尔滨亚冬会女子冰壶比赛共有支队伍参加单循环比赛，计划安排场比赛，则的值为           ． 8.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元；若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可列方程为           ． 第三部分 拓展拔高练（9—11题） 9.如图，为了美化校园环境，某校计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为，如果花圃所占面积是整个长方形空地面积的，求通道的宽． 10.某网店销售一种儿童玩具，每件进价元，规定单件销售利润不低于元，且不高于元试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，该网店决定提价销售设每天销售量为件，销售单价为元 请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； 当销售单价是多少元时，网店每天获利元？ 11.商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天多售出件设每件商品降价元 该商品日销售量增加          件，每件商品盈利          元用含的代数式表示 在上述条件下，要使该商品日盈利为元，每件商品应降价多少元？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初三数学（人教版新课标）第21章 一元二次方程 21.3 第2课时 实际问题与一元二次方程 学案 资料目录 1． 学习目标与考情分析 （1） 学习目标 （二）考情分析 二．核心知识点全面梳理 1. 道路平移模型 2. 靠墙围栏模型 3. 销售利润万能公式 4.实际问题通用解题步骤 3、 典型例题精讲与详细分析 例1（2025威海中考改编·道路面积） 例2（2025福建中考改编·围栏面积） 例3（2025达州中考改编·利润问题） 四、本节高频易错点总结 易错点1. 道路平移不减对边长、重复扣减重叠区域。 易错点2. 围栏问题不校验墙长，保留超长错误根。 易错点3. 涨价降价搞反销量增减。 易错点4. 面积解出现负数边长不舍去。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—5题） 第二部分 能力培优练（6—8题） 第三部分 拓展拔高练（9—11题） 一、学习目标与考情分析 （一）学习目标 1. 掌握平移法解决道路面积、无盖长方体、靠墙围栏面积问题。 2. 掌握销售利润标准模型：总利润=单件利润×销售数量。 3. 能根据墙长、实际尺寸取舍方程的根。 （二）考情分析 2025–2026中考、期末解答题压轴高频，分值8–10分，是必考拉分题型。。 二、核心知识点全面梳理 1. 道路平移模型 等宽十字路：(长-x)(宽-x)=草坪面积 四周等宽路：(长-2x)(宽-2x)=草坪面积 2. 靠墙围栏模型 根据墙长限制，边长解必须小于等于墙长。 3. 销售利润万能公式 设降价x元： 单件利润=原售价−进价−x 销售数量=原销量+每降1元增加销量×x 总利润=单件利润×销售数量 实际问题通用解题步骤 1. 审：分清基数、变化次数、最终总量； 2. 设：直接设增长率/传染个数为x，不设百分数； 3. 列：套入对应模型列出一元二次方程； 4. 解：用直接开平方法或因式分解法解方程； 5. 验：负数解直接舍去，大于1的增长率结合实际取舍； 6. 答：文字作答，不带未知数。 三、典型例题精讲与详细分析 例1（2025威海中考改编·道路面积） 如图，在宽为、长为的矩形广场上，有两条同宽且互相垂直的小路，余下部分为绿地若绿地面积为，求小路的宽． 【答案】解：设小路的宽为． 依题意，得， 解得不合题意，舍去， 答：小路的宽为． 例2（2025福建中考改编·围栏面积） 直角墙角用5m篱笆围矩形，面积6m²，设一边x，列方程。 解：另一边为5-x x(5-x)=6 整理：x2-5x+6=0 例3（2025达州中考改编·利润问题） 成本30元，售价40元日销60件；每降1元多卖10件，日利润630元，求降价多少元。 解：设降价x元。 单件利润：40-30-x=10-x 销量：60+10x (10-x)(60+10x)=630 整理： x2-4x+3=0 解得：x1=1，x2=3 均符合题意 答：可降价1元或3元。 四、高频易错点总结 易错点1. 道路平移不减对边长、重复扣减重叠区域。 易错点2. 围栏问题不校验墙长，保留超长错误根。 易错点3. 涨价降价搞反销量增减。 易错点4. 面积解出现负数边长不舍去。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—5题） 1.如图，某小区规划在一个长，宽的长方形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么满足的方程是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 如果设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，，可根据题意即可得出方程． 【解答】 解：设小路的宽度为， 那么草坪的总长度和总宽度分别为，； 根据题意即可得出方程为：， 整理得：． 故选C． 2.如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，根据题意，可列方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  3.如图，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上个小正方形和个小长方形图中阴影部分之后，恰好折成如图所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  4.灵宝苹果，河南省三门峡市灵宝市特产，有“中华名果”之称根据市场数据分析，灵宝苹果每箱售价元时，每天可卖出箱，已知每箱成本为元，若想要每天获利元，则可列方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  5.某服装店将进价为元的内衣，以元售出，平均每月能售出件，经试销发现每件内衣每涨价元，其月销售量就减少件，为实现每月利润元，设定价为元，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  第二部分 能力培优练（6-8题） 6.如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与矩形的一条平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为          ． 【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解本题的关键．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【解答】 解：道路的宽应为米， 由题意得，， 故答案为． 7.哈尔滨亚冬会女子冰壶比赛共有支队伍参加单循环比赛，计划安排场比赛，则的值为          ． 【答案】  8.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元；若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可列方程为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．设每盆多植株，则平均每株盈利，根据每盆总利润株数每株的盈利即可列出方程． 【解答】 解：设每盆多植株，可列出的方程：， 故答案为． 第三部分 拓展拔高练（9—11题） 9.如图，为了美化校园环境，某校计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为，如果花圃所占面积是整个长方形空地面积的，求通道的宽． 【答案】解：根据题意，得， 整理，得， 解得，不合题意，舍去 答：通道的宽是．  10.某网店销售一种儿童玩具，每件进价元，规定单件销售利润不低于元，且不高于元试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，该网店决定提价销售设每天销售量为件，销售单价为元 请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； 当销售单价是多少元时，网店每天获利元？ 【答案】(1)解：由题意，得， 即与之间的函数关系式为：；  (2)根据题意，得， 解得，， ， . 答：当销售单价是36元时，网店每天获利3840元.  11.商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天多售出件设每件商品降价元 该商品日销售量增加          件，每件商品盈利          元用含的代数式表示 在上述条件下，要使该商品日盈利为元，每件商品应降价多少元？ 【答案】(1);  解：由题意可知，降价x元后，每天的销售量为(30+2x)件，每件商品盈利(50-x)元。 列方程：(50-x)(30+2x)=2100 x2-35x+300=0 (x-15)(x-20)=0 解得： x1=15, x2=20 ∵要求尽快减少库存 ∴舍去x=15，取x=20。 答：每件商品应降价20元。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初三数学（人教版新课标）第21章 一元二次方程 21.3 第2课时 实际问题与一元二次方程 学案 资料目录 1． 学习目标与考情分析 （1） 学习目标 （二）考情分析 二．核心知识点全面梳理 1. 道路平移模型 2. 靠墙围栏模型 3. 销售利润万能公式 4.实际问题通用解题步骤 3、 典型例题精讲与详细分析 例1（2025威海中考改编·道路面积） 例2（2025福建中考改编·围栏面积） 例3（2025达州中考改编·利润问题） 四、本节高频易错点总结 易错点1. 道路平移不减对边长、重复扣减重叠区域。 易错点2. 围栏问题不校验墙长，保留超长错误根。 易错点3. 涨价降价搞反销量增减。 易错点4. 面积解出现负数边长不舍去。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—5题） 第二部分 能力培优练（6—8题） 第三部分 拓展拔高练（9—11题） 一、学习目标与考情分析 （一）学习目标 1. 掌握平移法解决道路面积、无盖长方体、靠墙围栏面积问题。 2. 掌握销售利润标准模型：总利润=单件利润×销售数量。 3. 能根据墙长、实际尺寸取舍方程的根。 （二）考情分析 2025–2026中考、期末解答题压轴高频，分值8–10分，是必考拉分题型。。 二、核心知识点全面梳理 1. 道路平移模型 等宽十字路：(长-x)(宽-x)=草坪面积 四周等宽路：(长-2x)(宽-2x)=草坪面积 2. 靠墙围栏模型 根据墙长限制，边长解必须小于等于墙长。 3. 销售利润万能公式 设降价x元： 单件利润=原售价−进价−x 销售数量=原销量+每降1元增加销量×x 总利润=单件利润×销售数量 实际问题通用解题步骤 1. 审：分清基数、变化次数、最终总量； 2. 设：直接设增长率/传染个数为x，不设百分数； 3. 列：套入对应模型列出一元二次方程； 4. 解：用直接开平方法或因式分解法解方程； 5. 验：负数解直接舍去，大于1的增长率结合实际取舍； 6. 答：文字作答，不带未知数。 三、典型例题精讲与详细分析 例1（2025威海中考改编·道路面积） 如图，在宽为、长为的矩形广场上，有两条同宽且互相垂直的小路，余下部分为绿地若绿地面积为，求小路的宽． 例2（2025福建中考改编·围栏面积） 直角墙角用5m篱笆围矩形，面积6m²，设一边x，列方程。 例3（2025达州中考改编·利润问题） 成本30元，售价40元日销60件；每降1元多卖10件，日利润630元，求降价多少元。 四、高频易错点总结 易错点1. 道路平移不减对边长、重复扣减重叠区域。 易错点2. 围栏问题不校验墙长，保留超长错误根。 易错点3. 涨价降价搞反销量增减。 易错点4. 面积解出现负数边长不舍去。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—5题） 1.如图，某小区规划在一个长，宽的长方形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么满足的方程是(     ) A. B. C. D. 2.如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，根据题意，可列方程为(     ) A. B. C. D. 3.如图，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上个小正方形和个小长方形图中阴影部分之后，恰好折成如图所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为(     ) A. B. C. D. 4.灵宝苹果，河南省三门峡市灵宝市特产，有“中华名果”之称根据市场数据分析，灵宝苹果每箱售价元时，每天可卖出箱，已知每箱成本为元，若想要每天获利元，则可列方程为(     ) A. B. C. D. 5.某服装店将进价为元的内衣，以元售出，平均每月能售出件，经试销发现每件内衣每涨价元，其月销售量就减少件，为实现每月利润元，设定价为元，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 第二部分 能力培优练（6-8题） 6.如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与矩形的一条平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为           ． 7.哈尔滨亚冬会女子冰壶比赛共有支队伍参加单循环比赛，计划安排场比赛，则的值为           ． 8.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元；若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可列方程为           ． 第三部分 拓展拔高练（9—11题） 9.如图，为了美化校园环境，某校计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为，如果花圃所占面积是整个长方形空地面积的，求通道的宽． 10.某网店销售一种儿童玩具，每件进价元，规定单件销售利润不低于元，且不高于元试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，该网店决定提价销售设每天销售量为件，销售单价为元 请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； 当销售单价是多少元时，网店每天获利元？ 11.商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天多售出件设每件商品降价元 该商品日销售量增加          件，每件商品盈利          元用含的代数式表示 在上述条件下，要使该商品日盈利为元，每件商品应降价多少元？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $