精品解析：吉林长春吉大附中实验学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年下学期高一年级期末考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. 6 B. 7i C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，z的虚部为 2. 样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（　　） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【详解】解：样本数据14，16，18，20，21，22，24，28，共8个， ，由于位置非整数，取第6和第7个值的平均， 故第三四分位数为． 3. 关于向量下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误； 对于B，若，则反向，，B正确； 对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误； 对于D，当时，，，此时未必共线，D错误. 故选：ACD. 4. 已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间线面、面面平行与垂直的判定及性质，逐一分析各选项的正误。 【详解】对选项A： 若，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故A错误； 对选项B： 由面面平行的性质可知，若两个平行平面中的一个与一条直线垂直，则另一个平面也与该直线垂直，因此当，时，，故B正确； 对选项C： 若，，则与的位置关系可能为平行、相交或，并非一定垂直，故C错误； 对选项D：若 ，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故D错误。 5. 已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用球心到截面的距离与球半径以及圆半径构造直角三角形，根据勾股定理解决问题． 【详解】因为截面圆的周长为，则，解得； 因为球半径，设球心到截面所在平面的距离为， 则，即，解得． 6. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量投影向量的定义，先计算两向量的数量积、的模长，再代入投影向量公式求解即可。 【详解】根据向量投影向量的定义，在上的投影向量为 . 7. 一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 8. 如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形面积公式化简得到，再利用向量的运算表示出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】已知，，所以，化简得. 由是中点，，所以， 化简得，进而. 因为，所以. 由基本不等式，且，所以，当且仅当， 即，最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意知，，其共轭复数为，故A正确；B错误； 又，故C正确； ，故D正确. 10. 某随机试验中，事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为与互斥，所以， 即，A正确； 对于B，因为与互斥，所以，即，B错误； 对于C，因为与互斥，所以，因此， 故，C正确； 对于D，因为， 当与互斥时，，因此，D正确． 11. 如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点含边界，P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥 的体积最大值为 D. 若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段的长度即可得到最短路程，知A正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B错误；利用等体积法可知当与重合时，体积最大，通过计算可求得C正确；分析可知点轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，结合扇形弧长公式可求得D正确. 【详解】对于A，将侧面和侧面沿展成平面，如下图所示，    此时； 将底面和侧面沿展成平面，如下图所示，    此时； ，沿正方体的表面从点到点的最短路程为，A正确； 对于B，取中点，连接， ，四点共面， 则过三点作正方体的截面，截面即为四边形，如下图阴影部分所示，    平面，平面，， ，，四边形为矩形， 又，，，B错误； 对于C，， 因为平面，所以即底面上的高的长，即， 又（其中是指边上的高）， 因为点为侧面（含边界）上的一个动点，则当点在边上时最大，即， 即面积最大值为，此时三棱锥 的体积取最大值为   ，C正确； 对于D，若，则点在以为球心，为半径的球面上， 取中点，则，，    点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，即劣弧，如图所示， ，，劣弧的长度为：， 则点在侧面内运动路径的长度为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个. 【答案】8 【解析】 【分析】根据绿球个数除以总个数即可. 【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以，解得：; 故答案为：8 13. 在中，已知， ．若此三角形有两解，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理建立关系， 分析三角形有两解的条件， 解不等式求的范围. 【详解】在中，由正弦定理得：， 整理得：， 三角形有两解，说明存在两个不同的取值（一个锐角、一个钝角），且都满足三角形内角和为： ，因此必须满足； 要使有两解，需满足：； 由，结合，得：， 由，得； 由，得，即； 因此，的取值范围是. 14. 已知不共线的向量，，，满足，，，则的最小值为______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律可得，设，，进而知点C在直线上，点B在直线上，结合计算即可求解. 【详解】由，得， 即，又， 整理得. 设，则， 设，则， 所以，即点C在直线上； 设，由，得，即点B在直线上， 而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离， 所以， 即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，． （1）求及边的值． （2）若的面积为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系得到，利用正弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到即可. 【小问1详解】 在中，， 因为，所以由同角三角函数的基本关系得， 由正弦定理得，可得， 又，则，解得. 【小问2详解】 因为的面积为， 由（1）知，， 所以， 解得，已知， 由余弦定理得，解得. 16. 已知，且，向量． （1）若，求实数的值． （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，利用列出关于的方程，解方程求出； （2）由与的夹角为锐角，得出，解不等式求的范围，根据与共线，构造方程求出，排除共线的情况，最终得出实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 解得， 已知，则 ， 解得． 【小问2详解】 与的夹角为锐角，则， 解得， 若与共线，则，解得或， 其中不在区间内，只需排除， 故实数的取值范围为． 17. 为了了解市民的安全意识，某市进行了安全问题问卷调查，为了解全市参与者的成绩情况，从所有参与者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在60分以上的人数； （2）若划定成绩大于或等于第75百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参与者的成绩在“良好”以上等级的范围；（成绩取整数） （3）已知样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为88，方差为18，成绩在内的平均数为86，方差为2，求成绩在内的平均数和方差． （设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差） 【答案】（1）；人 （2） （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1求的值，再利用频率求频数即可. （2）先根据频率分布直方图估计数据的第75百分位数，即可估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围. （3）根据平均数、方差的性质进行计算即可. 【小问1详解】 由. 所以样本中成绩在60分以上的人数为：. 【小问2详解】 因为，， 所以成绩的第75百分位数在区间内， 由， 因为成绩为整数，所以成绩在的可以评为“良好”以上等级. 【小问3详解】 设成绩在的平均数为，方差为， 由，解得. 由，解得. 所以成绩在内的平均数为，方差为. 18. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】（1）（i）；（ii） （2）“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【解析】 【分析】（1）（i）先分析出事件即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平三种情况，然后加时赛获胜，得到的表达式，将代入计算即可；（ii）先分析出事件即甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到的表达式，将代入计算即可； （2）先分析出事件即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情况，得到的表达式，分析出的取值范围，借助的取值范围得到，的大小关系即可知哪种赛制更有利于甲队夺冠. 【小问1详解】 （i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以. 因为，所以； （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则. 因为，所以. 【小问2详解】 在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠. 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直得到线面垂直，进一步得到面面垂直；根据面面垂直的性质和等边三角形的性质，确定平面，从而得到直线与平面所成的角；最后根据各边关系求得正弦值； （2）（ⅰ）根据，作平行四边形，求得，即可求得点所在的位置； （ⅱ）作平行线，通过线线平行得到面面平行，再根据面面平行的性质和等边三角形的性质，确定平面与平面所成锐二面角的平面角，最后根据各边的位置和数量关系求得正弦值. 【小问1详解】 ，，，平面，平面. 平面，平面平面. 取的中点，连接，，如图1所示： 为等边三角形，. 平面平面，平面，平面. 则为直线与平面上的射影，为直线与平面所成的角. ，，； ，，； . ，即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 （ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点，理由如下： 如图2，过点M作交于点N，连接. ，； ，，，四点共面，则平面平面； 平面，. 四边形为平行四边形，则. ，，，，即. 为棱上靠近点P的三等分点满足题意. （ⅱ）过点M作交于点O，连接.由（ⅰ）得； 为等边三角形，则，. ，，，四边形是平行四边形，则. 平面，平面，平面. ，平面，平面，平面. ，平面平面. 过点A作于点H，过点H作交于点G，连接， 由（1）知平面，，平面. 平面，. ，，平面，平面. 平面，； ，，平面，平面， 平面，则； 为平面与平面所成锐二面角的平面角， 即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由平面，平面，得； ，，，，为等边三角形，, ，，，. 在中，，则. 在中，，得. 在中，. 在中，. 即平面与平面所成锐二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高一年级期末考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. 6 B. 7i C. 7 D. 2. 样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（　　） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 3. 关于向量下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 4. 已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm 6. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 10. 某随机试验中，事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点含边界，P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥 的体积最大值为 D. 若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个. 13. 在中，已知， ．若此三角形有两解，则的取值范围为__________. 14. 已知不共线的向量，，，满足，，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，． （1）求及边的值． （2）若的面积为，求． 16. 已知，且，向量． （1）若，求实数的值． （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 为了了解市民的安全意识，某市进行了安全问题问卷调查，为了解全市参与者的成绩情况，从所有参与者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在60分以上的人数； （2）若划定成绩大于或等于第75百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参与者的成绩在“良好”以上等级的范围；（成绩取整数） （3）已知样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为88，方差为18，成绩在内的平均数为86，方差为2，求成绩在内的平均数和方差． （设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差） 18. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $