专题06 圆（55题）（江西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 圆（55题） 1．（2023·江西·中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 3．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． (1)当经过圆心O时（如图1），求的度数； (2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 4．（2024·江西·中考真题）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是半圆O的切线； (2)当时，求的长． 5．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．    (1)求的长； (2)若，求证：为的切线． 6．（2022·江西·中考真题）（1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 7．（2021·江西·中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若是的切线，，连接，如图2． ①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由； ②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积． 一、单选题 8．（2025·江西萍乡·二模）如图，正六边形的边长是，连接，是上的动点，连接，．若的值是整数，则点的位置有（    ） A．3处 B．5处 C．7处 D．9处 9．（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形中，半径为1的⊙在正方形内平移（⊙可以与该正方形的边相切），设点到⊙上的点的距离为，且是整数，则的值所有情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 10．（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 11．（2025·江西宜春·一模）一张直径为的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据（单位：）长度不合理的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（2025·江西九江·一模）如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ． 14．（2025·江西新余·三模）如图，在矩形中，．点在边上，且，分别是边，上的点，且，是线段上的动点，当是直角三角形时，的长为 ． 15．（2025·江西南昌·二模）在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（2025·江西抚州·二模）如图，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点D在上，若，则的长为 ． 17．（2025·江西新余·二模）如图，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点D在上，若，则的长为 ． 18．（2025·江西宜春·一模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，且，则圆的半径为 ． 三、解答题 19．（2025·江西南昌·三模）在正方形网格中，圆经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺作图： (1)在图1中，作圆的直径； (2)在图2中，在圆上找一点D，使． 20．（2025·江西南昌·三模）如图， 在中， 以为直径作， 交于点 P， 是的切线， 且，垂足为点 D． (1)求证： ； (2)若， 求的半径． 21．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作，交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 22．（2025·江西新余·三模）如图，在中，是的直径，是上的一点，是的中点，连接并延长至点，连接，且 ． (1)求证：为的切线． (2)若的半径为4，，连接，求的长． 23．（2025·江西九江·三模）如图，是的直径，四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，点与点重合，请作出的中点． (2)在图2中，请作出的中点． 24．（2025·江西萍乡·二模）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并完成变式训练题（2）． (1)如图1，与相切于点．若的直径为，求的长． (2)如图2，与相切于点．若的直径为，求的长． 25．（2025·江西萍乡·二模）如图，在中，为锐角，其顶点，都在上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，的顶点在上，作顶点为的的余角． (2)在图中，的顶点在内，作顶点在直线上的的余角． 26．（2025·江西抚州·二模）如图是的正方形网格，网格边长为1，的顶点均在格点上．已知的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹． (1)作的外接圆的直径； (2)过点B作的外接圆的切线． 27．（2025·江西抚州·二模）如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 28．（2025·江西新余·三模）如图，是的一条弦，将平移后得一线段（A，B的对应点分别为，），且，两点落在上．为的中点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 29．（2025·江西新余·一模）如图1，是的外接圆，是的直径，于点，是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)如图2，连接，若，，求的半径． 30．（2025·江西赣州·二模）如图，已知半圆的直径的长为6，、是半圆的三等分点，点在上，以为直径作． (1)设的弧长为，半圆（即）的弧长为，若，判断与的大小关系，并说明理由； (2)连接，若与相切，请求出的长． 31．（2025·江西宜春·一模）如图，是的一条对角线，且，的外接圆与边交于点．连结． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为5，且，求的长． 32．（2025·江西南昌·二模）如图，点在以为直径的上，平分交于点，过点作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 33．（2025·江西吉安·一模）如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 34．（2025·江西新余·二模）如图，是的弦（非直径），点C是半径上的一个动点（不与线段两端点重合），过点C作的垂线，交于点D，交于点E，交的垂直平分线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若点E是的中点，且点C是的中点，，求的长． 35．（2025·江西抚州·一模）如图，是的直径，为圆上两点，，垂足为点，连接并延长到点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 36．（2025·江西九江·二模）如图，在中，，点，分别在边，上，以为半径作，交于点． (1)判断与的位置关系，并证明； (2)当是的中点时， 若，求的长． 当满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出来． 37．（2025·江西新余·二模）如图，内接于，是的直径，交于点，的切线交的延长线于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 38．（2025·江西吉安·一模）如图，是三角形的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，过点作的切线交的延长线于点，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 39．（2025·江西吉安·一模）如图，内接于，是的直径，，是的角平分线，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，过点作的平行线； (2)在图（2）中，当点作的垂线． 40．（2025·江西抚州·一模）如图，菱形的边长是的直径，与交于点是上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 41．（2025·江西·二模）如图，是的直径，直线与相切于点，是上的一点，，延长，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 42．（2025·江西·一模）如图，内接于，为直径，点D在上，过点D作切线与的延长线交于点E，，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 43．（2025·江西宜春·一模）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，经过、两个格点．以及格线上的点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图1，过点作的垂线； (2)如图2，过点作弦． 44．（2025·江西上饶·一模）如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的方格中按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的上作点D，使得． (2)在图2中的上作点E，使得． 45．（2025·江西上饶·一模）如图，内接于，，AD是的直径，交BC于点E，过点D作，交AB的延长线于点F，连接BD． (1)求证：DF是的切线． (2)若，，求BD的长． 46．（2025·江西南昌·一模）如图，四边形是菱形，是对角线上一点，以点为圆心，为半径画圆交于点，边与相切于点． (1)①判断点和的位置关系，并说明理由； ②求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的周长． 47．（2025·江西宜春·一模）如图，是的直径．四边形内接于，，对角线与交于点E，在的延长线上取一点F，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 48．（2025·江西新余·一模）如图，是的直径，为的弦，于点E，连接并延长到点M，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 49．（2025·江西景德镇·一模）请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，已知矩形的顶点在圆上，请找出圆心． (2)在图②中，弦上两点满足，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点在圆上，请找出圆心． 50．（2025·江西景德镇·一模）如图，四边形内接于，对角线是直径，延长边，交于点，过点作于点，已知； (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 51．（2025·江西鹰潭·一模）如图，已知是的直径，为的内接三角形，为延长线上一点，连接于点，交于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 52．（2025·江西景德镇·一模）如图，在中，，，延长至点，连接，，为的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求的长． 53．（2025·江西南昌·一模）如图，内接于，是直径，是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作出边上的中线． (2)在图2中作出等腰三角形，使得． 54．（2025·江西·模拟预测）图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． (1)求证：； (2)经测量，到的距离为，求该的半径． 55．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，过点作的一条平行线； (2)如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆（55题） 1．（2023·江西·中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 2．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 3．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． (1)当经过圆心O时（如图1），求的度数； (2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出； （2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出， 说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵经过圆心O， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴； （2）解：连接、，如图所示： ∵与相切， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 4．（2024·江西·中考真题）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是半圆O的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论； （2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：是半圆O的直径， ， ， ， ， 是半圆O的切线； （2）解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ． 5．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．    (1)求的长； (2)若，求证：为的切线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可； （2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是的直径，且， ∴， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∴的长；    （2）证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线．      【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键 ． 6．（2022·江西·中考真题）（1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论； （2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长． 【详解】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； 如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； （2）如图4，连接OA，OB，OP， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=2∠C=120°， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°， ∵OA=2， ∴OP=2OA=4， ∴PA= 【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键． 7．（2021·江西·中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若是的切线，，连接，如图2． ①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由； ②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为． 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=，即可证明∠CAD=∠ECB； （2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D+∠ABC=， ∵∠EBC+∠ABC=， ∴∠D=∠EBC， ∵AD为⊙O直径， ∴∠ACD=， ∴∠D+∠CAD=， ∵CE⊥AB， ∴∠ECB+∠EBC=， ∴∠CAD=∠ECB； （2）①四边形ABCO是菱形，理由如下： ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥EC， ∵AB⊥EC， ∴∠OCE=∠E=， ∴∠OCE+∠E=18， ∴OC∥AE， ∴∠ACO=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAD， ∴∠BAC=∠CAD， ∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°， ∴∠EBC=90°-30°=60°， ∴∠BAO=∠EBC =60°， ∴BC∥AO， ∴四边形ABCO是平行四边形， ∵OA=OC， ∴四边形ABCO是菱形； ②∵四边形ABCO是菱形， ∴AO=AB=2，AD=4， ∵∠CAD=30°， ∴CD=AD=2，AC=2， 过点C作CF⊥AD于点F， ∴CF=， ∴， ∵OC∥AE， ∴∠DOC=∠BAO=60°， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 一、单选题 8．（2025·江西萍乡·二模）如图，正六边形的边长是，连接，是上的动点，连接，．若的值是整数，则点的位置有（    ） A．3处 B．5处 C．7处 D．9处 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，勾股定理等知识的综合，掌握正多边形，勾股定理的运用是关键． 根据正多边形的性质，轴对称的性质得到点从运动时 ，的取值范围为，由此即可求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，点关于的对称点为点，每个内角的度数为， 如图所示，连接，交于点，连接，设交于点， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴，， 当点三点共线时，的值最小，最小值为， 点从运动时 ，的取值范围为， ∵， ∴整数值为，共3个， 故选：A ． 9．（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形中，半径为1的⊙在正方形内平移（⊙可以与该正方形的边相切），设点到⊙上的点的距离为，且是整数，则的值所有情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解；当与AB，BC相切时，连接，证明出是正方形，利用性质求解；当与，相切时，切点分别为G，H，连接，，利用同样的方法进行求解即可． 【详解】解：如图1，当与，相切时，切点分别为E，F，连接． 由题意易得四边形是正方形，． 的半径为1，， ∴点到上的点的距离的最小值为． 如图2，当与，相切时，切点分别为G，H，连接，， 由题意易得四边形是正方形，．， ∴点B，O，D三点共线． 的半径为1， ∴， ， ∴点到上的点的距离的最大值为． ，， ∴x的取值可能是1，2，3，4，5，共有5种， 故选：C． 10．（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据即可判断A正确；连接，，，先证出，再根据三角形的三边关系可得，由此即可判断B错误；在上截取点，使得，连接，，，，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可判断C正确；先求出，再根据圆周角定理可得，由此即可判断D正确． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，则选项A正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，则选项D正确； 故选：B． 11．（2025·江西宜春·一模）一张直径为的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据（单位：）长度不合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构成三角形的条件，三线合一定理，如选项A中图实所示，过点C作于D，设直线与半圆交于E，连接，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，，；再证明，得到，则可证明，则此时满足点C在圆内，据此可判断A；同理可判断B、D；如选项C中图所示，过点C作于D，利用勾股定理求出的长，可证明，则点C在圆外，据此可判断C． 【详解】解：如选项A中图实所示，过点C作于D，设直线与半圆交于E，连接， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴，； ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴此时满足点C在圆内，故A不符合题意； 同理可得B、D两个选项中图形的裁剪合理； 如选项C中图所示，过点C作于D， ∴， ∴， ∴， ∴点C在圆外，故C选项中长度不合理，符合题意； 故选：C． 12．（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接，过点作于点，轴于点，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得，利用勾股定理可得，即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，轴于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 13．（2025·江西九江·一模）如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ． 【答案】/69度 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，由直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，则可得到． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（2025·江西新余·三模）如图，在矩形中，．点在边上，且，分别是边，上的点，且，是线段上的动点，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】先证明，，①如图1，过点作交于点，连接，证明四边形为矩形，②如图2，过点作交于点，此时是直角三角形，过点作于点，则，③如图3，以为直径作圆，与交于点，此时是直角三角形，过点构造矩形，且与交于点，则为等腰直角三角形，可得，设，则，再进一步解答即可. 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ①如图1，过点作交于点，连接， ∵是直角三角形时， ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴，，为等腰直角三角形， ∴是直角三角形，， ∴， ②如图2，过点作交于点， 此时是直角三角形，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，而，则， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． ③如图3，以为直径作圆，与交于点，此时是直角三角形， 过点构造矩形，且与交于点，则为等腰直角三角形， ∴，设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，的长为或或． 故答案为：或或 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，画出图形，清晰的分类讨论是解本题的关键. 15．（2025·江西南昌·二模）在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积公式、等腰三角形的判定和性质等知识．求出，作于点H，则得到，根据扇形面积减去三角形面积即可得到答案． 【详解】解：∵中， ∴， ∵以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接， ∴， ∴， ∴， 作于点H，则 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为： 16．（2025·江西抚州·二模）如图，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点D在上，若，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】首先确定点共有两个位置，当在处时，连接，易知；当在处时，此时分两种情况，①当点在直线下方时，连接，过点作于点，首先证明，结合勾股定理解得，再证明，由直角三角形的性质可得；②当点在直线上方时，如图，连接，交于点，在上取一点，使得，连接，然后计算的值． 【详解】解：如下图，过点作于点，连接， ∵的半径为，弦的长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点其中一个位置与点重合， 延长交于点，连接， 则有， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴以为边作等腰三角形，，点共有两个位置，如图， 当在处时，连接，则； 当在处时，此时分两种情况， ①当点在直线下方时，如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点在直线上方时，如图，连接，交于点， 则， ∴， ∵， ∴， 在上取一点，使得，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，难度较大，综合性较强，正确作出辅助线并分类讨论是解题关键． 17．（2025·江西新余·二模）如图，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点D在上，若，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】首先确定点共有两个位置，当在处时，连接，易知；当在处时，此时分两种情况，①当点在直线下方时，连接，过点作于点，首先证明，结合勾股定理解得，再证明，由直角三角形的性质可得；②当点在直线上方时，如图，连接，交于点，在上取一点，使得，连接，然后计算的值． 【详解】解：如下图，过点作于点，连接， ∵的半径为，弦的长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点其中一个位置与点重合， 延长交于点，连接， 则有， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴以为边作等腰三角形，，点共有两个位置，如图， 当在处时，连接，则，即； 当在处时，此时分两种情况， ①当点在直线下方时，如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点在直线上方时，如图，连接，交于点， 则， ∴， ∵， ∴， 在上取一点，使得，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，难度较大，综合性较强，正确作出辅助线并分类讨论是解题关键． 18．（2025·江西宜春·一模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，且，则圆的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆的基本性质，坐标与图形，连接，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴圆的半径为5， 故答案为：5． 三、解答题 19．（2025·江西南昌·三模）在正方形网格中，圆经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺作图： (1)在图1中，作圆的直径； (2)在图2中，在圆上找一点D，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格中作图，涉及圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，利用转化的思想得到作图依据是解答的关键． （1）利用90度的圆周角（即）所对的弦是直径可画出直径； （2）取格点C、T，连接延长交圆于点D，连接，证明，得到，根据等腰三角形的判定可得． 【详解】（1）解：如图1中，直径即为所求； （2）解：如图2中，点D即为所求． 20．（2025·江西南昌·三模）如图， 在中， 以为直径作， 交于点 P， 是的切线， 且，垂足为点 D． (1)求证： ； (2)若， 求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论； （2）连接，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用相似三角形对应边成比例可计算出，然后利用得到，从而得到的半径． 【详解】（1）证明：连接，如图，   是的切线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图，    在中， ，则， ， 为直径， ， ，， ， ， ∴，即， 解得， ， ， 的半径为5． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题； 21．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作，交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理、全等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用． （1） 作， 先由求得， 再由及求得， 最后证得，依据切线的判定可得； （2）先求得， 在中求得、， 由切线长定理知、、 ， 继而得，再证，根据对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：过点作边上的垂线，并交于点， ， ， ，， ， ， 又∵是的切线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是的切线； （2）∵， ， 又∵， ，， ∵， ， ， ， ， ， 即的半径为， ， ，， ∵，， ， ， ． 22．（2025·江西新余·三模）如图，在中，是的直径，是上的一点，是的中点，连接并延长至点，连接，且 ． (1)求证：为的切线． (2)若的半径为4，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得，证明，进一步可得结论； （2）先求解，证明，可得，即，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而为的半径， ∴为的切线； （2）解：∵的半径为4，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，熟练的证明切线与相似三角形是解本题的关键. 23．（2025·江西九江·三模）如图，是的直径，四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，点与点重合，请作出的中点． (2)在图2中，请作出的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，涉及到平行四边形的性质、垂径定理，熟练掌握相关知识的性质是作图的关键． （1）连接并延长交于，连接交于M，则根据平行四边形的对角线互相平分可得到，根据平分弦（不是直径）的直径且垂直于弦,平分弦所对的两条弧可得平分； （2）由（1）可作的中点，由中位线定理的圆周角定理定理得到，同（1）理． 【详解】（1）解：如图1，点即为的中点； （2）解：如图2，点即的中点． 24．（2025·江西萍乡·二模）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并完成变式训练题（2）． (1)如图1，与相切于点．若的直径为，求的长． (2)如图2，与相切于点．若的直径为，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形． （1）连接，利用切线的性质求得，利用等腰三角形的性质求得，最后利用勾股定理求解即可； （2）连接，作于点，利用等腰三角形的性质求得，得到，求得，利用勾股定理求得，利用等腰三角形的性质求得，再由，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴； （2）解：连接，作于点， ∵的直径为， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（2025·江西萍乡·二模）如图，在中，为锐角，其顶点，都在上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，的顶点在上，作顶点为的的余角． (2)在图中，的顶点在内，作顶点在直线上的的余角． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了无刻度直尺画图，圆周角定理，互余定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据圆周角定理画图即可； （）根据圆周角定理画图即可． 【详解】（1）解：如图，连接延长交上于点，连接，所以即为所求； 理由：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故即为所求； （2）解：如图，连接，延长交上于点，连接，所以即为所求； 理由：∵为直径， ∴， ∴， 故即为所求． 26．（2025·江西抚州·二模）如图是的正方形网格，网格边长为1，的顶点均在格点上．已知的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹． (1)作的外接圆的直径； (2)过点B作的外接圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，三角形的外接圆，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直径所对圆周角为，结合网格的特征，取格点，则，即交圆于点D，连接即可； （2）由（1）知为的外接圆的直径，利用网格的特征，取中点，即为的外接圆的圆心，连接，再利用网格的特征，取格点E，作直线，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，直径即为所求． （2）解：如图，切线即为所求． AI 27．（2025·江西抚州·二模）如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理即可求出，结合时半径即可证明； （2）过点作于点，求出，由圆周角定理求出，易证为等边三角形，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 是的直径， 为的切线； （2）解：如图，过点作于点． 为的切线， ， ， ． ， 为等边三角形， ， ． 28．（2025·江西新余·三模）如图，是的一条弦，将平移后得一线段（A，B的对应点分别为，），且，两点落在上．为的中点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的性质、矩形的判定以及弧长的计算，解题的关键是利用圆中弦、弧、角的关系以及矩形的判定条件进行推理计算． （1）通过平移性质得到四边形是平行四边形，再利用圆的性质和已知平行关系证明有一个角是直角，从而证得矩形； （2）先证明四边形为平行四边形，得到，再利用圆的半径关系求出圆心角，再利用弧长公式计算弧长． 【详解】（1）证明：根据题意可得，，， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 四边形是矩形； （2）为的中点， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 如图，连接， ， 为等边三角形， ， 的长为． 29．（2025·江西新余·一模）如图1，是的外接圆，是的直径，于点，是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)如图2，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）如图，连接．根据，得出．根据得出，等量代换得出，结合，即可得，即可证明． （2）如图，连接，根据垂径定理得出，，，结合，得出，即可得，求出，．在中，解直角三角形求出，即可得出的半径长． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． 于点， ， ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接， ，， ，， ， 又， ， ． ， ， ， ， ， ∵， ． 在中，， 的半径长为4． 【点睛】该题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，解直角三角形，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 30．（2025·江西赣州·二模）如图，已知半圆的直径的长为6，、是半圆的三等分点，点在上，以为直径作． (1)设的弧长为，半圆（即）的弧长为，若，判断与的大小关系，并说明理由； (2)连接，若与相切，请求出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)4.5 【分析】本题考查了切线的性质，弧、圆心角的关系，弧长公式等知识，解题的关键是： （1）连接， 弧、圆心角的关系可得出，然后根据弧长公式求出和即可； （2）根据切线的性质得出，根据含的直角三角形的性质得出，求出，即可求解． 【详解】（1）解： ． 理由：连接， 、是半圆的三等分点， ， ， ， ． （2）解：连接， 与相切， ， 由（1）知， ，， ，即， 31．（2025·江西宜春·一模）如图，是的一条对角线，且，的外接圆与边交于点．连结． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为5，且，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)6 【分析】（1）连接、，连接并延长交于点，可得垂直平分，则，由三角形内角和定理得出，由等边对等角以及圆周角定理得出，再根据平行四边形的性质得出，进而得出，进一步即可得出是的切线． （2）由等边对等角，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质得出，即可证明． （3）连接过点B作于点F，由等腰三角形三线合一的性质可知，由，设，，得出，最后根据勾股求解即可． 【详解】（1）证明：连接、，连接并延长交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，     ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； （3）解：连接、，连接并延长交于点， 由（1）可知，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴设，， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得：（舍去）或， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，正切的定义，相似三角的判定，圆切线的判定，等腰三角形三线合一等知识，掌握这些性质是解题的关键． 32．（2025·江西南昌·二模）如图，点在以为直径的上，平分交于点，过点作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法； （1）根据角平分线、等边对等角得出，证明，结合，即可得证； （2）过点作，垂足为．可得四边形为矩形．进而求得．设的半径为，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：连接． 平分， ． ， ． ． ． ， ． ． 为的切线． （2）过点作，垂足为． 四边形为矩形． ．设的半径为． ， ． 在直角三角形中，， ∴， 解得， 的半径为． 33．（2025·江西吉安·一模）如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，由为的直径，得，可推导出，即可证明是的切线； （2）连接，由，，求得，，而，所以，则，即可根据弧长公式求得的长是． 【详解】（1）证明：连接． 是的直径， ．         ， ， ， ， 又， ，即，              为上一点， 是的切线． （2）解：如上图，连接． ， ， ，     ，， ， ， ， ， ， ，         ， 的半径为1，         的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 34．（2025·江西新余·二模）如图，是的弦（非直径），点C是半径上的一个动点（不与线段两端点重合），过点C作的垂线，交于点D，交于点E，交的垂直平分线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若点E是的中点，且点C是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定、垂径定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定、垂径定理是关键． （1）连接，证明．即可证明结论成立； （2）连接，交于点H．证明，，得到，在中，，根据含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：如图1，连接，则． ∵垂直平分， ∴ ∴． ∵ ∴， ∵， ∴ ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）如图2，连接，交于点H． ∵点E是的中点， ∴垂直平分， ∵垂直平分， ∴， ∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 35．（2025·江西抚州·一模）如图，是的直径，为圆上两点，，垂足为点，连接并延长到点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，解直角三角形，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用圆周角定理得到，得出，即可得到结论； （2）连结，得到，求出， 求出的长． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是的直径， 是的切线； （2）解：连结， 是的直径， 垂直平分CD ， ， ， ， ， 的长． 36．（2025·江西九江·二模）如图，在中，，点，分别在边，上，以为半径作，交于点． (1)判断与的位置关系，并证明； (2)当是的中点时， 若，求的长． 当满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出来． 【答案】(1)与相切，见解析； (2)；． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、正方形的性质、切线的判定和性质． 连接，根据等边对等角可得：、，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，从而可得，所以可知与相切； 当是的中点时，可知是的直径，所以，根据，可得，从而可知，根据直角三角形斜边上的中线等于线段的一半可知； 根据正方形的性质可知，，又因为，所以可知，所以可得． 【详解】（1）解：与相切， 证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 又是的半径， 与相切； （2）解：如下图所示， 由题意得是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当满足时，四边形是正方形． 37．（2025·江西新余·二模）如图，内接于，是的直径，交于点，的切线交的延长线于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据是的切线，得到，再根据，得到，根据是的直径，得到，得到是的垂直平分线，即可解答； （2）证明，根据三角形相似的性质可求出的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后证明，根据三角形相似的性质，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：∵，，， ， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定及性质，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 38．（2025·江西吉安·一模）如图，是三角形的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，过点作的切线交的延长线于点，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，根据，得出，从而可证得，再由切线的性质得出，则，从而可得，即可由切线的判定定理得出结论； （2）设的半径为，则，，然后在中，由勾股定理，得，即，求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：设的半径为，则， 又，， ， 在中，由勾股定理，得 ，即， 解得：， 的半径为． 39．（2025·江西吉安·一模）如图，内接于，是的直径，，是的角平分线，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，过点作的平行线； (2)在图（2）中，当点作的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图、圆周角定理、平行线的判定、三角形的内角和定理等知识，利用圆周角定理正确作出图形是解答的关键． （1）延长交于M，连接，由直径所对的圆周角是直角可得，进而可得，再根据圆周角定理得到，则可得； （2）延长交于M，连接并延长交于N，连接，由，可得． 【详解】（1）解：如图1，直线即为所求作； （2）解：如图2，直线即为所求作： 40．（2025·江西抚州·一模）如图，菱形的边长是的直径，与交于点是上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由圆周角定理得，再结合菱形的性质证明，则，又因为是的直径，故是的切线． （2）先设，再得，运用勾股定理列式，代入数值计算，得，再结合，得，则，即可作答． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的直径， ． 四边形是菱形， ． ． 在和中， ， ． ， ． 又是的直径， 是的切线． （2）解：设， ． 由（1）可知， ． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 41．（2025·江西·二模）如图，是的直径，直线与相切于点，是上的一点，，延长，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线判定和性质、扇形面积等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，，证明，推出，即可证明结论成立； （2）作于点F，连接，证明是等边三角形，得到，求出，，则，，据此计算即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，， ∵为的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵点B在上， ∴是的切线； （2）解；如图，作于点F，连接，， 由可得：是斜边的中线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 42．（2025·江西·一模）如图，内接于，为直径，点D在上，过点D作切线与的延长线交于点E，，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质、平行线的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识点，正确的作出辅助线、构造直角三角形或平行线是解题的关键． （1）如图：连接，由为的切线，根据切线的性质得到，由为的直径，得到，根据平行线的判定和性质可得，又因为得到，最后根据等量代换即可证明结论； （2）如图：连接，则，由勾股定理得到，根据三角函数的定义得到，由求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 43．（2025·江西宜春·一模）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，经过、两个格点．以及格线上的点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图1，过点作的垂线； (2)如图2，过点作弦． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图——应用与设计，平行线分线段成比例定理，等腰三角形三线合一的性质，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格，取与格线的交点，作直线即可； （2）连接，交于，连接并延长，交于，连接即可． 【详解】（1）解：取与格线的交点，作直线，直线即为求作的； 理由：取格点，，连接，， ， ， ， ， ； （2）解：连接，交于，连接并延长，交于，连接，即为所求作的； 理由：直线是的对称轴，点在上， ， ， ， ， ． 44．（2025·江西上饶·一模）如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的方格中按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的上作点D，使得． (2)在图2中的上作点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理 ，锐角三角函数等知识，解题的关键是∶ （1）取格点D，连接即可； （2）取格点M，连接交于点即可． 【详解】（1）解∶如图，点D即为所求， 根据勾股定理得，，，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解∶如图，点E即为所求， 根据勾股定理得，，，， ∴，，， ∴是直角三角形， ∴． 45．（2025·江西上饶·一模）如图，内接于，，AD是的直径，交BC于点E，过点D作，交AB的延长线于点F，连接BD． (1)求证：DF是的切线． (2)若，，求BD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由圆周角定理得，即，再由等腰三角形的性质和圆周角定理得，，则，然后由平行线的性质得，则，即，即可得出结论； （2）证，得，则，即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 又是的半径， 是的切线； （2）∵是的切线； ∴， 是的直径， ， ， ， ∴ ，， ， ∴ ， ． 46．（2025·江西南昌·一模）如图，四边形是菱形，是对角线上一点，以点为圆心，为半径画圆交于点，边与相切于点． (1)①判断点和的位置关系，并说明理由； ②求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)①点在上，理由见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①连接，，根据菱形的性质得到三角形全等，利用全等三角形的性质求解； ②根据全等三角形的性质和切线的判定来求解； （2）根据菱形的性质和圆周角定理求出，再利用含角的直角三角形性质求出，由勾股定理求出的长度，利用弧长公式求解． 【详解】（1）解：①点在上，理由如下： 连接，， 在菱形中， ， ∴， ∴． 又是半径， ∴点在上； ②∵， ∴． 又与相切，切点为， ∴，是半径， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， 在菱形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ， ， 即， ∴，， ∴， ∴弧长， ∴． 【点晴】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，切线的判定和性质，含角的直角三角形性质，勾股定理，弧长公式，理解相关知识是解答关键． 47．（2025·江西宜春·一模）如图，是的直径．四边形内接于，，对角线与交于点E，在的延长线上取一点F，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由，，证明得，然后求出即可证明是的切线； （2）连接，，先证明得，，证明是等边三角形得，再证明是等边三角形得，然后证明，再根据相似三角形的性质即可得出的值． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴，． 又∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接，． 由（1）可知，． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，理解圆周角定理，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 48．（2025·江西新余·一模）如图，是的直径，为的弦，于点E，连接并延长到点M，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据圆周角定理，得，结合，可以证明，于是即可得证； （2）根据，，，得，，根据，解答即可． 【详解】（1）证明：根据圆周角定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，余弦函数的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 49．（2025·江西景德镇·一模）请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，已知矩形的顶点在圆上，请找出圆心． (2)在图②中，弦上两点满足，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点在圆上，请找出圆心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长交圆于两点，交于点O，根据矩形的性质结合直径所对圆周角为，即可得到点O为所求； （2）延长交圆于两点，连接交于点G，连接，作射线交于点P，根据全等三角形的性质结合直径所对圆周角为，即可得到点P为所求； 【详解】（1）解：如图所示，圆心为所求： （2）解：如图所示，点P为所求： 理由：连接， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∵ ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴点P为圆心． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，整我圆周角定理是解题的关键． 50．（2025·江西景德镇·一模）如图，四边形内接于，对角线是直径，延长边，交于点，过点作于点，已知； (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，由，，得，可知，根据，可知，即可证明结论； （2）根据直径所对圆周角为直角可知，由，可知，进而可得，解直角三角形得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，而为半径， ∴是的切线； （2）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴的半径为． 51．（2025·江西鹰潭·一模）如图，已知是的直径，为的内接三角形，为延长线上一点，连接于点，交于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【分析】本题考查了切线的证明和解直角三角形，解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明，利用圆的性质得出等边三角形，运用三角函数求解； （1）连接，根据和证明即可； （2）根据得出，得出是等边三角形，再根据三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ∴ 是的半径， 是的切线；． （2）解：在中，， ， 是等边三角形， ， 是直径， ， 在中，． 52．（2025·江西景德镇·一模）如图，在中，，，延长至点，连接，，为的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由可得，推出，结合，可得，推出，得到，推出，得到，进而得到，由，，可推出是的直径，即可得证； （2）由（1）可知，是的直径，，得到，，设，，在中，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ，即， ，， ， 为半圆弧， 是的直径， ， 是的切线； （2）解：由（1）可知，是的直径，， ，， 的半径为， ， ， 设，， 在中，，即， 解得：， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 53．（2025·江西南昌·一模）如图，内接于，是直径，是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作出边上的中线． (2)在图2中作出等腰三角形，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图、全等三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、三角形的中线、等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，，相交于点，连接并延长，交于点，利用重心可知即为所求． （2）在（1）的基础上，连接并延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，结合圆周角定理及其推论、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定可知，即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接，，相交于点，连接并延长，交于点， ∵是的中点，是的中点， ∴点是的重心， ∴为的边上的中线， 即为所求作； （2）解：如图，在（1）的基础上，连接并延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接， 可知为的边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 即等腰三角形为所求． 54．（2025·江西·模拟预测）图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． (1)求证：； (2)经测量，到的距离为，求该的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握吹经定理． （1）设与交于点，由为的中点，可得，推出，即可证明； （2）连接，由题意可得：，根据垂径定理可得，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：设与交于点， 为的中点， ， ， ； （2）连接， 由题意可得：， ， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， 的半径为． 55．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，过点作的一条平行线； (2)如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理及三角形的重心． （1）连接，证明，可得； （2）连接，连接交于点，交于点，连接交于点，作直线，则直线即为所作，利用三角形重心的性质和垂径定理即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所作， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，直线即为所作， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴点是三角形的重心， ∴点是的中点， ∴直线是的垂直平分线， ∴直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$