奥数培优专题09 一元一次方程的实际应用（二）（讲义）2026-2027学年七年级上册数学（人教版）

本讲义聚焦一元一次方程的实际应用拓展，系统梳理利润、利息、方案选择、分段计费、浓度问题五大题型，构建知识体系与解题方法框架，强化方程建模能力，为七年级上册第三章内容的奥数培优提供学习支架。 资料以知识体系表格梳理、解题方法口诀记忆为特色，通过分层例题（基础、提高、奥数型）与易错避坑指南，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生分层练习、查漏补缺，提升实际问题解决能力。

专题九 一元一次方程的实际应用（二） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：利润问题 3 考点二：利息问题 4 考点三：方案选择问题 6 考点四：分段计费问题 7 考点五：浓度问题初步 9 第三部分 易错避坑指南 11 易错点 1：利润率的基数搞错，用售价当分母 11 易错点 2：利息期数与利率单位不匹配 11 易错点 3：分段计费重复计算分界点 11 易错点 4：方案选择只算一种，遗漏最优方案 11 易错点 5：浓度问题混淆溶质与溶液，总质量遗漏加的量 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、基础夯实篇（8 题） 12 二、能力进阶篇（7 题） 12 三、思维跃迁篇（5 题） 13 第五部分 精准解析 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版七年级上册第三章一元一次方程的奥数培优内容，核心是 “一元一次方程的拓展应用题建模”，依托利润问题、利息问题、方案选择问题、分段计费问题、浓度问题初步五大高频应用题型，强化方程建模能力，拓展实际问题的解决范围，提升复杂场景下的等量关系分析与最优决策能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 利润问题 进价、售价、利润、利润率、打折的数量关系 公式套用法、设元表示法 利润率的基数是进价，误将售价当作分母；打折与折扣率混淆 利息问题 本金、利息、利率、期数、本息和的计算 单利公式法、本息拆分法 利率与期数单位不匹配；利息税遗漏（无特殊说明默认不计税） 方案选择问题 多方案费用计算与择优决策 分别列式法、临界点法 遗漏可行方案；未找到盈亏临界点直接下结论 分段计费问题 阶梯式收费的计算与反推 分段累计法、区间判定法 分界点重复计费；已知费用反推用量时区间判断错误 浓度问题初步 溶质、溶剂、溶液、浓度的基础关系 不变量法、质量守恒法 混淆溶质与溶液质量；稀释 / 加浓时忽略总质量变化 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 公式建模法 利润、利息、浓度基础题 确定已知量→对应公式→设未知数列方程 记牢公式，找准量，代入方程解数量 分段累计法 分段计费问题 划清区间→分段计算→累加求和 分段算，不重复，分界点要看清 方案对比法 方案选择问题 分别表示各方案费用→列方程找临界点→分情况决策 先算各方案，再找临界点，小于大于选哪边 抓不变量法 浓度稀释 / 加浓问题 找出不变量（溶质 / 溶剂）→根据不变量列方程 加水溶质不变，加盐溶剂不变，抓准不变量 最优决策法 多方案择优 计算各方案结果→比较大小→选择最优 比一比，算一算，省钱划算选出来 三、奥数思维提升 1. 建模思想：生活场景代数化 核心要点：将经济、生活中的实际问题，抽象为数学公式与方程模型，用代数方法解决实际问题。 示例：商品打折销售，转化为 “售价 = 标价 × 折扣率”“利润率 = 利润 ÷ 进价” 等公式模型，通过设未知数列方程求解。 2. 分类讨论思想：多方案全面分析 核心要点：方案选择类问题，需要对不同情况分别讨论，找到临界点，确定不同范围下的最优方案。 示例：两种手机套餐，通话时间不同时划算程度不同，需要先找到费用相等的临界时长，再分情况讨论。 3. 择优思想：最优决策意识 核心要点：在多种可行方案中，通过计算比较，选择最省钱、最省时的方案，培养决策与应用能力。 示例：团体购票与单独购票，通过计算总费用对比，选择花费最少的购票方式。 4. 不变量思想：动中找静破题 核心要点：很多变化的问题中存在不变的量，抓住不变量列方程是关键技巧，比如稀释问题中水增加、盐不变。 示例：盐水加水稀释，盐的质量始终不变，根据 “稀释前后溶质质量相等” 列方程。 5. 转化思想：陌生场景转熟悉模型 核心要点：将不熟悉的生活场景，转化为熟悉的方程模型。比如分段计费本质就是分段的和差倍分问题。 示例：阶梯电费问题，将用电量分成不同档位，每档对应不同单价，转化为多个 “单价 × 数量” 的和。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：利润问题 典型例题 1（基础型）—— 利润与利润率计算 题目：一件商品进价为 80 元，售价为 100 元，求这件商品的利润和利润率分别是多少。 解题步骤： ① 利润 = 售价 - 进价； ② 利润 = 元； ③ 利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%； ④ 利润率 = 。 【答案】利润元，利润率% 【知识点睛】利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价，利润率的基数是进价，不是售价。 典型例题 2（提高型）—— 打折销售问题 题目：一件商品进价为 200 元，标价为 300 元，打折销售后利润率为 5%，求这件商品打了几折。 解题步骤： ① 设打了折，售价 = 标价 × 折扣 = 元； ② 利润 = 进价 × 利润率 = 元； ③ 等量关系：售价 - 进价 = 利润； ④ 列方程：； ⑤ 解方程：，得。 【答案】打了折 【知识点睛】几折就是十分之几，售价 = 标价 × 折扣数 ÷10；利用利润率先算利润，再求售价反推折扣。 典型例题 3（奥数型）—— 盈亏问题 题目：某商店同时卖出两件衣服，每件售价都是 120 元。其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%。卖出这两件衣服，商店总体是赚了还是亏了？赚或亏了多少元？ 解题步骤： ① 分别求两件衣服的进价，设盈利的进价为元，亏损的进价为元； ② 盈利件：，解得元； ③ 亏损件：，解得元； ④ 总进价： 元； ⑤ 总售价： 元； ⑥ ，总体亏损： 元。 【答案】总体亏了，亏了元 【知识点睛】售价相同、盈利率和亏损率相同时，总体一定亏损；需分别计算进价，再对比总进价和总售价。 考点二：利息问题 典型例题 1（基础型）—— 单利计息计算 题目：小明将 1000 元压岁钱存入银行，年利率为 2.25%，定期 2 年。到期后可得利息多少元？本息和一共多少元？ 解题步骤： ① 利息公式：利息 = 本金 × 年利率 × 年数； ② 利息 = 元； ③ 本息和 = 本金 + 利息 = 元。 【答案】利息元，本息和元 【知识点睛】单利计息公式：利息 = 本金 × 利率 × 期数；本息和 = 本金 + 利息。 典型例题 2（提高型）—— 已知本息求利率 题目：爸爸将 5000 元存入银行，定期两年，到期后本息和为 5225 元，求这笔存款的年利率。 解题步骤： ① 设年利率为； ② 等量关系：本金 + 本金 × 利率 × 期数 = 本息和； ③ 列方程：； ④ 化简：，解得。 【答案】年利率为% 【知识点睛】已知本息和反推利率，根据本息和公式列方程求解即可。 典型例题 3（奥数型）—— 两种存款组合 题目：李叔叔用 20000 元买了两种理财产品，A 产品年利率 3%，B 产品年利率 2.5%，一年后共得利息 570 元。求两种产品各买了多少元。 解题步骤： ① 设买 A 产品元，则买 B 产品元； ② 等量关系：A 利息 + B 利息 = 总利息； ③ 列方程：2.5%=570； ④ 解方程：； ⑤ ，得； ⑥ B 产品： 元。 【答案】A 产品元，B 产品元 【知识点睛】两种存款 / 理财的组合问题，设一个为未知数，另一个用总和减，根据总利息列方程。 考点三：方案选择问题 典型例题 1（基础型）—— 购票方案选择 题目：某公园门票：成人票每张 20 元，学生票每张 10 元；40 人及以上可买团体票，每张 12 元。现有 18 名老师带 32 名学生去游玩，怎样购票最省钱？ 解题步骤： ① 方案一：分开购票，成人票 + 学生票； 费用： 元； ② 方案二：全部买团体票，总人数 50 人； 费用： 元； ③ 方案三：18 老师 + 22 学生凑 40 人买团体票，剩余 10 学生买学生票； 费用： 元； ④ 对比：，方案三最省钱。 【答案】40 人买团体票，10 名学生买学生票最省钱，共 580 元 【知识点睛】方案选择问题要将所有可行方案都计算出来，再比较大小选最优。 典型例题 2（提高型）—— 通讯套餐选择 题目：两种手机套餐：A 套餐月租 18 元，每分钟通话 0.1 元；B 套餐无月租，每分钟通话 0.25 元。每月通话多长时间时，两种套餐费用相等？ 解题步骤： ① 设每月通话分钟时，两种套餐费用相等； ② A 套餐费用：；B 套餐费用：； ③ 列方程：； ④ 解方程：，得。 【答案】通话分钟时费用相等 【知识点睛】先找到费用相等的临界点，再可进一步判断：大于临界点选 A，小于临界点选 B。 典型例题 3（奥数型）—— 最优采购方案 题目：学校要购买 60 个足球，现有甲、乙、丙三个商店可选，足球单价都是 25 元，优惠方式不同：甲店：买 10 个送 2 个，不足 10 个不送；乙店：每个足球打八折；丙店：购物每满 200 元返现金 30 元。 去哪个商店购买最省钱？ 解题步骤： ① 甲店：买 50 个送 10 个，刚好 60 个，费用元； ② 乙店：八折，费用元； ③ 丙店：总价元，满 200 返 30，余 100； 返现元，实际花费元； ④ 对比：，乙店最省钱。 【答案】去乙商店购买最省钱 【知识点睛】多优惠方案问题，分别按规则准确计算实际花费，再比较择优。 考点四：分段计费问题 典型例题 1（基础型）—— 出租车计费 题目：某市出租车收费标准：起步价 8 元（3 千米以内），超过 3 千米的部分，每千米 1.5 元。小明乘坐出租车行驶了 8 千米，应付车费多少元？ 解题步骤： ① 行驶 8 千米，分成两段：3 千米以内和超出的 5 千米； ② 超出部分： 千米； ③ 超出费用： 元； ④ 总车费： 元。 【答案】应付车费元 【知识点睛】分段计费先划清区间，各段分别计算，最后累加求和。 典型例题 2（提高型）—— 阶梯电费计算 题目：某地居民用电实行阶梯电价：第一档：每月用电不超过 100 度，每度 0.5 元；第二档：超过 100 度不超过 200 度的部分，每度 0.6 元；第三档：超过 200 度的部分，每度 0.8 元。 若小明家 12 月份用电 260 度，应交电费多少元？ 解题步骤： ① 分三段计算：100 度以内、100~200 度、200 度以上； ② 第一档： 元； ③ 第二档： 元； ④ 第三档： 元； ⑤ 总电费： 元。 【答案】应交电费元 【知识点睛】多档阶梯计费，每一档只计算对应区间的用量，不重复计算。 典型例题 3（奥数型）—— 已知费用反推用量 题目：某市出租车收费标准：3 千米内 8 元，超过 3 千米每千米 1.6 元（不足 1 千米按 1 千米算）。李叔叔打车付了 24 元，他最多乘坐了多少千米？ 解题步骤： ① 先判断超过起步价，设最多乘坐了千米；② 等量关系：起步价 + 超出部分费用 = 总车费； ③ 列方程：； ④ 解方程：，，得。 【答案】最多乘坐了千米 【知识点睛】已知总费用反推用量，先判断所在区间，再按分段公式列方程求解。 考点五：浓度问题初步 典型例题 1（基础型）—— 求浓度 题目：一杯盐水重 200 克，其中含盐 20 克，求这杯盐水的浓度。 解题步骤： ① 浓度公式：浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液质量 × 100%；② 溶质是盐，质量 20 克；溶液是盐水，质量 200 克； ③ 浓度 = %。 【答案】浓度为% 【知识点睛】溶液 = 溶质 + 溶剂，浓度是溶质占溶液的百分比。 典型例题 2（提高型）—— 加水稀释问题 题目：现有浓度为 15% 的盐水 200 克，要稀释成浓度为 10% 的盐水，需要加水多少克？ 解题步骤： ① 加水稀释，盐的质量不变； ② 先算盐的质量：%=30 克； ③ 设加水克，稀释后溶液总质量为克； ④ 等量关系：稀释后盐的质量 = 稀释后溶液 × 稀释后浓度； ⑤ 列方程：； ⑥ 解方程：，得。 【答案】需要加水克 【知识点睛】稀释问题核心：溶质质量不变，抓住不变量列方程。 典型例题 3（奥数型）—— 加盐加浓问题 题目：现有浓度为 10% 的糖水 300 克，要变成浓度为 25% 的糖水，需要加糖多少克？ 解题步骤： ① 加糖时，水的质量不变； ② 先算水的质量：%）=270 克； ③ 设加糖克，加糖后溶液总质量克，水占； ④ 等量关系：水的质量不变； ⑤ 列方程：； ⑥ 解方程：，得。 【答案】需要加糖克 【知识点睛】加浓问题，若加溶质，则溶剂质量不变，抓住溶剂不变列方程更简便。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：利润率的基数搞错，用售价当分母 错误示例：进价 80 售价 100，利润率算成，正确应为。 正确分析：利润率是利润占进价的百分比，基数是成本（进价），不是售价。 修正方法：牢记 “利润率 = 利润 ÷ 进价”，提到利润率就找进价做分母。 易错点 2：利息期数与利率单位不匹配 错误示例：年利率 3%，存 6 个月，利息算成 “本金 ×3%×6”，时间没成年。 正确分析：年利率对应年数，月利率对应月数，计算时单位必须统一。 修正方法：计算前先看利率是年利率还是月利率，对应期数换算成一致的单位。 易错点 3：分段计费重复计算分界点 错误示例：阶梯电费 100 度以内 0.5 元，超过部分 0.6 元，用 200 度算成，全部按高价算。 正确分析：每一档只对应该区间的用量，超过部分才按高单价，不是全部都按高价算。 修正方法：画线分段，标注每段的用量和单价，分别计算再相加，避免重复。 易错点 4：方案选择只算一种，遗漏最优方案 错误示例：购票问题只算了分开买和全团体票，漏掉 “凑团体 + 剩余买低价票” 的组合方案。 正确分析：方案选择要考虑所有可行的组合方案，尤其是混合方案往往更省钱。 修正方法：先枚举所有可能的方案，逐一计算后再比较，不要急于下结论。 易错点 5：浓度问题混淆溶质与溶液，总质量遗漏加的量 错误示例：200 克盐水加 10 克盐，溶液质量还算 200 克，忘记加 10 克。 正确分析：加溶质或加溶剂后，溶液总质量会相应增加，不能还用原来的质量。 修正方法：列方程前先想清楚谁不变，变化的量要同步更新总质量。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 一件商品进价 50 元，售价 70 元，这件商品的利润率是多少？ 2. 妈妈将 5000 元存入银行，年利率 2%，存 3 年，到期后利息是多少元？ 3. 出租车起步价 7 元（2 千米内），超出部分每千米 1.4 元，行驶 7 千米应付多少元？ 4. 50 克糖融入 200 克水中，糖水的浓度是多少？ 5. 一件商品标价 200 元，打八五折出售，售价是多少元？ 6. 小明买了两本书共花 80 元，科技书价格是故事书的 3 倍，科技书多少元？ 7. 浓度 8% 的盐水 100 克，含盐多少克？ 8. 固定电话月租 20 元，每分钟通话 0.1 元，某月通话 100 分钟，总费用多少元？ 二、能力进阶篇（7 题） 9. 一件商品进价 150 元，按标价打八折出售仍获利 30 元，求标价是多少元。 10.小王将一笔钱存入银行，年利率 2.5%，一年后本息和共 4100 元，求本金是多少元。 11.某地水费：每月 10 吨以内每吨 2 元，超过 10 吨部分每吨 3 元。小明家上月交水费 35 元，用了多少吨水？ 12.现有浓度 20% 的盐水 150 克，加水稀释成浓度 15% 的盐水，需加水多少克？ 13.某班 50 名同学去划船，大船限坐 6 人，租金 30 元；小船限坐 4 人，租金 24 元。怎样租船最省钱？ 14.一件衣服先涨价 20%，再降价 20%，现价是原价的百分之几？ 15.两种宽带套餐：甲套餐月租 50 元，不限时；乙套餐月租 20 元，每小时上网费 2 元。每月上网多少小时两种套餐费用相同？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16.某商店同时卖出两台台灯，售价都是 120 元。其中一台赚了 25%，另一台亏了 25%。商店总体是赚还是亏？赚 / 亏多少元？ 17.某商场促销：满 200 减 50，满 400 减 120，满 600 减 200。买一件标价 750 元的衣服，相当于打几折？ 18.有浓度为 10% 的盐水 200 克，要配制成浓度为 20% 的盐水，需要蒸发掉多少克水？ 19.某校组织师生春游，若单独租用 45 座客车若干辆刚好坐满；若单独租用 60 座客车可少租 1 辆，且余 30 个座位。求参加春游的总人数。 20.某蔬菜公司收购蔬菜 140 吨，直接销售每吨获利 100 元，粗加工后销售每吨获利 450 元，精加工后每吨获利 750 元。公司每天粗加工 16 吨或精加工 6 吨，两种方式不能同时进行，15 天内全部销售完毕。设计方案使获利最多，并求最大利润。 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】% 解题步骤： ① 利润元； ② 利润率。 【知识点睛】利润率 = 利润 ÷ 进价 ×100%。 2. 【答案】元 解题步骤： ① 利息元。 【知识点睛】单利利息公式：本金 × 利率 × 期数。 3. 【答案】元 解题步骤： ① 超出千米，超出费用元； ② 总车费元。 【知识点睛】分段计费，起步价 + 超出部分费用。 4. 【答案】% 解题步骤： ① 溶液总质量克； ② 浓度。 【知识点睛】溶液 = 溶质 + 溶剂，浓度 = 溶质 ÷ 溶液。 5. 【答案】元 解题步骤： ① 售价元。 【知识点睛】打折售价 = 标价 × 折扣率。 6. 【答案】元 解题步骤： ① 设故事书元，科技书元； ② ，得，科技书元。 【知识点睛】和倍问题基础应用。 7. 【答案】克 解题步骤： 含盐量克。 【知识点睛】溶质 = 溶液 × 浓度。 8. 【答案】元 解题步骤： ① 总费用元。 【知识点睛】月租 + 通话费 = 总费用。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】元 解题步骤： ① 设标价元，售价元； ② ，解得。 【知识点睛】打折销售问题，售价 - 进价 = 利润。 10.【答案】元 解题步骤： ① 设本金元； ② ，解得。 【知识点睛】本息和 = 本金 + 利息，反推本金。 11.【答案】吨 解题步骤： ① 10 吨水费元，，说明超过 10 吨； ② 设用了吨，，解得。 【知识点睛】分段计费反推用量，先判断区间再列方程。 12.【答案】克 解题步骤： ① 盐的质量：克； ② 设加水克，，解得。 【知识点睛】稀释问题，溶质不变。 13.【答案】租条大船和条小船最省钱 解题步骤： ① 大船人均 5 元，小船人均 6 元，优先租大船； ② 50 人租 7 条大船坐 42 人，剩 8 人租 2 条小船； ③ 总费用元，无空位最划算。 【知识点睛】租船问题优先选人均便宜的，尽量不留空位。 14.【答案】 解题步骤： ① 设原价为 1，涨价后元； ② 降价后，即是原价的百分之96。 【知识点睛】涨跌幅度相同时，现价低于原价，因为基数不同。 15.【答案】小时 解题步骤： ① 设上网小时费用相等； ② ，解得。 【知识点睛】方案临界点计算，费用相等时的用量。 三、思维跃迁篇解析 16.【答案】总体亏了，亏了元 解题步骤： ① 赚的一台进价：=96元； ② 亏的一台进价：%)=160元； ③ 总进价元，总售价元； ④ 亏了元。 【知识点睛】售价相同，盈利率和亏损率相同时，总体亏损。 17.【答案】约折 解题步骤： ① 750 元符合满 600 减 200，实际花费元； ② 折扣，即七三折。 【知识点睛】满减优惠，先算实际支付再算折扣。 18.【答案】克 解题步骤： ① 盐的质量：克； ② 设蒸发克水，； ③ 解得，。 【知识点睛】蒸发浓缩，溶质不变，溶液减少。 19.【答案】人 解题步骤： ① 设租 45 座客车辆； ② ，解得； ③ 总人数人。 【知识点睛】方案类等量关系，总人数不变。 20.【答案】10 天精加工，5 天粗加工，最大利润元 解题步骤： ① 精加工获利更高，应尽量多精加工； ② 设精加工天，粗加工天； ③ ，解得； ④ 利润：元。 【知识点睛】方案优化，优先安排高获利方式，受时间约束列方程求解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $