精品解析：广东省梅州市五华县2025-2026学年第二学期七年级数学期末测试题

2025—2026学年第二学期七年级期末学习能力测试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. B. 文心一言 C. 通义千问 D. 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两点之间，线段最短 4. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A. 0.423 B. 0.400 C. 0.413 D. 0.410 5. 如图，B、E、C、F在一条直线上，，，下列选项添加的条件，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，方框表示座位（座位随机分配），小明座位靠近过道的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折（这种现象在物理上称为光的折射），与交于点D．若，，光线射入水中偏折的角度（）为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 14 D. 12 10. 如图，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果，，那么________． 12. 如图，在中，，平分，，则点D到的距离是______． 13. 如图，中，，是边上的中线，且，则________．     14. 旅客乘车按照规定可以携带一定量的行李，若超过规定，则需购买行李票，行李费用y（元）与行李重量x（千克）之间的关系如下表： 行李重量x/千克 … 80 100 120 … 行李费用y/元 … 10 15 20 … 根据表中信息，可知携带130千克行李所需费用是________元． 15. 如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 化简求值：，其中． 17. 如图，在中，是边上的中线． （1）尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，延长交于点E，求证：． 18. “十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗油量； （2）直接写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）的关系式；当千米时，求剩余油量Q的值； （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，小深每天乘坐公交车上学需经过由南往北的路口，该路口信号灯的配时周期为，其中包含：红灯，绿灯，黄灯． （1）小深乘坐公交车到达该路口时，遇到红灯的概率为______；遇到绿灯的概率为______； （2）为提高通行效率，交管部门计划将配时周期（秒）缩短．根据交通管理规范，该路口配时周期宜设置在秒到秒之间．请你设计一个符合规范的红绿灯配时方案，使得行人遇到红灯的概率是遇到绿灯的概率的倍，并说明理由．（配时周期内黄灯时长不变，红绿灯时长为整数） 20. 如图，，． （1）探究与的数量关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 21. 刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程（米）与时间（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： （1）这次赛龙舟的全程是 米， 队先到达终点； （2）两队相遇时，乙队的速度是多少？ （3）两队相遇时，甲队走了多少米？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边上取一点，再在边上任取一点，从点处将纸条左侧折叠，使折叠后的对应线段经过点，此时的折痕记为（点在上），如图1所示；再从点处将纸条右侧折叠，使折叠后的对应线段也经过点，此时的折痕记为（点在上），如图2所示． （1）在图1中，若，求的大小（用表示）； （2）小明发现，在图2中，有，，进而推理： 线段和线段都经过点和点， 它们都在同一条直线上．（①_________此处填推理的依据） ，， ．（②_________此处填推理的依据） （3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边和不平行，但折叠后，在图3中仍有．请你帮小亮证明这个结论． 23. 教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接，两点，交直线于点，此时，，共线，即． 在直线上另取任一点，连接，，在中可知， 综上所述：．故，当，，共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图，在直线的同侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴的对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 （1）如图3，在等边中，，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 （2）如图4，在四边形中，，，在，上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期七年级期末学习能力测试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. B. 文心一言 C. 通义千问 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两点之间，线段最短 【答案】C 【解析】 【详解】解：小李在木门板上钉了一个加固板，门板上形成了三角形结构，这样做的道理是三角形具有稳定性． 4. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A. 0.423 B. 0.400 C. 0.413 D. 0.410 【答案】C 【解析】 【分析】根据大量重复试验中频率逐渐稳定于概率的性质，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可知，随着累计抽测学生数不断增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在， ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是． 5. 如图，B、E、C、F在一条直线上，，，下列选项添加的条件，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项A符合题意； ∵， ∴， 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项B不符合题意； ∵， ∴，即， 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项C不符合题意； 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项D不符合题意． 6. 如图，方框表示座位（座位随机分配），小明座位靠近过道的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得：小明的座位随机分配共有6种等可能的结果，其中，小明座位靠近过道的结果共有2种， 所以小明座位靠近过道的概率为． 7. 如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边． 若将一根小棒剪成两段，这两段之和等于原小棒长度． 若原小棒长度小于另一根小棒长度，则两段之和小于第三边，无法围成三角形． 【详解】解： A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比下面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； 故选：D． 8. 如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折（这种现象在物理上称为光的折射），与交于点D．若，，光线射入水中偏折的角度（）为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出的一个内错角，再借助对顶角相等，求出偏折角． 【详解】解：， ． ， ， ， ． 9. 如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而求出的长，最后利用三角形周长公式及线段和差关系求解即可． 【详解】解：的垂直平分线经过点且与边交于点， 垂直平分， ，， ，， ， ， ， 的周长． 10. 如图，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，进而求出的面积；根据及已知面积相等关系，求出的面积，最后利用求解． 【详解】解：，且与等高， ，即点是的中点， ， ，， ， ， ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 12. 如图，在中，，平分，，则点D到的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，     ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是5， 故答案为：5． 13. 如图，中，，是边上的中线，且，则________．     【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 旅客乘车按照规定可以携带一定量的行李，若超过规定，则需购买行李票，行李费用y（元）与行李重量x（千克）之间的关系如下表： 行李重量x/千克 … 80 100 120 … 行李费用y/元 … 10 15 20 … 根据表中信息，可知携带130千克行李所需费用是________元． 【答案】 【解析】 【详解】解：观察可知，行李重量每增加1千克，行李费用增加元， 故携带130千克行李所需费用是元. 15. 如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点的运动速度为，则有， ，分两种情况和，分别计算出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为， 则， ∴， ∵，当时，，， ∴，， ∴，， ∴点的运动速度为， 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 17. 如图，在中，是边上的中线． （1）尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，延长交于点E，求证：． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：如图， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法解题即可； （2）根据全等三角形的判定定理证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. “十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗油量； （2）直接写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）的关系式；当千米时，求剩余油量Q的值； （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】（1）升/千米 （2）；升 （3）能，理由：往返总路程为 （千米）， 当时，剩余油量 升， ∵， ∴他们能在汽车报警前回到家． 【解析】 【分析】（1）因为已知行驶150千米的耗油量为初始储油量减去剩余油量，所以用总耗油量除以行驶路程即可得到平均每千米耗油量，用到除法运算。 （2）因为剩余油量等于初始储油量减去行驶路程乘以每千米耗油量，所以可直接写出Q与x的一次函数关系式；如果要计算时的Q值，那么将代入关系式计算即可，用到一次函数解析式的构造和代入求值方法。 （3）因为往返总路程是单程距离的2倍，所以先计算往返总路程，再将总路程代入第二问的关系式求出对应的剩余油量，和3升比较大小即可判断，用到代入求值和数值比较的方法。 【小问1详解】 解：（升/千米）． 【小问2详解】 解：∵油箱内储油45升，平均每千米的耗油量0.1升， ∴行驶x千米路程油箱内剩余油量为； 当千米时，（升）． 【小问3详解】 解：能，理由： 往返总路程为 （千米）， 当时， 剩余油量（升）， ∵， ∴他们能在汽车报警前回到家． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，小深每天乘坐公交车上学需经过由南往北的路口，该路口信号灯的配时周期为，其中包含：红灯，绿灯，黄灯． （1）小深乘坐公交车到达该路口时，遇到红灯的概率为______；遇到绿灯的概率为______； （2）为提高通行效率，交管部门计划将配时周期（秒）缩短．根据交通管理规范，该路口配时周期宜设置在秒到秒之间．请你设计一个符合规范的红绿灯配时方案，使得行人遇到红灯的概率是遇到绿灯的概率的倍，并说明理由．（配时周期内黄灯时长不变，红绿灯时长为整数） 【答案】（1）， （2）红灯时长为秒，绿灯时长为秒，黄灯时长为秒，总时长为秒 【解析】 【分析】本题涉及概率的基本概念，即某个事件发生的概率等于该事件发生的时间除以总时间．对于第二问，需要根据给定的概率关系建立方程来求解红绿灯的时长． （1）根据概率公式求解即可； （2）设绿灯时长为秒，则红灯时长为秒，根据“配时周期在秒到秒之间”列出关于的不等式组，解之即可得出答案． 【小问1详解】 解：小深乘坐公交车到达该路口时，遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为， 故答案为：，； 【小问2详解】 设绿灯时长为秒， 因为行人遇到红灯的概率是遇到绿灯的概率的倍，且配时周期在秒到秒之间，黄灯时长不变为秒， 那么红灯时长为秒． 配时周期． 因为， 解得， 故可取， 则红灯时长为秒，绿灯时长为20秒，黄灯时长为秒，总时长为秒答案不唯一． 20. 如图，，． （1）探究与的数量关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：，理由如下： 如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意易得，根据“同位角相等，两直线平行”可得，进而可得，再证明，根据“内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 21. 刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程（米）与时间（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： （1）这次赛龙舟的全程是 米， 队先到达终点； （2）两队相遇时，乙队的速度是多少？ （3）两队相遇时，甲队走了多少米？ 【答案】（1），乙 （2）米/分钟 （3）米 【解析】 【分析】（1）结合图象，进行作答即可； （2）结合图象，用乙第二段的总路程除以所用时间，进行计算即可； （3）设甲队和乙队相遇时用了分钟，根据图象列出方程，求出时间，再用甲的速度乘以时间即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知， 甲队和乙队相遇时，乙队的速度是（米/分钟）； 【小问3详解】 解：由图象可知，甲的速度为：（米/分钟）， 设甲队和乙队相遇时用了分钟，则：， 解得， 两队相遇时，甲队走了：（米）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边上取一点，再在边上任取一点，从点处将纸条左侧折叠，使折叠后的对应线段经过点，此时的折痕记为（点在上），如图1所示；再从点处将纸条右侧折叠，使折叠后的对应线段也经过点，此时的折痕记为（点在上），如图2所示． （1）在图1中，若，求的大小（用表示）； （2）小明发现，在图2中，有，，进而推理： 线段和线段都经过点和点， 它们都在同一条直线上．（①_________此处填推理的依据） ，， ．（②_________此处填推理的依据） （3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边和不平行，但折叠后，在图3中仍有．请你帮小亮证明这个结论． 【答案】（1） （2）①两点确定一条直线；②平行于同一条直线的两条直线互相平行 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，折叠的性质，轴对称的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质和折叠的性质解答即可； （2）分别根据“两点确定一条直线”以及平行公理解答即可； （3）连接，再根据三角形的内角和定理，折叠的性质以及平行线的判定解答即可． 【小问1详解】 解：因为， 所以， 由折叠的性质可知， 所以； 【小问2详解】 解：线段和线段都经过点和点， 它们都在同一条直线上．（①两点确定一条直线） ，， ．（②平行于同一条直线的两条直线互相平行） 故答案为：①两点确定一条直线②平行于同一条直线的两条直线互相平行； 【小问3详解】 解：由和得． 连接，如图， 则在中，． 所以． 由题意，，， 所以． 所以． 所以． 23. 教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接，两点，交直线于点，此时，，共线，即． 在直线上另取任一点，连接，，在中可知， 综上所述：．故，当，，共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图，在直线的同侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴的对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 （1）如图3，在等边中，，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 （2）如图4，在四边形中，，，在，上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，根据题意可得都是等边的高，则，据此可得答案； （2）分别作点关于的对称点、，连接，由轴对称的性质可得，则；可证明当、、、四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出，则，进而可得． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为； 【小问2详解】 如图所示，分别作点关于的对称点、，连接， 由轴对称的性质可得， ∴； ∵的周长， ∴当、、、四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $