第3章 实数 单元复习讲义2026—2027 学年浙教版数学七年级上册

该初中数学《实数》单元复习讲义通过思维导图系统梳理知识体系，涵盖平方根、立方根、实数的概念性质及运算，用知识框架图呈现概念间内在联系，如平方根与立方根的对比、实数与数轴的对应，突出无理数识别、运算顺序等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固概念（如求25的平方根），中等题强化应用（如算术平方根非负性），优质题拓展思维（如“组合平方数”新定义），培养运算能力与推理意识。配套月考至期末覆盖题，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

第3章 实数 思维导图 3.1 平方根 平方根的概念 如果一个数的平方等于(a)，即，那么这个数(x)叫做(a)的平方根，也叫做(a)的二次方根。 举个例子：，，所以(5)和(-5)都是(25)的平方根。 平方根的性质 1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；比如(36)的平方根是(6)和(-6)，二者相加和为0，符合相反数定义。 2. 0的平方根只有一个，就是(0)本身，因为，不存在其他数的平方等于0。 3. 负数没有平方根，因为任何实数的平方都是非负数，不可能得到一个负数的平方等于正数以外的数，因此负数不存在平方根。 算术平方根 正数(a)的正的平方根叫做(a)的算术平方根，记作，读作“根号(a)”；(a)的负的平方根记作，因此正数(a)的平方根可以表示为。规定：(0)的算术平方根是(0)，即。 注意：被开方数(a)一定是非负数，即，当(a < 0)时没有意义。 开平方 求一个数(a)的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算：平方是已知底数求幂，开平方是已知幂求底数，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以检验一个数是不是某个数的平方根。 3.2 从有理数到实数 无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类： 1. 开方开不尽的数，比如、、等；注意并不是带根号的都是无理数，比如是有理数。 2. 含有的数，比如、、等； 3. 构造性的无限不循环小数，比如（两个1之间依次多一个0），这种小数有无限多位，且不存在循环节，因此是无理数。 实数的概念 有理数和无理数统称为实数，也就是说，实数可以分为有理数和无理数两类。 实数的分类可以整理为： 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数），都是有限小数或无限循环小数如：3、-2、0、、、 无理数：正无理数、负无理数，都是无限不循环小数如：、、 也可以按照正负性分为正实数、0、负实数，其中正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数。 实数与数轴的关系 实数和数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 例如：我们可以在数轴上画出表示的点：以数轴上单位长度1的线段为边作正方形，以原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就表示，说明无理数也可以在数轴上表示出来。 实数的性质 有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的概念，在实数范围内仍然完全适用： 1. 相反数：实数(a)的相反数是(-a)，如果两个实数互为相反数，那么它们在数轴上对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，0的相反数是0； 2. 绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即： 任意实数的绝对值都是非负数，即。 3. 倒数：如果两个实数的乘积是1，那么这两个数互为倒数，即若，则(a)的倒数是，0没有倒数。 实数的大小比较 有理数大小比较的法则同样适用于实数： 1. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数； 2. 两个正实数比较大小，绝对值大的数大；两个负实数比较大小，绝对值大的数反而小； 3. 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 比较无理数大小常用的方法：平方法，对于两个正数(a)、(b)，如果，那么(a > b)，例如比较和(2)，，，(5>4)，所以。 3.3 立方根 立方根的概念 如果一个数的立方等于(a)，即，那么这个数(x)叫做(a)的立方根，也叫做(a)的三次方根，记作，读作“三次根号(a)”，其中(a)是被开方数，3叫做根指数，根指数3不能省略（平方根的根指数2可以省略）。 举个例子：，所以(4)是(64)的立方根，即；，所以(-3)是(-27)的立方根，即。 立方根的性质 1. 正数的立方根是正数：正数的立方是正数，因此只有一个正的立方根； 2. 负数的立方根是负数：负数的立方是负数，因此只有一个负的立方根； 3. 0的立方根是0：，因此。 总结来说：任何实数都有且只有一个立方根，这一点和平方根不同，平方根要求被开方数非负，负数没有平方根，而立方根对任何实数都存在。 开立方 求一个数(a)的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算，我们可以通过立方运算求一个数的立方根，也可以检验一个数是不是某个数的立方根。 重要性质：，也就是说，求负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，再取它的相反数，简化计算。 3.4 实数的运算 实数的运算法则 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立： 1. 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行；有括号的先算括号里面的； 2. 运算律： · 加法交换律： · 加法结合律： · 乘法交换律： · 乘法结合律： · 分配律： 运算结果要求 在进行实数运算时，涉及无理数的近似计算，可以根据题目要求取近似值，转化为有理数进行计算。计算过程中，一般要比要求的精确度多保留一位，最后结果再按照要求取近似值，减少误差累计。 例如：计算（结果精确到0.01），先取近似值，，相加得。 【类型一】求一个数的平方根 1．25的平方根是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】平方根的定义，若，则是的平方根． 【详解】解：， 的平方根是． 2．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的结果，再根据平方根的定义求出结果的平方根即可，需注意区分原式结果和原式结果的平方根两个概念． 【详解】解：， ， ， 又， 的平方根是， 即的平方根是． 3．若a，b是2026的两个平方根（），则______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，代数式求值，熟练掌握平方根的性质是解题关键. 先根据平方根的性质可得，，从而可得，再代入计算即可. 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ， ， ． 【类型二】求一个数的算术平方根 1．4的算术平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】明确算术平方根是非负数，只需根据定义计算即可得到结果． 【详解】解： 若一个非负数 的平方等于 ，即 ，则 叫做 的算术平方根，算术平方根一定为非负数， 又 ， 的算术平方根是 ． 2．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式正确，符合题意． 3．的算术平方根是_________． 【答案】 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是． 【类型三】无理数的定义 1．下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简含根号的数，再结合无理数的定义判断各选项； 【详解】解：是整数，是分数，均为有理数；，是整数，属于有理数；开方开不尽，是无理数； 2．在，，，，（相邻两个之间逐次增加一个）中，无理数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】无理数的定义：无限不循环小数是无理数，逐一判断给出的数即可得到结果． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； （相邻两个1之间逐次增加一个5）是无限不循环小数，属于无理数。 因此无理数的个数有个． 3．已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】无限不循环小数即为无理数，据此即可作答． 【详解】解：∵m是无理数，且， ∴一个符合条件的m为（答案不唯一）． 【类型四】实数的绝对值、相反数 1．的相反数是（     ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据定义直接求解即可； 【详解】解：的相反数是． 2．在0，，，四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算四个数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得出结果． 【详解】解：∵ ，，，， 比较大小得 ， ∴ 绝对值最小的数是0， 故选：A． 3．的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． 【类型五】求一个数的立方根 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义找到立方等于64的数，即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴ 64的立方根是4. 2．下列说法正确的是（     ） A．的立方根是 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】B 【分析】根据平方根与立方根的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A∵， ∴的立方根是，不是，A错误； 选项B∵， ∴的平方根为，即是的一个平方根，B正确； 选项C∵， ∴的平方根是，不是只有，C错误； 选项D∵， ∴的平方根是的平方根，为，不是，D错误． 3．的算术平方根是____________，的立方根是____________，的平方根是____________． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是，的平方根是． 【类型六】实数在数轴上的表示 1．如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上表示的点可能是点． 2．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【答案】/ 【分析】先求出与的值，再求出点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， 又∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 3．在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】详见解析， 【分析】先计算算术平方根，估算无理数的大小，再在数轴上标出表示下列各数的点，根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：，，，则 如图所示： 上述各数大小关系为： 【类型七】实数比较大小 1．在，，，这四个数中，比大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，只需分别判断四个数与的大小关系，即可得到正确答案． 【详解】解：， 排除A选项和B选项； ， 排除D选项； 比较和， ，，， ．因此比大的数是． 2．比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】比较两个非负数的大小，可对两个数分别平方，通过比较平方结果的大小判断原数大小，平方结果更大的原数更大． 【详解】解：对两个数分别平方，可得，， ∵， ∴． 3．比较下列各组数中两个数的大小： (1)和3． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握平方法比较正数大小和负数比较大小的规则是解题的关键． （1） 两个正数比较大小，可通过平方法，平方值大的原数更大．分别计算两数的平方，比较平方结果即可； （2） 两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，用平方法比较绝对值的大小，再根据负数比较规则判断原数大小． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：，，， ， ． 【类型八】实数的分类 1．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 2．在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【答案】⑥⑨；①④；②③⑦⑧⑩ 【分析】逐个分析每个数：如果一个数是像0、绝对值化简后为整数的数，那么它属于整数；如果一个数是小于0的分数（包括可化为分数的有限小数），那么它属于负分数；如果一个数是大于0且无限不循环的小数，那么它属于正无理数． 【详解】解：整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 3．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【类型九】实数的运算 1．计算： 【答案】 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【类型十】平方根与立方根解方程 1．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或 ； （2）解：， ， ． 2．求下列各式中的． (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程．熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． （1）利用平方根，解方程； （2）利用立方根，解方程． 【详解】（1）解：， ∴， ∴． （2）解：， ∴， ∴． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将方程变形，求出的值，再根据平方根的定义求出的值，进而得到x的值； （2）先将方程变形，求出的值，再根据立方根的定义求出x的值． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴． 【类型一】算术平方根的非负性 1．若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】 ，，且， ，， 解得： ，， ． 2．若，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0；根据算术平方根，绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】， ，， 解得：，， ． 3．已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 【类型二】估算无理数 1．估计在哪两个整数之间（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】用夹逼法估计无理数的大小，找到紧邻23的两个完全平方数，利用算术平方根的性质即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴，即 ， 因此在4到5之间． 2．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用夹逼法求得与的大小范围即可解答． 【详解】解：， ，即， ，即， ， ，即， ，即， ． 3．已知为整数，且，则______________． 【答案】5 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式求出整数的值． 【详解】解：， ， 即， 为整数，且， ． 【类型三】实数中的程序问题 1．有一个数值转换器，程序如下： 当输入x的值为81时，输出y的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是算术平方根的计算，掌握一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根是解题的关键．根据算术平方根的概念进行计算即可． 【详解】解：，， 输出的等于， 故选：A． 2．如图所示的运算程序中，输入的值是16时，输出的值是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【详解】解：输入的值是16时，，是有理数，4的立方根为，是无理数， ∴输出的值是． 3．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了流程图，算术平方根的计算，根据题意得到，得到，结合算术平方根的计算法则计算即可求解． 【详解】解：输入x的值是1时，， ∴， 故答案为： ． 【类型四】(算术)平方根的实际应用 1．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左右两个图形的面积相等，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：左图两个正方形的面积之和为， 所以右图的正方形的面积为，边长为． 2．有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用，先计算正方形的面积，再根据圆的面积与正方形面积相等建立方程，求解圆的半径即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为， 设圆的半径为，则圆的面积为， 根据题意，， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 3．小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) 长为，宽为. (2) 解：不能裁出想要的正方形纸片，理由如下： ∵原长方形纸片的宽为， ∴用这张纸片裁出一个正方形纸片，则面积的最大值为， ∵， ∴小明不能够裁出想要的正方形纸片． 【分析】（1）根据长宽比设未知数，列方程求解得到长和宽； （2）通过比较面积大小判断能否裁出． 【详解】（1）解：设长方形纸片的长为，宽为，其中 由题意得： 整理得，即 因为长度为正，所以舍去负值，得 因此长为，宽为； （2）略 【类型五】立方根的实际应用 1．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 2．有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________． 【答案】2 【分析】先根据正方体的体积求出原棱长和扩容后的棱长，再计算棱长的差值即可得到结果． 【详解】解：设原正方体集装箱的棱长为． 原正方体体积为． ． 设扩容后正方体的棱长为，扩容后体积为． ． 棱长增加量为． 3．排水法测体积的核心原理是：物体浸没在液体中时，物体排开液体的体积等于物体自身的体积．小华利用这一原理进行实验：用细线将一正方体铁块系住，完全浸入盛满水的圆柱形杯中，测得从杯中溢出的水的体积为；将铁块从杯中取出后，测得杯内水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1)正方体棱长 (2)直径为 【分析】（1）设正方体棱长为，由体积公式列方程求解即可； （2）设直径为，由圆柱体积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得或（负值不符合实际，舍去）， 答：杯内部的底面直径为． 【类型六】实数的实际应用 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 3．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 【类型一】实数中的新定义运算 1．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查实数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．根据给出的运算方法把式子转化为实数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 2．对于正有理数，运算“*”定义为，则=________． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算等知识点，理清题意、理解所给运算法则是解题关键． 先根据新定义运算法则列式，然后再跟进有理数混合运算法则计算即可． 【详解】根据题意， , 由此 ． 故答案为： 3．设、为有理数，定义一种新的运算．． 例如：． (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1)15 (2)或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，熟练掌握新定义，有理数混合运算，平方根，是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义进行运算即可； （2）根据题目所给的新定义建立方程，求平方根即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵， 且， ∴， 解得或． 【类型二】秦九韶—海伦公式 1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，，记，那么三角形的面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据公式计算出三角形面积，再估算面积的范围即可得到n的值． 【详解】解：根据题意，三角形三边长为，，， 则， ∴， ∵， ∴， ∵面积介于整数和之间， ∴． 2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为5，6，7，其面积介于整数和之间，那么的值是______． 【答案】15 【分析】本题考查了算术平方根的定义，无理数的估算，先计算三角形的面积为，再估算出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵介于整数和之间， ∴， 故答案为：． 3．设三角形的三边分别为，，，则有下列三角形面积公式成立： ①，其中（海伦公式） ②（秦九韶公式）． 已知一个三角形的三边，，分别为，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 【答案】． 【分析】把，，分别代入公式②，计算算术平方根即可． 【详解】解：将，，代入公式②，得， = ． 【类型三】算术平方根的规律 1．【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． 2．先填写表格，通过观察后再回答问题． 0 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，，则________； ②已知，，用含的式子表示． 【答案】(1)0.1；10 (2)10；①26.5；② 【分析】（1）通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当被开方数的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，①根据从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案；②根据题意可得，进一步得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得，，． （2）解：根据表格可得规律：当被开方数每扩大100倍时，相应地扩大倍． ①， ； ②， ， ． 3．阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，解决本题的关键是读懂题意找到规律并建立等式求解． （1）根据运算求解即可． （2）由的值和的值为相邻的两个整数，设，两边同时平方整理化简即可． （3）根据相差3可建立等式，再两边同时平方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，则， 可得，解得 （2）解：结论： 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴． （3）解：依题意，得， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴． 【类型四】立方根的规律 1．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 2．观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）（3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 3．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【类型五】实数的规律 1．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 2．观察下列一组算式的特征及运算结果，探究规律： 第1个算式：； 第2个算式：； 第3个算式：； 第4个算式：； …… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值：__________； (2)用含（的正整数）的代数式表示出第个等式：__________； (3)根据上述规律计算： ． 【答案】(1)100 (2) (3) 【分析】（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由规律可得， （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 3．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：__________； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出的值：__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【类型六】整数、小数部分 1．阅读理解：，， 的整数部分为，小数部分为． ， 的整数部分为，的小数部分为． 解决问题：已知是的小数部分，是的整数部分． 求： (1)，的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先估算的取值范围，再推出的整数部分与小数部分，小数部分的拆分方法：无理数整数部分+小数部分（小数部分）． （2）把、代入代数式求值，最后求该结果的平方根． 【详解】（1）解：， ， 两边同时减4： ，即， 根据整数部分定义：的整数部分． ∴； （2）解： ， 一个正数有两个互为相反数的平方根， ， 的平方根为． 2．先阅读下面的文字，然后解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 如果，其中x是整数，且，那么，． 请解答下列问题： (1)如果，其中a是整数，且，那么______，______； (2)已知，其中m是整数，且，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【分析】（1）估算出 ，依此即可确定出，的值，进而得出答案； （2）根据题意确定出与的值，代入求出即可． 【详解】（1）解： ，其中是整数，且， 又 ∴， ，． （2）∵，其中是整数，且， ，， ． 3．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 【类型七】实数的新定义应用 1．认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【答案】(1)； (2)；任意实数 (3)或 【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据，，，并结合题意即可得解； （2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可； （3）根据四次方根的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴81的四次方根为， ∵， ∴的五次方根为， 故答案为：；； （2）解：若有意义，则， 故的取值范围是； 若有意义，则的取值范围是任意实数， 故答案为：；任意实数； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 2．【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1) (2) (3)24或 【分析】本题考查了立方根及算术平方根， （1）根据题意求出即可； （2）分情况讨论即可； （3）分情况讨论求出的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴数对的开方对称数对为； （2）解：数对的一个开方对称数对是， ①， 此时无意义，故舍去； ②， 解得； 综上，； （3）解：数对的一个开方对称数对是， ①， 解得， ∴； ②， 解得； ∴； 综上，的值为24或． 3．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1) ，，这三个数是“组合平方数”，理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 【详解】（1）略 （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 【类型八】华罗庚猜数 1．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①，，又， ，能确定的立方根是个两位数． ②的个位数是，又，能确定的立方根的个位数是． ③若划去后面的三位得到数，而，则，可得，由此确定的立方根的十位数是，因此的立方根是． (1)现在换一个数，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是___________位数； ②它的立方根的个位数字是___________； ③的立方根是___________． (2)求的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)① ② ③ (2) 【分析】（1）仿照题干中提供的解题思路解答即可； （2）根据题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）①解：，， 又， ， 的立方根是位数； ②解：， 的立方根的个位数是； ③解：划去的后三位数，得到， ， ， 的立方根的十位数是， ； （2）解：， ， ， 的立方根是一个位数， ， 的立方根的个位数是， 划去的后三位数，得到， ， ， 的立方根的十位数是， . 2．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②7；③27 (2)48 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 能确定19683的立方根是个两位数． ②∵19683的个位数是3， 又， 能确定19683的立方根的个位数是7， ③如果划去19683后面的三位683得到数19， 而，则，可得， 由此能确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ∵110592的个位数是2， 又∵， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则， 可得， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 3．综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【答案】(1)，，两，1 (2)的立方根是62 【分析】（1）先根据立方根和平方根的定义求解64的平方根和立方根，再根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字． （2）按照题目提供的步骤，先确定238328的立方根是几位数，再根据238328的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数． 【详解】（1）解：∵ ∴64的平方根是，立方根是； ∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数字是1， （2）解：∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划去后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62， 验证：． 【类型九】拓展—复数、对数 1．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：______，______，______． （2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程． （3）在复数范围内解方程：． 【答案】（1）-i，1，0；（2）；（3），． 【分析】(1)根据题意，则，，然后计算即可； (2)利用，得到，，，即可求解 (3)利用配方法求解即可． 【详解】(1)， ， ∵， ∴， 同理：， 每四个为一组，和为0， 共有组， ∴， (2)∵， ∴，， ∴，，， ∴以，的值为解的一元二次方程可以为：． (3)， ， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 2．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：． (1)填空：______；______． (2)填空：①______；②______． (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下题：已知（x，y为实数），求x、y的值． 【答案】(1)，1 (2)①10；② (3) 【分析】（1）根据，进行求解即可； （2）①利用平方差公式进行求解即可；②利用完全平方公式进行求解即可； （3）根据题意可得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：①； 故答案为：10； ②， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． 3．对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，及其乘方的逆用，求一个数的算术平方根，解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则． （1）根据对数运算法则即可求解． （2）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由得，， ， ． （2）解： ． 【类型十】探索近似值 1．小茗同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为145的正方形的边长是且 ∴设，其中． 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 依题意，得 ∴ ∵ ∴ 此时可忽略，得 解得 ∴即的近似值是12.04 (1)的整数部分为______． (2)仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到0.01） 【答案】(1)16 (2)16.44 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目中的方法，按照方法进行估算； （1）根据270附近的平方数确定的整数部分即可； （2）按照题目给出的方法求出的近似值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为16， 故答案为：16． （2）解：示意图如图所示： ∵面积为270的正方形边长为， 且， ∴设，其中 根据示意图，可得图中正方形面积为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得： 即． 2．小李同学探索的近似值的过程： ∵面积为130的正方形的边长是，且 ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 ， 又∵， ∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴． (1)请写出的整数部分为______； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)13； (2) 解：示意图如图所示： ∵面积为170的正方形边长为， 且， ∴设，其中 根据示意图，可得图中正方形面积为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得： 即． 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目中的方法，按照方法进行估算； （1）根据170附近的平方数确定的整数部分即可； （2）按照题目给出的方法求出的近似值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为13， 故答案为：13． （2）略 3．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为137的正方形的边长是且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 又∵ ∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)的整数部分为______________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)12 (2) 示意图如图所示： 面积为的正方形边长为， 且， 设，其中 根据示意图，可得图中正方形面积为 ， ， 当时，可忽略， 得：，解得：， 即． 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出，即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，即可解答． 【详解】（1）解： ， 的整数部分为， 故答案为：12； （2）略 1．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若有平方根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的基本性质，只有非负数才有平方根，列不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 只有非负数才有平方根，且有平方根 ， ∴ ， 解得：． 2．（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）计算：（     ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）下列各数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算每个选项的结果，再根据负数的定义（小于0的数是负数）判断即可． 【详解】解：选项A．，是正数，不符合要求； 选项B．，是正数，不符合要求； 选项C．，是负数，符合要求； 选项D．，是正数，不符合要求． 4．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：当时，是有理数， 当时，是无理数， 故输出的y值为，选项C符合题意． 5．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）在与之间的整数是__________． 【答案】7 【详解】解：∵，且， ， 因此与之间的整数是． 6．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，则正方形的边长是________；若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为   ____________ ．    【答案】 / 【分析】利用正方形面积公式求出边长，再根据数轴的特点（右侧的数比左侧的数大）即可求出点所表示的数． 【详解】解：设正方形的边长为，则根据题意可得：； 解得：； ∵，点在数轴上表示的数为1，且点在点的右侧， ∴ 则点所表示的数为． 7．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定636056的立方根为______． 【答案】86 【分析】按照题干给出的方法分步确定立方根即可． 【详解】解：，，， 的立方根是一个两位数； 的个位数字是，且只有个位数字为的数的立方，个位数字是， 的立方根的个位数字是； 划去后面的三位数，得到数， ，，， 的立方根的十位数字是； ∴的立方根为． 8．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 9．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径（单位：厘米），t代表自冰川消失时起经过的时间（单位：年）．如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】冰川约是在37年前消失的 【分析】先根据以及苔藓的直径是35厘米，建立，再解得，即可作答． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴， 即， 答：冰川约是在37年前消失的． 10．（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ． 1．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）9的平方根是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴9的平方根是 2．（25-26七年级下·广东东莞·期中）在，，，，，这6个数中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，先化简题目中可化简的数，再逐一判断即可得到无理数的个数． 【详解】解：是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；，是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数； 和都是无限不循环小数，属于无理数， 因此，无理数共有个． 3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点所表示的实数是，根据关于点的对称点到点的距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设点所表示的实数是， ∵数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称， ∴， 解得：． 4．（25-26七年级下·重庆开州·期中）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据根整数的定义，结合无理数的估算逐一判断三个说法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴根据定义得， ∴平方得， ∵是整数， ∴的取值为，共个，故②正确； 由题意，只需进行次运算得，即第二次运算结果满足对运算一次得，且第一次不能直接得到， ∵， ∴，即， 若，则，只需次运算，不符合要求，因此可取； 最小满足，得，最小正整数； 最大满足，得，最大正整数； ∴最大值与最小值的和为，故③正确； 综上，三个说法都正确． 5．（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________． 【答案】 【分析】本题依次根据立方根的定义，绝对值的性质.有理数乘方的意义，算术平方根的定义，平方根的定义逐步计算，即可得到结果． 【详解】解：； ∵，， ∴的算术平方根为6； ∵，的平方根为； ∴的平方根为． 6．（25-26七年级下·北京海淀·期中）比大小：___________3（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】比较两个正实数的大小，可采用平方法，将两数分别平方后，比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大，据此即可求解. 【详解】解：，，且，， 又， . 7．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 【答案】 【分析】根据表格数据确定的取值范围，得到其整数部分的值，计算后，根据立方根的定义求解结果． 【详解】解：由表格可得，，， 的整数部分为 的立方根为，即的立方根为． 8．（25-26七年级下·北京·期中）求下列等式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）方程两边同时除以3，再开平方，即可作答． （2）先移项合并同类项，再开立方，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得，； （2）解：∵， ∴， 解得． 9．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 10．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 【答案】(1)；；不存在； (2)；；或． 【分析】（）根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； （）利用无理数的估算方法即可较大小； 根据四次方根和立方根定义即可求解； 根据四次方根即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； ∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； 不存在， 故答案为：不存在； （2）解：由， ∴，即， 由， ∴，即， ∴， 故答案为：； ； ， ∴或． 1．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）以下实数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数比较大小的基本规则判断． 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得， 故最小的数是． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，根据定义计算各选项即可判断正误； 【详解】解：表示9的算术平方根，结果为非负数，， A错误.； 表示9的平方根，，B错误； ，，，C正确； ，D错误； 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）将图1中的5个边长为1的小正方形剪拼成图2中的大正方形，将正方形的顶点与数轴的原点重合，以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据剪拼前后图形面积不变，求出大正方形的面积及边长，由图可知为小正方形边长，利用圆的半径相等得出、的长，进而求出的长． 【详解】解：大正方形是由个边长为的小正方形剪拼而成， 大正方形的面积为， 大正方形的边长， 由图可知，为小正方形的边长， ， 以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，， ． 4．（25-26七年级下·重庆南川·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题根据给定的变换规则，对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为，对三个说法逐一分类讨论验证，统计正确说法的个数即可得到结果． 【详解】解：变换规则为：对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为， 判定说法①： 是有理数，一次变换得；是无理数， 二次变换得；是有理数， 三次变换得，因此说法①正确． 判定说法②： 对二次变换得， 设一次变换结果为，即对变换得． 若为有理数，则，解得； 再对分类：若为有理数，得； 若为无理数，得（负根舍去）． 若为无理数，则，解得（负根舍去），是有理数，矛盾舍去． 满足条件的和为，因此说法②正确． 判定说法③： 三次变换得， 设二次变换结果为，一次变换结果为， 从后往前推导：对变换得，得（有理）或（无理），共2个； 对变换得，得、、，共3个； 对变换得且要求：得2个符合的，得1个符合的，没有符合的， 共3个符合条件的，说法③认为有4个，因此说法③错误． 综上，正确的说法共有2个，选C． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）若a为正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】先估算出的范围，确定介于哪两个连续正整数之间，再结合已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，，且， ，即， ，且为正整数， ． 6．（25-26七年级下·吉林松原·期末）小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】观察已知等式总结规律：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点对应向左或向右移动位，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：由题可得被开方数的小数点每向左移动位，算术平方根的小数点向左移动位， ，是将的小数点向左移动位得到， 是将的小数点向左移动位，即． 7．（25-26七年级下·山东临沂·期末）一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 【答案】0或1 【分析】根据数值转换器的规则，分析始终输不出值的情况即可得解． 【详解】解：在非负有理数中，当时，，无论开多少次平方，结果始终是， 故始终输不出的值． 当时，，同样无论开多少次平方，结果始终是， 也始终输不出的值． 综上，的值可能是0或1． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的平方根是，的立方根是2．求的算术平方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根，根据立方根和平方根的定义求出m、n的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∴， ∵9的算术平方根是3， ∴的算术平方根是3． 9．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 【答案】(1) (2)解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长为， ， ∴王芳的想法不可行． (3)解：∵一共有5个边长为1的小正方形，组成的大正方形的面积为5， ∴该大正方形的边长为，示意图如下： 【分析】（1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得的值，根据，即可得出结论； （3）一共有个小正方形，那么组成的大正方形的面积为，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为a，则：， 因为边长为正数，所以． （2）略 （3）略 10．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数 思维导图 3.1 平方根 平方根的概念 如果一个数的平方等于(a)，即，那么这个数(x)叫做(a)的平方根，也叫做(a)的二次方根。 举个例子：，，所以(5)和(-5)都是(25)的平方根。 平方根的性质 1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；比如(36)的平方根是(6)和(-6)，二者相加和为0，符合相反数定义。 2. 0的平方根只有一个，就是(0)本身，因为，不存在其他数的平方等于0。 3. 负数没有平方根，因为任何实数的平方都是非负数，不可能得到一个负数的平方等于正数以外的数，因此负数不存在平方根。 算术平方根 正数(a)的正的平方根叫做(a)的算术平方根，记作，读作“根号(a)”；(a)的负的平方根记作，因此正数(a)的平方根可以表示为。规定：(0)的算术平方根是(0)，即。 注意：被开方数(a)一定是非负数，即，当(a < 0)时没有意义。 开平方 求一个数(a)的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算：平方是已知底数求幂，开平方是已知幂求底数，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以检验一个数是不是某个数的平方根。 3.2 从有理数到实数 无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类： 1. 开方开不尽的数，比如、、等；注意并不是带根号的都是无理数，比如是有理数。 2. 含有的数，比如、、等； 3. 构造性的无限不循环小数，比如（两个1之间依次多一个0），这种小数有无限多位，且不存在循环节，因此是无理数。 实数的概念 有理数和无理数统称为实数，也就是说，实数可以分为有理数和无理数两类。 实数的分类可以整理为： 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数），都是有限小数或无限循环小数如：3、-2、0、、、 无理数：正无理数、负无理数，都是无限不循环小数如：、、 也可以按照正负性分为正实数、0、负实数，其中正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数。 实数与数轴的关系 实数和数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 例如：我们可以在数轴上画出表示的点：以数轴上单位长度1的线段为边作正方形，以原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就表示，说明无理数也可以在数轴上表示出来。 实数的性质 有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的概念，在实数范围内仍然完全适用： 1. 相反数：实数(a)的相反数是(-a)，如果两个实数互为相反数，那么它们在数轴上对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，0的相反数是0； 2. 绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即： 任意实数的绝对值都是非负数，即。 3. 倒数：如果两个实数的乘积是1，那么这两个数互为倒数，即若，则(a)的倒数是，0没有倒数。 实数的大小比较 有理数大小比较的法则同样适用于实数： 1. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数； 2. 两个正实数比较大小，绝对值大的数大；两个负实数比较大小，绝对值大的数反而小； 3. 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 比较无理数大小常用的方法：平方法，对于两个正数(a)、(b)，如果，那么(a > b)，例如比较和(2)，，，(5>4)，所以。 3.3 立方根 立方根的概念 如果一个数的立方等于(a)，即，那么这个数(x)叫做(a)的立方根，也叫做(a)的三次方根，记作，读作“三次根号(a)”，其中(a)是被开方数，3叫做根指数，根指数3不能省略（平方根的根指数2可以省略）。 举个例子：，所以(4)是(64)的立方根，即；，所以(-3)是(-27)的立方根，即。 立方根的性质 1. 正数的立方根是正数：正数的立方是正数，因此只有一个正的立方根； 2. 负数的立方根是负数：负数的立方是负数，因此只有一个负的立方根； 3. 0的立方根是0：，因此。 总结来说：任何实数都有且只有一个立方根，这一点和平方根不同，平方根要求被开方数非负，负数没有平方根，而立方根对任何实数都存在。 开立方 求一个数(a)的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算，我们可以通过立方运算求一个数的立方根，也可以检验一个数是不是某个数的立方根。 重要性质：，也就是说，求负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，再取它的相反数，简化计算。 3.4 实数的运算 实数的运算法则 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立： 1. 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行；有括号的先算括号里面的； 2. 运算律： · 加法交换律： · 加法结合律： · 乘法交换律： · 乘法结合律： · 分配律： 运算结果要求 在进行实数运算时，涉及无理数的近似计算，可以根据题目要求取近似值，转化为有理数进行计算。计算过程中，一般要比要求的精确度多保留一位，最后结果再按照要求取近似值，减少误差累计。 例如：计算（结果精确到0.01），先取近似值，，相加得。 【类型一】求一个数的平方根 1．25的平方根是（     ） A． B．5 C． D． 2．的平方根是（     ） A． B． C． D． 3．若a，b是2026的两个平方根（），则______． 【类型二】求一个数的算术平方根 1．4的算术平方根是（     ） A． B． C．2 D． 2．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 3．的算术平方根是_________． 【类型三】无理数的定义 1．下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．在，，，，（相邻两个之间逐次增加一个）中，无理数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【类型四】实数的绝对值、相反数 1．的相反数是（     ） A．6 B． C． D． 2．在0，，，四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 3．的相反数是______，的绝对值是______． 【类型五】求一个数的立方根 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．的立方根是 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 3．的算术平方根是____________，的立方根是____________，的平方根是____________． 【类型六】实数在数轴上的表示 1．如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 3．在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【类型七】实数比较大小 1．在，，，这四个数中，比大的数是（     ） A． B． C． D． 2．比较大小：________．（填“”“”或“”） 3．比较下列各组数中两个数的大小： (1)和3． (2)与． 【类型八】实数的分类 1．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 3．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【类型九】实数的运算 1．计算： 2．计算：． 3．计算：． 【类型十】平方根与立方根解方程 1．解下列方程： (1)． (2)． 2．求下列各式中的． (1)； (2) 3．解方程： (1)； (2)． 【类型一】算术平方根的非负性 1．若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 3．已知，则______． 【类型二】估算无理数 1．估计在哪两个整数之间（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 2．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 3．已知为整数，且，则______________． 【类型三】实数中的程序问题 1．有一个数值转换器，程序如下： 当输入x的值为81时，输出y的值是（    ） A． B． C．3 D．9 2．如图所示的运算程序中，输入的值是16时，输出的值是（    ） A． B． C．2 D．8 3．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y的值等于_____． 【类型四】(算术)平方根的实际应用 1．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 2．有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 3．小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． 【类型五】立方根的实际应用 1．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 2．有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________． 3．排水法测体积的核心原理是：物体浸没在液体中时，物体排开液体的体积等于物体自身的体积．小华利用这一原理进行实验：用细线将一正方体铁块系住，完全浸入盛满水的圆柱形杯中，测得从杯中溢出的水的体积为；将铁块从杯中取出后，测得杯内水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【类型六】实数的实际应用 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 2．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 3．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【类型一】实数中的新定义运算 1．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 2．对于正有理数，运算“*”定义为，则=________． 3．设、为有理数，定义一种新的运算．． 例如：． (1)计算：． (2)若，求的值． 【类型二】秦九韶—海伦公式 1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，，记，那么三角形的面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为5，6，7，其面积介于整数和之间，那么的值是______． 3．设三角形的三边分别为，，，则有下列三角形面积公式成立： ①，其中（海伦公式） ②（秦九韶公式）． 已知一个三角形的三边，，分别为，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 【类型三】算术平方根的规律 1．【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 2．先填写表格，通过观察后再回答问题． 0 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，，则________； ②已知，，用含的式子表示． 3．阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【类型四】立方根的规律 1．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 2．观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 3．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【类型五】实数的规律 1．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 2．观察下列一组算式的特征及运算结果，探究规律： 第1个算式：； 第2个算式：； 第3个算式：； 第4个算式：； …… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值：__________； (2)用含（的正整数）的代数式表示出第个等式：__________； (3)根据上述规律计算： ． 3．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：__________； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出的值：__________． 【类型六】整数、小数部分 1．阅读理解：，， 的整数部分为，小数部分为． ， 的整数部分为，的小数部分为． 解决问题：已知是的小数部分，是的整数部分． 求： (1)，的值； (2)的平方根． 2．先阅读下面的文字，然后解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 如果，其中x是整数，且，那么，． 请解答下列问题： (1)如果，其中a是整数，且，那么______，______； (2)已知，其中m是整数，且，求的值． 3．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【类型七】实数的新定义应用 1．认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 2．【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 3．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【类型八】华罗庚猜数 1．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①，，又， ，能确定的立方根是个两位数． ②的个位数是，又，能确定的立方根的个位数是． ③若划去后面的三位得到数，而，则，可得，由此确定的立方根的十位数是，因此的立方根是． (1)现在换一个数，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是___________位数； ②它的立方根的个位数字是___________； ③的立方根是___________． (2)求的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 2．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 3．综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【类型九】拓展—复数、对数 1．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：______，______，______． （2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程． （3）在复数范围内解方程：． 2．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：． (1)填空：______；______． (2)填空：①______；②______． (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下题：已知（x，y为实数），求x、y的值． 3．对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 【类型十】探索近似值 1．小茗同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为145的正方形的边长是且 ∴设，其中． 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 依题意，得 ∴ ∵ ∴ 此时可忽略，得 解得 ∴即的近似值是12.04 (1)的整数部分为______． (2)仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到0.01） 2．小李同学探索的近似值的过程： ∵面积为130的正方形的边长是，且 ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 ， 又∵， ∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴． (1)请写出的整数部分为______； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 3．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为137的正方形的边长是且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 又∵ ∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)的整数部分为______________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 1．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若有平方根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）计算：（     ） A． B． C．3 D．9 3．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）下列各数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 5．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）在与之间的整数是__________． 6．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，则正方形的边长是________；若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为   ____________ ．    7．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定636056的立方根为______． 8．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）计算：． 9．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径（单位：厘米），t代表自冰川消失时起经过的时间（单位：年）．如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 10．（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 1．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）9的平方根是(     ) A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东东莞·期中）在，，，，，这6个数中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆开州·期中）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________． 6．（25-26七年级下·北京海淀·期中）比大小：___________3（填“”、“”或“”）． 7．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 8．（25-26七年级下·北京·期中）求下列等式中的值： (1)； (2)． 9．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 10．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 1．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）以下实数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）将图1中的5个边长为1的小正方形剪拼成图2中的大正方形，将正方形的顶点与数轴的原点重合，以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆南川·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）若a为正整数，且满足，则______． 6．（25-26七年级下·吉林松原·期末）小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 7．（25-26七年级下·山东临沂·期末）一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的平方根是，的立方根是2．求的算术平方根． 9．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 10．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $