精品解析：甘肃武威第六中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以，所以或， 又，所以. 故选：C 2. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 3. 目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性确定对称轴，再利用相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】∵，，∴， ∴正态曲线的对称轴为，则， 即一组电池在20年内能正常使用的概率为， ∴这两组电池在20年内都能正常使用的概率为. 故选：D 4. 已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，，，则 C. 若，且，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理即可判断出正误． 【详解】若，且，则与可能平行，可能相交，可能异面，A选项错误； 若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，B选项错误； 两条平行直线，其中一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直，C选项正确； 若，，，则与可能平行可能相交，D选项错误. 故选：C 5. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的公式，结合对立事件概率公式逐一判断即可. 【详解】根据条件概率公式由， 同理由， 由， 由， 解得，显然选项A错误， 因为题中没有说A，B是两个事件是独立事件，所以选项B不正确； 因为题中没有说A，B是两个事件是互斥事件，所以选项C不正确； 由， 解得，所以，所以选项D正确， 故选：D 6. 已知，为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式，对代数式整理，然后借助基本不等式确定代数式的最小值. 【详解】∵，为正实数，∴，， 又， ∴ ， 当且仅当，即，即，时取等号， 故当，时，取得最小值. 故选：B 7. 正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据上下底边长计算上下底外接圆的半径，通过侧棱长、上下底面外接圆半径的差计算棱台的高，联立方程求解外接球半径，根据计算结果. 【详解】设正四棱台的上下底面的中心分别为，，外接球的球心为，连接，，，，；过作下底面，垂足为，如图所示. 则，，. ，，. ，则. （1）当外接球的球心在棱台内部时，如图： 设，则. ，即，解得. ，即外接球的半径. 外接球的表面积. （2）当外接球的球心在棱台外部时，如图： 设，则. ，即，解得，不符合题意. 综上所述，正四棱台的外接球的表面积为. 8. 函数的阶导就是对函数求次导数，记作，设函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的定义求得，令，利用导数研究的单调性，作出函数的图象，根据直线过定点，通过数形结合的方法可求解. 【详解】， 所以有且仅有一个整数解， 设，则， 当时，，此时单调递增， 当时，单调递减. 当时，；当时，， ， 作出函数的图象，如图所示，直线过定点， 要使不等式恰有一个正整数解，则 解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 数据4，1，6，2，5，9，8的第60百分位数为5 B. 已知随机变量，若，则 C. 样本点（）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且（，2，3，4），则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用百分位数的求法，直接求出第百分位数，即可求解；对于B，利用正态分布的对称性，结合条件，即可求解；对于C，根据条件，利用残差的定义，即可求解；对于D，根据条件，利用方差的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，将数据从小到大排得到， 又，数据的第百分位数为，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，所以选项B正确， 对于选项C，由题知，得到，所以选项C正确， 对于选项D，设，，，的平均数为，，，，的平均数为， 因为，则，又， ， 所以，故D错误， 10. 如图，有一个正四面体，其棱长为1，则下列说法中正确的是（ ） A. 过棱的截面中，截面面积的最小值为 B. 若为棱（含端点）上的动点，则存在点使得 C. 若为棱（含端点）上的动点，则的最小值为 D. 与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有7个 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，过的截面必交对棱于点，将截面面积表示为（为到的距离），求得的最小值为异面直线与的公垂线段长度，计算得最小面积为；对B，设在上的位置参数为，结合向量数量积和余弦定理推得的值域为，不在该值域内；对C：取中点，由极化恒等式将转化为，由的最小值为正四面体对棱距离取最小值；对D，按截面两侧顶点数分类计数判断. 【详解】对于A：过棱的截面必交对棱于点，截面为，， 截面面积，是到的距离，  而与是异面直线，则最短距离为异面直线的公垂线段长度， 分别取中点E，中点F，连接、、、、， 因为四面体是正四面体，所以，所以， 所以即异面直线的公垂线段，在中，， 所以，即正四面体对棱距离为， 因此，代入得​​，A正确； 对于B：设在上，当为中点时，最大，由余弦定理得​； 当在端点时，，因此， 而​，不存在这样的，B错误； 对于C：取AC中点，则， 得到的最小值为正四面体对棱距离， 因此，即最小值​，C正确； 对于D：若截面一侧1个顶点，另一侧3个顶点， 有，种不同情形； 若截面两侧各2个顶点，有，种不同情形； 则符合条件的截面总共有个，D正确. 11. 记函数的图象为，下列选项中正确的结论有（ ） A. 函数的极大值和极小值均有且只有一个 B. 有且仅有两条直线与恰有两个公共点 C. 不论实数为何值，方程一定存在实数根 D. 上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数确定函数的单调性，结合函数的奇偶性，做出函数的大致图像，再逐一判断选项. 【详解】由，当时，均为单调递增函数， 所以在单调递增， 由于，故存在唯一的实数，使得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取极小值， 又，所以为奇函数， 由对称性可知当时，取极大值，故A正确； 根据的单调性和奇偶性，作出的大致图象如下： 故经过极值点且与轴平行的直线，及在极值点附近与曲线相切的直线均与的图象有两个交点，B错误； 当时，，且为奇函数， 直线恒过点，， 当时，与的图象有3个交点， 当时，图象在的增长速度比慢， 所以图象与在轴右侧肯定有交点， 当时，图象与在轴左侧肯定有交点， 所以与的图象恒有交点，故一定存在实数根，C正确； 任取图象上不同与原点的一点，连接，作线段的垂直平分线，交于点， 则三角形为等腰三角形，这样的三角形有无数多个，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将英文单词“rabbit”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有________种． 【答案】240 【解析】 【详解】利用插空法可得共有种排法. 13. 某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 【答案】800 【解析】 【分析】设患者治愈人数为，可得，从而，利用和研究的单调性即可求解. 【详解】设患者治愈人数为，则，则， 所以当， 即：，解得：， 即时，， 当时，解得：，此时， 综上，时，取得最大值. 14. 已知空间向量，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，所以， ，，由，得，即可得的取值范围，又，计算求解即可. 【详解】因为，，，均为单位向量，所以， 设，，，所以， 因为与夹角为，所以， 因为与夹角为，所以， 又，所以， 因为，所以， 所以，即， 设与的夹角为， ， ， ， 因为为空间中任意单位向量， 所以当，时，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：设出空间向量，利用空间向量的模可求解的取值范围，根据空间向量的数量积运算可知当与的夹角为时，可求解最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，且为非空集合． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解对数不等式化简集合，代入化简绝对值不等式得到集合，再根据两集合交集为空列出区间无重叠的不等式，结合求出的范围； （2）令写出集合，由充分条件知此时，转化为两区间有公共元素的不等式，解不等式得到实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得， 而为非空集合，则，， 当时，， 因为，所以或，解得， 故实数的取值范围． 【小问2详解】 若“”，则， 而“”是“”的充分条件， 则 ， 所以或或， 解得或或，即， 所以实数的取值范围． 16. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其箱产量如下表所示. 养殖法 箱产量 箱产量 箱产量 旧养殖法 30 20 新养殖法 15 35 （1）根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关； （2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记为所选产品中箱产量不低于的箱数，求的分布列和期望. 附：，，. 【答案】（1） 根据小概率的独立性检验，箱产量与养殖方法有关； （2） X的分布列为 X 0 1 2 P 期望 【解析】 【分析】（1）进行零假设：箱产量与养殖方法无关，提取列联表数据代入卡方公式计算统计量，与临界值对比，作出相应判断； （2）确定X的所有可能取值，结合独立事件概率公式计算对应概率，得分布列，再由期望定义计算期望. 【小问1详解】 零假设：箱产量与养殖方法相互独立，即二者无关. 补充完整列联表，得 养殖法 箱产量 合计 箱产量 箱产量 旧养殖法 30 20 50 新养殖法 15 35 50 合计 45 55 100  ， 依据的独立性检验，不成立，即认为箱产量与养殖方法有关，该推断犯错误的概率不超过0.005. 【小问2详解】 X的可能取值为. 记事件为“旧养殖法所选网箱产量”，事件为“新养殖法所选网箱产量”，相互独立， 以频率代替概率得，，，.  ；  ；  。. 因此的分布列为： X 0 1 2 P 的期望.. 17. 如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形． （1）证明：； （2）若，，二面角的余弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】（1） 因为四边形为菱形，所以． 因为平面，平面，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线垂直，再结合已知中线面垂直，可通过证明线面垂直来证明线线垂直； （2）可利用空间向量法来求二面角的大小，再通过方程可求出边长及三棱柱的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：因为，所以是等边三角形， 取中点M，连接，则， 以为坐标原点，分别以，，所在的直线为x轴，y轴和z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，． 所以，． 设平面的法向量为，则， 即，令，得． 由条件知为平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，易知为锐角． 则，解得． 因为三棱柱的高为，且， 所以其体积． 方法二：因为，所以． 过B做交的延长线于O，连接， 因为，所以面，所以， 所以是二面角的平面角． 所以，所以，即， 因为，所以． 在中，解得． 又平面，所以三棱柱的高为， 所以其体积． 18. 某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废. （1）若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差； （2）已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率； （3）为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量. 参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有. 【答案】（1）， （2） （3）1000 【解析】 【分析】（1）先计算出每个芯片通过测试的合格率后，可得服从二项分布，则可借助二项分布的期望与方差公式计算得解； （2）可借助正难则反的思想计算出出一枚芯片合格的概率，也可借助全概率公式计算出出一枚芯片合格的概率，再结合首次测试（测试I）通过率为与条件概率公式计算从而得解； （3）由题意可得，则，，再结合所给参考内容，可得，，利用基本不等式可得，则对，均有，取可得，计算即可得解. 【小问1详解】 每个芯片通过测试的合格率为，， 则，； 【小问2详解】 解法一：记事件A：通过测试I，事件B：通过测试II，事件C：芯片合格， ， 则； 解法二：记事件：经过测试I，事件：经过测试II，事件B：芯片合格， ，，，， ， 则； 【小问3详解】 因为，所以，， 解法一：，， ，， 又，当且仅当时等号成立， ，均有， 取，则， 根据题意要使得总能不超过0.1， 当，即时满足条件， 最小样本量大约为1000. 解法二：由已知得对，， ， 记，，， 又，当且仅当时等号成立， ，均有， 取，则， 根据题意要使得总能不超过0.1， 当，即时满足条件， 最小样本量大约为1000. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）设是的两个极值点， ①求证：； ②求证：. 【答案】（1）减区间为，增区间为； （2）①依题意的两根为， 即的两根为． 令， 得，且，， 则在单调递减，在单调递增，则． 令，则， 所以在单调递增，所以， 所以，又，在单调递增． 所以，即． ②由，要证明，只需证， 即证明，即证明， 即证明，即证明， 设，，则， 则当时，，则在单调递减，则， 则在上恒成立，从而左边得证． 因为，，且，， 则在和处的切线分别为和， 令，得，再证明恒成立， 设，则， 令，解得，且时，， 此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增； 则，则恒成立，再证明恒成立， 设，， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则恒成立， 所以，从而右边得证． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）①分析得的两根为，且，再构造函数，利用导数得其单调性即可证明原不等式； ②将左边不等式等价转化证明，再构造函数，利用导数即可证明，右边不等式利用切线放缩即可证明. 【小问1详解】 时，，， 因为，均在上单调递增， 则在上单调递增，又， 所以，，，， 所以在单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一问是经典的极值点偏移问题，需构造函数，再利用导数即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 3. 目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，，，则 C. 若，且，则 D. 若，，，则 5. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的阶导就是对函数求次导数，记作，设函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 数据4，1，6，2，5，9，8的第60百分位数为5 B. 已知随机变量，若，则 C. 样本点（）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且（，2，3，4），则 10. 如图，有一个正四面体，其棱长为1，则下列说法中正确的是（ ） A. 过棱的截面中，截面面积的最小值为 B. 若为棱（含端点）上的动点，则存在点使得 C. 若为棱（含端点）上的动点，则的最小值为 D. 与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有7个 11. 记函数的图象为，下列选项中正确的结论有（ ） A. 函数的极大值和极小值均有且只有一个 B. 有且仅有两条直线与恰有两个公共点 C. 不论实数为何值，方程一定存在实数根 D. 上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将英文单词“rabbit”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有________种． 13. 某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 14. 已知空间向量，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，且为非空集合． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其箱产量如下表所示. 养殖法 箱产量 箱产量 箱产量 旧养殖法 30 20 新养殖法 15 35 （1）根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关； （2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记为所选产品中箱产量不低于的箱数，求的分布列和期望. 附：，，. 17. 如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形． （1）证明：； （2）若，，二面角的余弦值为，求三棱柱的体积． 18. 某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废. （1）若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差； （2）已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率； （3）为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量. 参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）设是的两个极值点， ①求证：； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $