奥数培优专题14 抽屉原理与容斥原理初步（讲义）2026-2027学年人教版七年级上册数学

本讲义聚焦初中数学抽屉原理与容斥原理初步，系统梳理抽屉原理基本形式、最不利原则、两集合容斥原理及集合计数四大考点，构建从原理认知到应用的学习支架，为后续概率与计数问题学习筑牢思维根基。 资料以知识体系表格化呈现核心内容，通过解题方法口诀化（如“最倒霉全列完加个一就保证”）培养学生数学思维，文氏图法辅助容斥原理理解提升抽象能力（数学眼光），分层练习与易错指南助力课中教学与课后查漏补缺，强化应用意识（数学语言）。

专题十四 抽屉原理与容斥原理初步 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：抽屉原理的基本形式与应用 3 考点二：最不利原则的解题思路 4 考点三：容斥原理的基础应用 5 考点四：集合的计数问题 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：抽屉原理至少数计算错误，忘加 1 8 易错点 2：最不利原则漏算极端情况，忘记加 1 8 易错点 3：容斥原理直接相加，不减重叠部分 8 易错点 4：混淆 “只参加” 和 “参加” 的概念 8 易错点 5：抽屉构造分类不互斥，原理失效 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、基础夯实篇（8 题） 10 二、能力进阶篇（7 题） 10 三、思维跃迁篇（5 题） 11 第五部分 精准解析 13 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版七年级上册组合数学入门的奥数培优内容，核心是 “抽屉原理与容斥原理的基础认知与应用”，依托抽屉原理基本形式、最不利原则、两集合容斥原理、集合计数四大考点，初步建立极端思维与集合计数思想，掌握组合数学最核心的两类基础原理，为后续概率、计数问题学习筑牢思维根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 抽屉原理基本形式 抽屉原理两大基本形式、简单抽屉构造、至少数计算 公式代入法、枚举构造法 混淆抽屉与物品的对应关系；至少数计算忘记向上取整 最不利原则 极端倒霉场景构造、保证类问题求解、最不利 + 1 模型 极端构造法、底线思维法 遗漏极端情况；计算完最不利情况忘记加 1 容斥原理基础应用 两集合容斥公式、重叠量计算、总量与分量互求 公式法、文氏图法 直接相加忽略重叠部分；混淆 “只参加 A” 与 “参加 A” 集合计数问题 交集、并集、补集计数、多分类集合统计 分类计数法、图示辅助法 分类标准不统一，出现重复或遗漏计数 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 公式代入法 基础抽屉原理、两集合容斥 确定对应量→匹配公式→代入计算 找对量，套公式，算结果，验合理性 最不利构造法 “保证…… 至少……” 类问题 枚举最倒霉的所有情况→加 1 得到保证值 最倒霉，全列完，加个一，就保证 文氏图法 容斥原理集合计数 画两个相交圆→标注各区域→根据条件填数 画圆圈，标区域，重叠部分减一次 构造抽屉法 需自行分类的抽屉问题 确定分类标准→构造抽屉→应用原理 先分类，做抽屉，放物品，看至少 分类剔除法 补集、重叠计数问题 总数量减去不符合的数量→得到目标量 正难则反，反向排除，简化计算 三、奥数思维提升 1. 构造思想：抽屉的设计与转化 核心要点：抽屉原理的核心是 “构造抽屉”，将题目中的元素按某一标准分类，每一类就是一个抽屉，再将物品放入抽屉推导结论。 示例：证明任意 13 个人中至少有 2 个人属相相同，将 12 个属相看作 12 个抽屉，13 个人看作 13 个物品，放入 12 个抽屉，至少有一个抽屉有 2 个物品。 2. 极端思想：最不利原则的底层逻辑 核心要点：解决 “保证一定发生” 的问题，从最倒霉、最极端的反面情况入手，所有坏情况都发生后再加 1，就是必然满足条件的最小值。 示例：口袋里有红、黄、蓝球各 5 个，至少摸几个保证有 2 个同色？最倒霉是红、黄、蓝各摸 1 个，再摸 1 个必然同色，即 3+1=4 个。 3. 集合思想：容斥原理的核心本质 核心要点：将具有同一属性的事物看作一个集合，重叠部分是两个集合的交集，总数量是两个集合的并集，计数时重叠部分只能算一次，因此要减去重复计算的交集。 示例：参加语文小组和数学小组的人数，直接相加会把两个小组都参加的人算两遍，因此总人数 = 语文组 + 数学组 - 两组都参加。 4. 分类思想：不重不漏的计数准则 核心要点：集合计数、抽屉构造都需要遵循分类的互斥性与完备性，每一个元素只能属于一类，所有元素都有对应类别，确保计数无重复、无遗漏。 示例：将整数按奇偶性分为两类，每个整数要么是奇数要么是偶数，没有交叉也没有遗漏，可作为两个抽屉使用。 5. 建模思想：实际问题原理化 核心要点：将生活中的分配、抽取、计数等问题，抽象转化为抽屉原理或容斥原理的标准模型，用成熟的原理公式快速解决问题。 示例：班级学生参加兴趣小组的人数统计问题，本质就是两集合容斥模型，直接套用公式即可求解。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：抽屉原理的基本形式与应用 典型例题 1（基础型）—— 抽屉原理一 题目：把 5 个苹果放进 4 个抽屉里，总有一个抽屉里至少有几个苹果？ 解题步骤： ① 确定物品数 5，抽屉数 4，物品数多于抽屉数； ② 根据抽屉原理一：把多于 n 个物品放入 n 个抽屉，至少有一个抽屉有至少 2 个物品； ③ 验证：每个抽屉先放 1 个，共放 4 个，剩 1 个无论放哪个抽屉，该抽屉都有 2 个； ④ 因此总有一个抽屉至少有 2 个苹果。 【答案】个 【知识点睛】当物品数比抽屉数多 1 时，至少有一个抽屉里有 2 个物品，这是抽屉原理最基础的形式。 典型例题 2（提高型）—— 抽屉原理二 题目：把 20 本书分给 7 个同学，总有一个同学至少分到几本书？ 解题步骤： ① 物品数 20，抽屉数 7，用抽屉原理二计算至少数； ② 平均分：，商为 2，余数为 6； ③ 至少数 = 商 + 1 = ； ④ 验证：每人先分 2 本，共分 14 本，剩 6 本再分给 6 人，这 6 人各有 3 本。 【答案】本 【知识点睛】抽屉原理通用公式：个物品放入个抽屉，至少有一个抽屉有个物品（有余数时商 + 1，无余数时等于商）。 典型例题 3（奥数型）—— 构造抽屉解题 题目：任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是 7 的倍数？ 解题步骤： ① 一个数除以 7 的余数有 0、1、2、3、4、5、6 共 7 种情况，看作 7 个抽屉； ② 两个数除以 7 余数相同，则它们的差是 7 的倍数； ③ 最不利情况：每个抽屉各取 1 个数，共 7 个数，此时任意两个数差都不是 7 的倍数； ④ 再取 1 个数，必然和其中一个抽屉余数相同，差为 7 的倍数； ⑤ 因此至少取个。 【答案】个 【知识点睛】余数类抽屉问题，按余数构造抽屉是常用技巧，余数相同的两数差必为除数的倍数。 考点二：最不利原则的解题思路 典型例题 1（基础型）—— 摸球同色问题 题目：口袋里有红球 4 个、黄球 5 个、蓝球 6 个，大小都相同。至少摸出几个球，才能保证有 2 个颜色相同的球？ 解题步骤： ① 最不利情况：每种颜色各摸出 1 个，共摸出 3 个球，此时没有 2 个同色； ② 再摸 1 个，无论是什么颜色，都会和已有的一个颜色相同； ③ 因此至少摸出个。 【答案】个 【知识点睛】保证 2 个同色，最不利就是每种颜色各 1 个，再加 1 个必然满足，颜色种类数 + 1 就是答案。 典型例题 2（提高型）—— 保证指定数量同色 题目：盒子里有黑、白棋子各 10 枚，至少取出多少枚，才能保证有 4 枚颜色相同？ 解题步骤： ① 最不利情况：黑、白各取 3 枚，共取枚，此时都不到 4 枚同色； ② 再取 1 枚，无论黑白，都会让其中一种颜色达到 4 枚； ③ 因此至少取出枚。 【答案】枚 【知识点睛】保证 n 个同色，最不利是每种颜色都取 n-1 个，再加 1 个必然满足；若颜色数量不足 n-1，则全部取完。 典型例题 3（奥数型）—— 含特殊元素的最不利 题目：一副扑克牌共 54 张（含大小王），至少抽出多少张，才能保证有 3 张牌是红桃？ 解题步骤： ① 最不利情况：先把非红桃的牌都抽完，再抽红桃； ② 黑桃、方块、梅花各 13 张，大小王 2 张，共张； ③ 此时剩下的全是红桃，再抽 3 张就有 3 张红桃； ④ 总数：张。 【答案】张 【知识点睛】有特殊元素（大小王）或其他花色时，最不利要先把所有不符合目标的元素全部取完，再取目标数量。 考点三：容斥原理的基础应用 典型例题 1（基础型）—— 两集合容斥求总量 题目：某班参加语文兴趣小组的有 25 人，参加数学兴趣小组的有 30 人，两个小组都参加的有 10 人，每人至少参加一个小组。这个班共有多少人？ 解题步骤： ① 两集合容斥公式：总人数 = 参加语文 + 参加数学 - 两个都参加； ② 代入数值：人； ③ 验证：只参加语文 15 人，只参加数学 20 人，都参加 10 人，总和 45 人。 【答案】人 【知识点睛】两集合容斥核心公式：，减去重叠部分避免重复计数。 典型例题 2（提高型）—— 求重叠部分 题目：四年级一班有 45 名同学，会下象棋的有 22 人，会下围棋的有 28 人，每人至少会一种。两种棋都会下的有多少人？ 解题步骤： ① 已知总人数、两个集合的数量，求交集； ② 由容斥公式变形：； ③ 代入：人。 【答案】人 【知识点睛】容斥公式可灵活变形，已知总量求重叠、已知重叠求总量，只需对应变换公式即可。 典型例题 3（奥数型）—— 求只满足一个条件的数量 题目：学校运动会，参加跑步的有 36 人，参加跳远的有 28 人，两项都参加的有 12 人。只参加跑步、只参加跳远的各有多少人？ 解题步骤： ① 只参加跑步的人数 = 参加跑步总人数 - 两项都参加的人数； ② 只跑步：人； ③ 只跳远：人； ④ 验证：总人数人，符合。 【答案】只参加跑步人，只参加跳远人 【知识点睛】文氏图分为三部分：只 A、只 B、都参加，三者相加为总人数，注意区分 “参加 A” 和 “只参加 A”。 考点四：集合的计数问题 典型例题 1（基础型）—— 简单分类计数 题目：1 到 20 的整数中，能被 2 整除或能被 3 整除的数共有多少个？ 解题步骤： ① 能被 2 整除的数：2、4…20，共 10 个； ② 能被 3 整除的数：3、6…18，共 6 个； ③ 既能被 2 又能被 3 整除（即被 6 整除）：6、12、18，共 3 个； ④ 容斥计算：个。 【答案】个 【知识点睛】“或” 类计数问题本质是求并集，用容斥原理减去重复部分。 典型例题 2（提高型）—— 补集计数 题目：全班 40 名同学，喜欢数学的有 32 人，喜欢语文的有 28 人，每人至少喜欢一科。两科都喜欢的有多少人？ 解题步骤： ① 本题为两集合容斥求交集，直接用公式； ② 两科都喜欢的人数 = 喜欢数学 + 喜欢语文 - 总人数； ③ 代入：人。 【答案】人 【知识点睛】已知全集和两个子集，求交集是容斥原理的常见逆向应用。 典型例题 3（奥数型）—— 三集合初步计数 题目：某班学生参加兴趣小组，参加美术的有 20 人，参加音乐的有 18 人，参加体育的有 22 人，同时参加美术和音乐的有 5 人，同时参加美术和体育的有 6 人，同时参加音乐和体育的有 4 人，三个都参加的有 2 人。全班参加兴趣小组的共有多少人？ 解题步骤： ① 三集合容斥公式：总人数 = A+B+C - AB - AC - BC + ABC； ② 代入数值：； ③ 计算：人。 【答案】人 【知识点睛】三集合容斥核心是 “加加减减”：单集合全加，两两交集减一次，三个交集加回来，保证每部分只算一次。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：抽屉原理至少数计算错误，忘加 1 错误示例：20 个苹果放 7 个抽屉，算成至少 2 个，忘记有余数时要商 + 1。 正确分析：平均分后有余数，至少数 = 商 + 1；刚好整除时，至少数 = 商。 修正方法：牢记 “有余商加一，无余等于商” 的口诀，计算完反向验证。 易错点 2：最不利原则漏算极端情况，忘记加 1 错误示例：求保证 2 个同色，直接写颜色数，忘记加 1，得到的是 “可能” 而非 “保证”。 正确分析：最不利原则是所有坏情况都发生，再加 1 才必然满足条件，+1 是关键步骤。 修正方法：读完 “保证” 类题目，先想最倒霉的情况，最后一定要加 1，再检查是否合理。 易错点 3：容斥原理直接相加，不减重叠部分 错误示例：语文 25 人、数学 30 人，总人数直接算 55 人，忽略重复的 10 人。 正确分析：两个集合的重叠部分被计算了两次，必须减去一次，才能得到真实的总数量。 修正方法：遇到 “既… 又…”“都参加” 的描述，立刻想到容斥，用和减去重叠量。 易错点 4：混淆 “只参加” 和 “参加” 的概念 错误示例：已知参加数学的 30 人，都参加的 10 人，误以为只参加数学的是 30 人。 正确分析：“参加 A” 包含只参加 A 和两项都参加的，“只参加 A” 不包含重叠部分。 修正方法：画文氏图标注区域，明确每部分对应的含义，避免概念混淆。 易错点 5：抽屉构造分类不互斥，原理失效 错误示例：把数分为 “正数、负数、整数” 三类，分类有重叠，不能作为抽屉。 正确分析：抽屉必须满足互斥性，每个物品只能属于一个抽屉，分类不能交叉重叠。 修正方法：构造抽屉后先检查分类是否有交叉、是否覆盖所有元素，符合要求再应用原理。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 把 7 支笔放进 3 个文具盒，总有一个文具盒至少有______支笔。 2. 10 个小朋友分 4 个小组，至少有一个小组有______人。 3. 袋子里有红、黄、白三种颜色的球各 5 个，至少摸______个能保证有 2 个同色。 4. 一班学生参加跳绳的有 18 人，参加跑步的有 20 人，两项都参加的有 8 人，每人至少参加一项。全班共有______人。 5. 任意 15 个人中，至少有______个人属相相同。 6. 集合 A 有 12 个元素，集合 B 有 18 个元素，交集有 5 个，两个集合共有______个元素。 7. 一副去掉大小王的扑克牌，至少抽______张能保证有 2 张同花色。 8. 1 到 10 中，能被 2 整除或能被 5 整除的数有______个。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 把 46 颗糖分给 8 个小朋友，总有一个小朋友至少分到几颗糖？ 10. 箱子里有黑色、白色手套各 10 只，至少拿出多少只，才能保证有 3 只颜色相同？ 11. 某校七年级共 200 名学生，参加数学竞赛的有 80 人，参加英语竞赛的有 95 人，两种都参加的有 30 人。两种都不参加的有多少人？ 12. 至少取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是 5 的倍数？ 13. 某班 42 人，会打篮球的 21 人，会打羽毛球的 25 人，两种都不会的有 3 人。两种都会的有多少人？ 14. 一个班有 45 人，喜欢语文的有 35 人，喜欢数学的有 40 人，每人至少喜欢一科。两科都喜欢的有多少人？ 15. 扑克牌去掉大小王共 52 张，至少抽出多少张，才能保证有一张是黑桃？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 证明：任意 7 个整数中，至少有 3 个数的和是 3 的倍数。 17. 50 名学生参加甲、乙两项体育测试，甲及格 40 人，乙及格 31 人，两项都不及格 4 人。两项都及格的有多少人？ 18. 从 1 到 100 的自然数中，既不能被 2 整除，也不能被 3 整除，还不能被 5 整除的数有多少个？ 19. 口袋里有 10 个红球、8 个黄球、7 个蓝球，至少摸出多少个球，才能保证有 5 个球颜色相同？ 20. 学校开设书法、绘画、舞蹈三个兴趣班，每人至少报一个。已知报书法的 28 人，报绘画的 30 人，报舞蹈的 25 人；同时报书法和绘画的 10 人，同时报绘画和舞蹈的 8 人，同时报书法和舞蹈的 9 人；三个都报的有 3 人。一共有多少人报兴趣班？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1.【答案】 解题步骤： ，商 + 1=3。 【知识点睛】抽屉原理二，有余数时至少数为商 + 1。 2.【答案】 解题步骤： ，至少有一个小组≥3 人。 【知识点睛】平均分后剩余的人再分配，拉高至少数。 3.【答案】 解题步骤： 最不利各摸 1 个共 3 个，再加 1 个，3+1=4。 【知识点睛】最不利原则基础应用，颜色数 + 1。 4.【答案】 解题步骤： 人。 【知识点睛】两集合容斥求总人数。 5.【答案】 解题步骤： 12 个属相为 12 个抽屉，，至少 2 人同属相。 【知识点睛】生肖抽屉问题，经典抽屉原理应用。 6.【答案】 解题步骤： 。 【知识点睛】两集合并集元素计数。 7.【答案】 解题步骤： 4 种花色各 1 张共 4 张，再加 1 张，4+1=5。 【知识点睛】花色抽屉，最不利原则。 8.【答案】 解题步骤： 能被 2 整除的 5 个，能被 5 整除的 2 个，都能的 1 个，。 【知识点睛】整除类容斥计数。 二、能力进阶篇解析 9.【答案】颗 解题步骤： ，至少数 = 5+1=6 颗。 【知识点睛】抽屉原理二的直接应用。 10.【答案】只 解题步骤： 最不利黑白各 2 只，共 4 只，再加 1 只，只。 【知识点睛】保证 n 只同色，最不利各取 n-1 只。 11.【答案】人 解题步骤： ① 参加竞赛总人数：人； ② 都不参加：人。 【知识点睛】容斥 + 补集综合计算。 12.【答案】个 解题步骤： ① 除以 5 余数有 0~4 共 5 种，看作 5 个抽屉； ② 最不利各取 1 个共 5 个，再加 1 个，个。 【知识点睛】余数构造抽屉，差的倍数问题。 13.【答案】人 解题步骤： ① 至少会一种的人数：人； ② 两种都会：人。 【知识点睛】含都不参加的容斥逆向计算。 14.【答案】人 解题步骤： 人。 【知识点睛】两集合容斥求交集，重叠最大值问题。 15.【答案】张 解题步骤： ① 最不利：把红桃、方块、梅花都抽完，共张； ② 再加 1 张必为黑桃，共张。 【知识点睛】指定花色的最不利构造，先抽完其他所有花色。 三、思维跃迁篇解析 16.【答案】证明成立 解题步骤： ① 整数除以 3 余数为 0、1、2，看作 3 个抽屉； ② 若三个数同余，和必为 3 的倍数；若每个抽屉各 1 个，和也为 3 的倍数； ③ 最不利：每个抽屉最多 2 个数，3 个抽屉最多 6 个数； ④ 7 个数放入 3 个抽屉，至少有一个抽屉≥3 个，或三个抽屉都有数，均满足有 3 个数和为 3 的倍数。 【知识点睛】余数类抽屉原理的证明题，分类讨论所有情况。 17.【答案】人 解题步骤： ① 至少一项及格的人数：人； ② 两项都及格：人。 【知识点睛】含不及格人数的两集合容斥。 18.【答案】个 解题步骤： ① 能被 2 整除 50 个，能被 3 整除 33 个，能被 5 整除 20 个； ② 能被 6 整除 16 个，能被 10 整除 10 个，能被 15 整除 6 个； ③ 能被 30 整除 3 个； ④ 三集合容斥：个； ⑤ 都不能的：个。 【知识点睛】三集合容斥 + 补集综合计算。 19.【答案】个 解题步骤： ① 最不利：红、黄、蓝各取 4 个，共个； ② 再加 1 个必然有 5 个同色，共个。 【知识点睛】三色保证 n 个同色的最不利计算。 20.【答案】人 解题步骤： ① 三集合容斥公式：总人数 = 28+30+25 -10-8-9 +3； ② 计算：人。 【知识点睛】标准三集合容斥公式的应用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $