4.4.3不同函数增长的差异课前导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“不同函数增长的差异”，通过温故对数函数定义域、单调性等性质，衔接知新中一次函数匀速增长、对数函数缓慢增长、指数函数爆炸式增长的特点，搭建前后知识脉络的学习支架。 资料以数据表格、散点图分析引导学生用数学眼光观察函数关系，结合欧拉论证方法培养数学思维，通过自测题训练用数学语言表达函数模型，助力自主探究，提升分析和解决问题的能力。

4.4.3不同函数增长的差异 预习提要 1.回顾对数函数的图象和性质； 2.阅读课本P136—P138内容，自主探究不同函数增长的差异，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．对数函数且的定义域是，值域是. 2．对数函数且的图象恒过定点，即当时，. 3．当时，对数函数在上是单调函数；当时，对数函数在上是单调函数. 4．当时，若，则0；若，则0.（填＂＂或＂＜＂） 5．当时，若，则0；若，则0.（填＂＂或＂＂） 6．由指数函数可得到对数函数，这个对数函数的定义域、值域分别是指数函数的和，这时就说它们互为. 二、知新 1．一次函数的增长特点是上升，增长速度保持. 2．对数函数的增长特点是增长，随着增大，增长速度越来越. 3．指数函数的增长特点是式增长，随着增大，增长速度越来越，通常称为＂指数＂. 4．三种函数增长速度比较（足够大时）：函数增长最快，函数增长最慢，函数介于两者之间.（填＂指数＂＂对数＂＂一次＂） 课前自测 1．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0 1.00 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是( ). A. B. C. D. 2．某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A. B. C. D. 3．下列函数中，增长速度越来越慢的是( ) A. B. C. D. 4．（多选）函数，在区间上( ) A.的递增速度越来越快 B.的递减速度越来越慢 C.的递减速度越来越慢 D.的递减速度慢于的递减速度 5．三个变量，，随自变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 5 135 625 1715 3645 6633 5 29 245 2189 19685 177149 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40 其中符合对数函数模型的变量是___________________，符合指数函数模型的变量是_________________，符合幂函数模型的变量是___________. 反思 在欧拉系统研究幂函数、指数函数、对数函数之后，他首次对比三类函数在自变量不断增大时的变化快慢，严谨论证了三者完全不同的增长节奏，也由此提出经典结论：对数增长最慢，幂函数增长居中，指数增长速度远远超过前两者.欧拉采用取足够大自变量、对比函数值增量的方法完成论证： 1．对数函数：增长极其平缓，即便成倍扩大，函数值仅小幅上升，增长速度持续放缓，属于慢速增长； 2． 指数函数：呈现爆炸式增长，自变量小幅增加，函数值就能实现成倍翻长，增长速度会无限加快，远超任意正整数次幂函数. 答案及解析 一、温故 1． 2． 3．递增；递减 4． 5．； 6．值域；定义域；反函数 二、知新 1．匀速；不变 2．缓慢；慢 3．指数；快；爆炸 4．指数；对数；一次 课前自测 1．答案：B 解析：由题表中数据画散点图，观察图象，类似于指数函数，分析选项可知模拟函数为，故选B. 2．答案：B 解析：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随x变大增长率变小，只有B符合； 3．答案：B 解析：指数函数先慢后爆炸性增长，对数函数先快速增后慢慢增，幂函数一直在增，后面没有变慢，一次函数匀速增加.故选：B. 4．答案：ABC 解析：作出三个函数在区间上的图象， 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误， 5．答案：；； 解析：由题中表格，可知三个变量，，随着x的增大都是越来越大的，其中的增长速度最快，符合指数函数模型，的增长速度最慢，符合对数函数模型，符合幂函数模型. 学科网（北京）股份有限公司 $