精品解析：河北省唐山市玉田县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025~2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 考生注意：1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟． 2．答题前将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案须用黑色钢笔、签字笔或圆珠笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题；每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在题后的括号内） 1. 下列选项中不能确定物体位置的是（ ） A. 电影院5排8号 B. 南偏西 C. 无终东街1586号 D. 东经，北纬 【答案】B 【解析】 【分析】平面内确定一个物体的位置需要两个独立的有序信息，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A、电影院5排8号，有排数和号数两个信息，可以确定位置； 选项B、只有方向“南偏西”，没有距离信息，缺少确定位置的必要条件，不能确定物体位置； 选项C、无终东街1586号，有街道名称和门牌号两个信息，可以确定位置； 选项D、东经，北纬，有经度和纬度两个信息，可以确定位置． 2. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正比例函数的定义为：形如（是不为的常数）的函数叫做的正比例函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、符合的形式，其中，属于正比例函数； 选项B、常数项不为，属于一次函数，不是正比例函数； 选项C、中，的指数为2，不符合正比例函数的定义； 选项D、是反比例函数，不符合正比例函数的形式． 3. 为了解某校800名学生每天进行体育锻炼的时间，下列抽样调查方法中最合适的是（ ） A. 随机抽取七年级一个班的50名学生 B. 随机抽取50名男学生 C. 随机抽取运动队的50名学生 D. 从学籍系统中随机抽取50名学生 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查中样本的选择原则，合适的抽样样本需要具有代表性和随机性，能够反映总体的特征． 【详解】解：∵本次调查的总体是该校800名学生每天进行体育锻炼的时间，样本需要覆盖全校不同情况的学生，保证代表性． ∴选项A，仅抽取七年级一个班的学生，无法代表其他年级学生的情况，样本不具有代表性，错误； 选项B，仅抽取男学生，无法代表女学生的情况，样本不具有代表性，错误； 选项C，仅抽取运动队的学生，运动队学生锻炼时间与普通学生存在差异，样本不具有代表性，错误； 选项D，从学籍系统中随机抽取50名学生，随机抽取覆盖了全校各类学生，样本具有代表性，方法最合适． 4. 如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，邻补角．解题的关键是熟练掌握平行四边形性质，邻补角性质． 根据平行四边形对角相等，求出，再根据邻补角的定义求出即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 5. 下列函数中，自变量的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0和二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：A、函数，自变量的取值范围是所有实数，则此项不符合题意； B、函数，自变量的取值范围为，即，则此项不符合题意； C、函数，自变量的取值范围为，即，则此项不符合题意； D、函数，自变量的取值范围为，即，则此项符合题意； 故选：D． 6. 经研究，蝉在温度超过时才会活跃起来，此时它会边吸树木的汁液边鸣叫．如图是某地一天的气温变化图象，在这一天中能听到蝉鸣的时间段为（ ） A. 时 B. 时 C. 时 D. 时 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象找到温度超过的时间段即可得到答案． 【详解】解：由图象可知，时温度超过，即在这一天中能听到蝉鸣的时间段为时． 7. 在平面直角坐标系中，对点叙述错误的是（ ） A. 在x轴下方 B. 在第四象限 C. 距离x轴1个单位长度 D. 距离y轴1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离概念等逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：已知点坐标为，横坐标为，纵坐标为， A、∵纵坐标， ∴该点在轴下方，A选项正确，该选项不符合题意； B、∵横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征， ∴该点在第四象限，B选项正确，该选项不符合题意； C、∵点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即， ∴该点距离轴1个单位长度，C选项正确，该选项不符合题意； D、∵点到轴的距离为横坐标的绝对值，即， ∴ 该点距离轴2个单位长度，不是1个单位长度，D选项错误，该选项符合题意． 8. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与轴交点为 B. 随的增大而减小 C. 图象经过第一、三、四象限 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数的图象与性质，根据一次函数中，的符号，结合坐标轴交点的求解方法，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：∵一次函数解析式为， 选项A，令，得， ∴图象与轴交点为，故A错误； 选项B，∵解析式中， ∴随的增大而增大，故B错误； 选项C，∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故C正确； 选项D，当时，，则，故D错误． 9. 若直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的交点坐标与方程组解的关系：根据两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，即可求解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴ 方程组的解是， 故选 A． 10. 为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时车速（） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …… 以下说法错误的是（ ） A. 在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是车速的函数 B. 随的增大而增大 C. 当刹车时车速为时，刹车距离是 D. 在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查变量与函数的关系，根据表格数据推导刹车距离与刹车车速的变化关系，再逐一判断选项即可． 【详解】解：由表格数据可知，车速每增加，刹车距离增加，可得， A．刹车距离随刹车车速的变化而变化，且每个对应唯一的，刹车时车速是自变量，刹车距离是车速的函数，A正确，不符合题意； B．由表格数据和可知，随的增大而增大，B正确，不符合题意； C．当时，，C错误，符合题意； D．限速时，最大车速为，代入得，即最大刹车距离为，D正确，不符合题意． 11. 如图，某同学用根相同的小木棍首尾顺次相接组成了五边形，固定边，将点向下推，使点、、共线，形成四边形，则此变化过程中（ ） A. 内角和减少了 B. 内角和增加了 C. 外角和减少了 D. 外角和不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，根据多边形内角和定理，外角和是一一判断即可． 【详解】解：变化过程中，从五边形变为四边形，外角和不变，都是，内角和减少了． 故选项D正确． 故选：D． 12. 实验表明，对于同一树种，一般胸径越大，树就越高．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径推测树高．在研究树高与胸径之间的关系时，收集了某种树的一些数据，如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 胸径/ 12.1 13.5 14.8 16.4 18.1 20.3 23.5 26.4 树高/ 16.7 17.2 17.8 18.3 18.8 19.6 20.7 21.7 可以用直线近似刻画树的高度随胸径增大而增长的趋势．由此推测树的胸径为时树的高度可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知数据总结树高随胸径的变化规律，再计算胸径为时对应的树高，结合选项得到结果． 【详解】解：设胸径为，树高为， 由表格可知，增大时随之增大，当时，， ， ， 排除选项A、B， 选项D数值远大于规律推测值，故排除选项D， 计算平均变化率：当从增加到时，，对应树高， 平均每增加胸径，树高增加约， 当时，相比，胸径增加了， 树高增加约， 此时树高约为，符合题意． 二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分） 13. 在函数中，当时，函数值____________． 【答案】 【解析】 【分析】将给定的自变量的值代入函数解析式，依据有理数运算法则计算即可得到对应函数值． 【详解】解：把代入函数， 得． 14. 如图是某地连续七天的最高气温和最低气温的折线统计图，那么温差最大的是第______天． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了折线统计图，有理数比较大小，有理数的减法，通过折线统计图分别求出这七天的温差，然后比较即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图可知， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， ∴温差最大的是第天， 故答案为：． 15. 如图，是正方形的对角线，延长至点，使，连接，若，则的度数为____________． 【答案】##67.5度 【解析】 【分析】根据正方形的性质先得到，，再由等边对等角求解即可 ． 【详解】解：在正方形中，，为对角线， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴ ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为．若直线：（）与边有交点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先得出直线恒过定点，然后可得，进而分别得出直线过点和点时的值，最后问题可求解． 【详解】解：由直线：可知：当时，则， ∴直线恒过定点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴当直线经过点时，则有，解得：； 当直线经过点时，则有，解得：； ∵直线：（）与边有交点， ∴的取值范围是． 三、解答题（本大题共8个小题，共64分．解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某同学为调查近一个月内全校1000名学生的图书馆借书情况，在校园里对学生进行随机调查，并将结果整理成如下统计表． 借书次数/次 0 1 2 3 4及4以上 学生人数/人 45 33 15 5 2 （1）该同学采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）； （2）请指出这项调查的总体、个体、样本和样本容量． 【答案】（1）抽样调查 （2）近一个月内全校1000名学生的图书馆借书情况是总体，每名学生的图书馆借书情况是个体，所抽取的100名学生的借书情况是总体的一个样本，样本容量是100． 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查和调查相关概念，熟练掌握总体、个体、样本和样本容量等知识是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）根据实际问题和相关概念的意义进行解答． 【小问1详解】 解：由题意可得，该同学采用的调查方式是抽样调查； 故答案为：抽样调查 【小问2详解】 （人）， ∴近一个月内全校1000名学生的图书馆借书情况是总体， 每名学生的图书馆借书情况是个体， 所抽取的100名学生的借书情况是总体的一个样本， 样本容量是100． 18. 在无人机表演中，无人机群会由初始位置整体平移到新位置．其中A、B、C三个无人机在平面直角坐标系中的初始位置如图所示，坐标分别为，，． （1）若无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，则点的坐标为____________，点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）无人机群整体向下平移4个单位，再向左平移3个单位，画出、、三个无人机构成的平移后得到的相应图形． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （2）根据平移方式可得点的坐标，再描点，连线画图即可． 【小问1详解】 解：∵无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 略 19. 校园内有一块四边形的花坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画出如图的四边形，其中米，，． （1）猜想四边形的形状，并证明自己的猜想； （2）求花坪造型的面积． 【答案】（1）猜想：四边形是菱形 证明：， ， ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是菱形． （2）8平方米 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是菱形． （2）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，进而根据菱形的性质求得面积，即可求解． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：过点作于点， 米，， 米， 花坪造型的面积为：平方米． 20. 跳绳是一种简单而有效的有氧运动，有益于身心健康．某校在八年级全体同学中开展了一分钟跳绳比赛，并随机抽取了部分同学一分钟跳绳次数（单位：次）进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下不完整的统计表和统计图： 一分钟跳绳次数频数分布表 次数 频数 百分比 15 60 45 请结合上述信息完成下列问题： （1）该调查抽取的学生数为____________人； （2）求统计表中与的值，并补全频数分布直方图； （3）若将抽取学生一分钟跳绳次数绘制成扇形统计图，求次数为的学生所在扇形圆心角的度数． 【答案】（1） （2），的值为40，补全频数分布直方图如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）由的频数除以其百分比可得总人数； （2）用总人数减去已知频数，求出a的值可补全频数分布直方图，然后求出即可； （3）用360度乘以次数为的学生的占比即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：该调查抽取的学生数为（人）. 【小问2详解】 解：， 补全频数分布直方图略． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：， 所以次数为的学生所在扇形圆心角的度数为． 21. 如图，一次函数的图像经过点和，且与轴、轴分别相交于点、点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点为轴上一点，且，请直接写出直线的函数表达式． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点A和点B的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像经过点和， ∴， ∴， ∴这个一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∵， ∴， ∴点C的横坐标为或， ∴点C的坐标为或， 当点C的坐标为时，设直线的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线的函数表达式为； 同理可得当点C的坐标为时，直线的函数表达式为； 综上所述，直线的函数表达式为或． 22. 如图，在中，经过A，C两点分别作，，E，F为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质以及判定定理，掌握全等三角形的性质以及判定定理、平行四边形的性质以及判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，再根据，，可得，即可证明． （2）根据全等三角形的性质得，再根据，，可得，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23. 某网红餐厅为了提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏．在漏沙过程中，假定沙子匀速漏下，沙子的高度随时间均匀下降．已知沙漏上半部分沙子初始高度为，分钟后上半部分沙子剩余高度为．设漏沙时间为分钟，上半部分沙子剩余高度为，且与成一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该餐厅推出活动：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品免单优惠，求某顾客享受免单优惠的最短等待时间． 【答案】（1） （2）触发免单优惠的最短等待时间为分钟 【解析】 【分析】（1）方法一：用待定系数法求出函数关系式；方法二：根据沙漏上半部分沙子初始高度为，分钟后上半部分沙子剩余高度为，可知沙漏每分钟降低，由沙漏剩余的高度为，即可得到与之间的函数关系式； （2）根据沙漏上半部分沙子漏完时，可得方程，解方程求出的值即为最短等待时间． 【小问1详解】 解：方法一： 设与的关系式为：， 把，；，分别代入， 可得， 解得， 与之间的函数关系式为； 方法二：依题意，， 整理得； 【小问2详解】 解：免单条件是“上半部分沙子漏完”，即， 将代入， 可得， 解得， 答：触发免单优惠的最短等待时间为分钟． 24. 数学课上，我们探究过三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图，在中，、分别是、的中点． 求证：且． （1）【定理探究】某数学小组有甲，乙，丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 乙：延长到点，使，连接，，． 丙：过点作，交于点，过点作的平行线，交延长线于点． 则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是（ ）【填序号】 A．甲、乙、丙均可以 B．甲、乙可以，丙不可以 C．乙可以，甲、丙不可以 D．乙、丙可以，甲不可以 （2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整； （3）【定理应用】如图，、两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．数学小组的同学们在地面上选了点和点，使，连接、，并分别找到和的中点、．若测得米，米，请直接写出、两地间的距离（用含，的代数式表示）． （4） 【答案】（1）A （2）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形 ，， ， ， （3） 【解析】 【分析】（1）观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； （2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得（米），就可得米． 【小问1详解】 解：观察三位同学所作的辅助线，甲、乙、丙均可以证明三角形中位线性质定理， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接并延长，交延长线于P，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 考生注意：1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟． 2．答题前将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案须用黑色钢笔、签字笔或圆珠笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题；每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在题后的括号内） 1. 下列选项中不能确定物体位置的是（ ） A. 电影院5排8号 B. 南偏西 C. 无终东街1586号 D. 东经，北纬 2. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某校800名学生每天进行体育锻炼的时间，下列抽样调查方法中最合适的是（ ） A. 随机抽取七年级一个班的50名学生 B. 随机抽取50名男学生 C. 随机抽取运动队的50名学生 D. 从学籍系统中随机抽取50名学生 4. 如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，自变量的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 6. 经研究，蝉在温度超过时才会活跃起来，此时它会边吸树木的汁液边鸣叫．如图是某地一天的气温变化图象，在这一天中能听到蝉鸣的时间段为（ ） A. 时 B. 时 C. 时 D. 时 7. 在平面直角坐标系中，对点叙述错误的是（ ） A. 在x轴下方 B. 在第四象限 C. 距离x轴1个单位长度 D. 距离y轴1个单位长度 8. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与轴交点为 B. 随的增大而减小 C. 图象经过第一、三、四象限 D. 当时， 9. 若直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ）． A. B. C. D. 10. 为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时车速（） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …… 以下说法错误的是（ ） A. 在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是车速的函数 B. 随的增大而增大 C. 当刹车时车速为时，刹车距离是 D. 在限速的高速公路上，最大刹车距离为 11. 如图，某同学用根相同的小木棍首尾顺次相接组成了五边形，固定边，将点向下推，使点、、共线，形成四边形，则此变化过程中（ ） A. 内角和减少了 B. 内角和增加了 C. 外角和减少了 D. 外角和不变 12. 实验表明，对于同一树种，一般胸径越大，树就越高．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径推测树高．在研究树高与胸径之间的关系时，收集了某种树的一些数据，如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 胸径/ 12.1 13.5 14.8 16.4 18.1 20.3 23.5 26.4 树高/ 16.7 17.2 17.8 18.3 18.8 19.6 20.7 21.7 可以用直线近似刻画树的高度随胸径增大而增长的趋势．由此推测树的胸径为时树的高度可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分） 13. 在函数中，当时，函数值____________． 14. 如图是某地连续七天的最高气温和最低气温的折线统计图，那么温差最大的是第______天． 15. 如图，是正方形的对角线，延长至点，使，连接，若，则的度数为____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为．若直线：（）与边有交点，则的取值范围是____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共64分．解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某同学为调查近一个月内全校1000名学生的图书馆借书情况，在校园里对学生进行随机调查，并将结果整理成如下统计表． 借书次数/次 0 1 2 3 4及4以上 学生人数/人 45 33 15 5 2 （1）该同学采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）； （2）请指出这项调查的总体、个体、样本和样本容量． 18. 在无人机表演中，无人机群会由初始位置整体平移到新位置．其中A、B、C三个无人机在平面直角坐标系中的初始位置如图所示，坐标分别为，，． （1）若无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，则点的坐标为____________，点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）无人机群整体向下平移4个单位，再向左平移3个单位，画出、、三个无人机构成的平移后得到的相应图形． 19. 校园内有一块四边形的花坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画出如图的四边形，其中米，，． （1）猜想四边形的形状，并证明自己的猜想； （2）求花坪造型的面积． 20. 跳绳是一种简单而有效的有氧运动，有益于身心健康．某校在八年级全体同学中开展了一分钟跳绳比赛，并随机抽取了部分同学一分钟跳绳次数（单位：次）进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下不完整的统计表和统计图： 一分钟跳绳次数频数分布表 次数 频数 百分比 15 60 45 请结合上述信息完成下列问题： （1）该调查抽取的学生数为____________人； （2）求统计表中与的值，并补全频数分布直方图； （3）若将抽取学生一分钟跳绳次数绘制成扇形统计图，求次数为的学生所在扇形圆心角的度数． 21. 如图，一次函数的图像经过点和，且与轴、轴分别相交于点、点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点为轴上一点，且，请直接写出直线的函数表达式． 22. 如图，在中，经过A，C两点分别作，，E，F为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 23. 某网红餐厅为了提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏．在漏沙过程中，假定沙子匀速漏下，沙子的高度随时间均匀下降．已知沙漏上半部分沙子初始高度为，分钟后上半部分沙子剩余高度为．设漏沙时间为分钟，上半部分沙子剩余高度为，且与成一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该餐厅推出活动：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品免单优惠，求某顾客享受免单优惠的最短等待时间． 24. 数学课上，我们探究过三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图，在中，、分别是、的中点． 求证：且． （1）【定理探究】某数学小组有甲，乙，丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 乙：延长到点，使，连接，，． 丙：过点作，交于点，过点作的平行线，交延长线于点． 则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是（ ）【填序号】 A．甲、乙、丙均可以 B．甲、乙可以，丙不可以 C．乙可以，甲、丙不可以 D．乙、丙可以，甲不可以 （2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整； （3）【定理应用】如图，、两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．数学小组的同学们在地面上选了点和点，使，连接、，并分别找到和的中点、．若测得米，米，请直接写出、两地间的距离（用含，的代数式表示）． （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $