专题08投影与视图暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

专题08投影与视图暑假预习讲义 ·区分中心投影与平行投影两大基础概念，掌握两者光源、光线特征，能结合生活实例（手电筒 / 路灯、太阳光）快速判断投影类型。 ·理解平行投影下的正投影定义，掌握线段、平面图形、立体图形正投影的变化规律，会根据物体摆放角度判断投影形状大小。 ·熟记三视图概念：主视图、左视图、俯视图，明确三者观察方向，牢记长对正、高平齐、宽相等核心画图规则。 ·掌握常见简单几何体（正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、三棱柱）的标准三视图，能独立画出基础立体图形的三视图。 ·学会由三视图还原简单立体图形，能根据给出的三视图判断几何体形状、数出小正方体组合的方块个数。 ·掌握看得见轮廓线画实线、被遮挡轮廓线画虚线的绘图规范，规避画图漏线、虚实不分、尺寸不匹配的基础错误。 ·能结合投影知识解决生活题型：同一时刻物体高度与影长成比例的计算、路灯影子长短变化分析。 ·建立空间想象能力，体会立体图形与平面视图的转化思想，能完成立体实物、平面投影、三视图三者之间互相转化。 ·分清易错易混点：平行投影和中心投影的影子变化区别；圆柱、圆锥俯视图是否带圆心；组合几何体遮挡线条处理方法。 ·规范画图解题步骤，养成先观察、再定位、后绘图的习惯，为后续几何空间综合题建立空间思维基础。 预习必备 知识梳理 1.中心投影 2.平行投影 3.三视图核心概念 4.基础几何体标准三视图 5.三视图之间的关系与画法 6.由三视图还原几何体 7.投影计算应用题 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.平行投影 2.中心投影 3.正投影 4.判断简单几何体三视图 5.判断简单组合体三视图 6.空心几何体三视图判断 7.由一/两种视图推其余视图 8.绘制简单几何体三视图 9.绘制简单组合体三视图 10.绘制小立方块堆彻三视图 11.由三视图还原几何体 12.由三视图求边长 13.由三视图求侧面积/表面积 14.求小立方块堆彻图形表面积 15.由三视图求体积 16.求几何体视图的面积 17.由三视图判断小立方块个数 18.由三视图求小立方块最值个数 强化题型 解答题9题 知识点 01 投影、中心投影 1.投影： 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。 2.中心投影： 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心。 3.中心投影的特征： 知识点 02 平行投影 1.平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X 光． 2.正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午 12 点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 3.平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上。 知识点 03 三视图核心概念 1. 三种视图观察方向 视图名称 观察角度 摆放位置 主视图 从物体正面向投影面看 图纸中间 左视图 从物体左面向投影面看 主视图右侧 俯视图 从物体上面向投影面看 主视图下方 2. 三视图黄金三等规则（必考绘图依据） 长对正：主视图、俯视图左右长度对齐 高平齐：主视图、左视图上下高度对齐 宽相等：左视图、俯视图前后宽度相等 3. 绘图线条规范（高频易错） 实线：看得见的物体轮廓、棱边 虚线：被遮挡、看不见的内部棱边，必须画出，不可省略 轮廓线粗细统一，不随意涂改 知识点 04 基础几何体标准三视图汇总表 几何体 主视图 左视图 俯视图 关键注意点 正方体 正方形 正方形 正方形 三边视图完全相同 长方体 长方形 长方形 长方形 长宽高各不相同，三个矩形尺寸不同 圆柱 矩形 矩形 圆 俯视图是完整圆形，无圆心点 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆 圆心代表圆锥顶点垂直落点，必须画 球体 圆 圆 圆 三个视图都是等大圆形 三棱柱 矩形（中间无虚线） 矩形 三角形 俯视图为底面三角形 四棱锥 等腰三角形 等腰三角形 带中心顶点的正方形 俯视图连接中心与四个顶点 知识点 05 三种视图之间的关系及画法 1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 2.大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等。 3.三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图。 知识点 06 由三种视图还原几何体（难点） 1.由三种视图还原几何体的步骤 （1） 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2) 根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3) 画出图形后验证. 2.还原简单组合体示例 知识点 07 投影计算应用题 1. 平行投影（太阳光）比例模型 同一时刻，物体高度 ÷ 物体影长 = 定值（所有物体比值相等） 适用：测树高、楼高、旗杆高度。 2. 中心投影（路灯 / 手电）计算模型 构造两组相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，求解人影长度、路灯高度、物体距离。 知识点 08 高频易错点汇总 易错点 错误做法 标准要求 三视图尺寸 长宽高错位，不对齐 严格遵守长对正、高平齐、宽相等 遮挡线条 看不见的棱直接省略不画 遮挡棱用虚线画出 圆锥俯视图 只画圆，漏掉圆心 必须标注圆心 平行投影计算 不同时刻高度影长混用 仅限同一时刻比值相等 小正方体计数 漏算后排、下层方块 俯视图分层逐格标记层数 中心投影判断 阳光下当成点光源投影 太阳光永远是平行投影 题型1.平行投影 【典例】阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【跟踪专练1】小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【跟踪专练2】如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【跟踪专练3】如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 题型2.中心投影 【典例】一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【跟踪专练1】如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【跟踪专练2】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积________． 【跟踪专练3】如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 题型3.正投影 【典例】如图，的边AB处在水平位置，投影线垂直向下，交AB于点D，那么线段BC的正投影是_______ ，线段AC的正投影是_______，线段CD的正投影是_______． 【跟踪专练1】如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【跟踪专练2】如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【跟踪专练3】如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型4.判断简单几何体三视图 【典例】在一个几何体的主视图、左视图和俯视图中，至少有一个视图中存在圆，则这个几何体可以是_________（写出一个符合题意的几何体即可）． 【跟踪专练1】《九章算术·商功》中的“斜解立方，得两堑堵”，指的是将一个立方体沿着斜对角切开，得到两个相同的三棱柱，即“堑堵”．如图放置的“堑堵”的左视图是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】发泡陶瓷空心砖，采用发泡陶瓷雕刻而成，质量轻，可浮于水面，通常用于装修公共建筑、室内外墙面．如图是某块发泡陶瓷空心砖及其主视图，则它的俯视图为（     ） A． B． C． D． 题型5.判断简单组合体三视图 【典例】如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是_______视图和_________视图． 【跟踪专练1】如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，用12个大小相同的小正方体（共3种颜色，每种颜色各4个）组成一个长方体，则下列几何体中与图中黑色正方体组成的几何体相同的是（     ） A． B．C． D． 题型6.空心几何体三视图判断 【典例】如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】米斗是古代粮仓中不可或缺的粮食计量器具．如图1所示，这是一种无盖米斗，其不计厚度的示意图如图1所示，那么它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A．B． C． D． 题型7.由一/两种视图推其余视图 【典例】如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 题型8.绘制简单几何体三视图 【典例】一块积木如图所示，则它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，从①和②的（    ）方向看是一样的   ①                            ② A．正面 B．左面 C．上面 D．左面、上面 【跟踪专练2】已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 题型9.绘制简单组合体三视图 【典例】如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】四个完全相同的正方体摆成如图的几何体，这个几何体（    ） A．从正面看和从左面看得到的平面图形相同 B．从正面看和从上面看得到的平面图形相同 C．从左面看和从上面看得到的平面图形相同 D．从正面、左面、上面看得到的平面图形都不相同正面 【跟踪专练2】如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C． D． 题型10.绘制小立方块堆彻三视图 【典例】由8个完全相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是五个相同的小正方体组成的立体图形，若从正面方向看得到的图形面积是5，则从左面方向看得到的图形面积是______． 【跟踪专练2】老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有________种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    【跟踪专练3】如图所示的几何体是由一些相同的棱长为1的正方体组成，下列关于该几何体三视图面积说法错误的是（    ） A．左视图的面积等于3 B．俯视图的面积都等于3 C．正视图的面积等于3 D．正视图的面积等于6 题型11.由三视图还原几何体 【典例】某立体图形的三视图中，主视图是圆，则该立体图形可能是_______． 【跟踪专练1】某图书馆的一个装饰品是由几个不同的几何体组合而成的，其中一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 【跟踪专练2】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是________． 【跟踪专练3】如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型12.由三视图求边长 【典例】三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为________cm． 【跟踪专练1】如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 【跟踪专练2】在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 题型13.由三视图求侧面积/表面积 【典例】如图所示的是一个几何体的三视图．若从正面看的长方形的长为，从上面看的等边三角形的边长为，则这个几何体的侧面积是_____． 【跟踪专练1】中国空间站“天和”核心舱的某部件三视图如图所示，则该部件的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【跟踪专练3】如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 题型14.求小立方块堆彻图形表面积 【典例】如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，该几何体的表面积为___________． 【跟踪专练1】用6个大小相同的小立方体组成如图所示的几何体，该几何体主视图，俯视图，左视图的面积分别记作，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了_______ 题型15.由三视图求体积 【典例】某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是______． 【跟踪专练1】某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 【跟踪专练2】二中食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表： 碟子的个数 碟子的高度（单位：cm） 1 2 2 3 4 现在分别从三个方向看这些碟子，看到的图形如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，则叠成一摞后的高度为（   ） A． B． C． D． 题型16.求几何体视图的面积 【典例】某长方体的主视图和俯视图如图所示，则该长方体的左视图的面积是____． 【跟踪专练1】把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．    A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型17.由三视图判断小立方块个数 【典例】如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正方体有_______个． 【跟踪专练1】如图是由相同的小正方体拼成的几何图形的三视图，这些相同的小正方体的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练2】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和从正面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块有_____个． 【跟踪专练3】一个由大小相同的小正方体搭成的几何体，其主视图、俯视图和左视图均相同，其形状如图所示，则该几何体由几个小正方体搭成（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 题型18.由三视图求小立方块最值个数 【典例】桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由_____个这样的正方体组成． 【跟踪专练1】图-1所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，拿走若干个小正方体后，该几何体的主视图如图-2所示，则拿走的小正方体的个数至少是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 【跟踪专练3】一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 解答题 1．如图，是由6个棱长都为1的小立方体块搭建的几何体． (1)请在边长为1的小正方形组成的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图； (2)这个几何体的表面积（包括底部）是__________． 2．如图是由小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 3．如图，添线补全各物体的三视图． 4．一个几何体的三视图如图所示． (1)这个几何体的名称是______，其侧面积为______． (2)求出左视图中的长． 5．如图，是用个大小相同的小正方体搭成的几何体．请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图． (1)在下列方格中画出三视图； (2)当小正方体的棱长为时，求搭成的几何体的表面积． 6．如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为4，求该几何体的体积． 7．如图，同学们想要测量综合楼的高度，在某一时刻，综合楼影子的顶端落在斜坡上的点E处，与此同时，站在点D处的李华的影子顶端在点G处．经测量，李华的身高，，，，已知为水平地面，点B，C，P在同一条直线上，均与地面垂直，．试求综合楼的高度（结果精确到．参考数据：） 8．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 9．如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08投影与视图暑假预习讲义 ·区分中心投影与平行投影两大基础概念，掌握两者光源、光线特征，能结合生活实例（手电筒 / 路灯、太阳光）快速判断投影类型。 ·理解平行投影下的正投影定义，掌握线段、平面图形、立体图形正投影的变化规律，会根据物体摆放角度判断投影形状大小。 ·熟记三视图概念：主视图、左视图、俯视图，明确三者观察方向，牢记长对正、高平齐、宽相等核心画图规则。 ·掌握常见简单几何体（正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、三棱柱）的标准三视图，能独立画出基础立体图形的三视图。 ·学会由三视图还原简单立体图形，能根据给出的三视图判断几何体形状、数出小正方体组合的方块个数。 ·掌握看得见轮廓线画实线、被遮挡轮廓线画虚线的绘图规范，规避画图漏线、虚实不分、尺寸不匹配的基础错误。 ·能结合投影知识解决生活题型：同一时刻物体高度与影长成比例的计算、路灯影子长短变化分析。 ·建立空间想象能力，体会立体图形与平面视图的转化思想，能完成立体实物、平面投影、三视图三者之间互相转化。 ·分清易错易混点：平行投影和中心投影的影子变化区别；圆柱、圆锥俯视图是否带圆心；组合几何体遮挡线条处理方法。 ·规范画图解题步骤，养成先观察、再定位、后绘图的习惯，为后续几何空间综合题建立空间思维基础。 预习必备 知识梳理 1.中心投影 2.平行投影 3.三视图核心概念 4.基础几何体标准三视图 5.三视图之间的关系与画法 6.由三视图还原几何体 7.投影计算应用题 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.平行投影 2.中心投影 3.正投影 4.判断简单几何体三视图 5.判断简单组合体三视图 6.空心几何体三视图判断 7.由一/两种视图推其余视图 8.绘制简单几何体三视图 9.绘制简单组合体三视图 10.绘制小立方块堆彻三视图 11.由三视图还原几何体 12.由三视图求边长 13.由三视图求侧面积/表面积 14.求小立方块堆彻图形表面积 15.由三视图求体积 16.求几何体视图的面积 17.由三视图判断小立方块个数 18.由三视图求小立方块最值个数 强化题型 解答题9题 知识点 01 投影、中心投影 1.投影： 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。 2.中心投影： 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心。 3.中心投影的特征： 知识点 02 平行投影 1.平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X 光． 2.正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午 12 点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 3.平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上。 知识点 03 三视图核心概念 1. 三种视图观察方向 视图名称 观察角度 摆放位置 主视图 从物体正面向投影面看 图纸中间 左视图 从物体左面向投影面看 主视图右侧 俯视图 从物体上面向投影面看 主视图下方 2. 三视图黄金三等规则（必考绘图依据） 长对正：主视图、俯视图左右长度对齐 高平齐：主视图、左视图上下高度对齐 宽相等：左视图、俯视图前后宽度相等 3. 绘图线条规范（高频易错） 实线：看得见的物体轮廓、棱边 虚线：被遮挡、看不见的内部棱边，必须画出，不可省略 轮廓线粗细统一，不随意涂改 知识点 04 基础几何体标准三视图汇总表 几何体 主视图 左视图 俯视图 关键注意点 正方体 正方形 正方形 正方形 三边视图完全相同 长方体 长方形 长方形 长方形 长宽高各不相同，三个矩形尺寸不同 圆柱 矩形 矩形 圆 俯视图是完整圆形，无圆心点 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆 圆心代表圆锥顶点垂直落点，必须画 球体 圆 圆 圆 三个视图都是等大圆形 三棱柱 矩形（中间无虚线） 矩形 三角形 俯视图为底面三角形 四棱锥 等腰三角形 等腰三角形 带中心顶点的正方形 俯视图连接中心与四个顶点 知识点 05 三种视图之间的关系及画法 1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 2.大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等。 3.三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图。 知识点 06 由三种视图还原几何体（难点） 1.由三种视图还原几何体的步骤 （1） 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2) 根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3) 画出图形后验证. 2.还原简单组合体示例 知识点 07 投影计算应用题 1. 平行投影（太阳光）比例模型 同一时刻，物体高度 ÷ 物体影长 = 定值（所有物体比值相等） 适用：测树高、楼高、旗杆高度。 2. 中心投影（路灯 / 手电）计算模型 构造两组相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，求解人影长度、路灯高度、物体距离。 知识点 08 高频易错点汇总 易错点 错误做法 标准要求 三视图尺寸 长宽高错位，不对齐 严格遵守长对正、高平齐、宽相等 遮挡线条 看不见的棱直接省略不画 遮挡棱用虚线画出 圆锥俯视图 只画圆，漏掉圆心 必须标注圆心 平行投影计算 不同时刻高度影长混用 仅限同一时刻比值相等 小正方体计数 漏算后排、下层方块 俯视图分层逐格标记层数 中心投影判断 阳光下当成点光源投影 太阳光永远是平行投影 题型1.平行投影 【典例】阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【分析】本题主要考查平行投影的概念，解题关键是熟练掌握平行投影与中心投影的概念区别，根据平行投影的定义进行判断即可，平行投影是指由平行光线所形成的投影． 【详解】解：阳光发出的光线可以看成是平行光线，像这样的平行光线所形成的投影叫做平行投影，阳光照射下体育馆的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 【跟踪专练1】小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【详解】解：∵太阳光线是平行光线，矩形的对边平行， ∴矩形对边在平行投影下得到的投影仍然平行， ∴平行四边形，矩形、正方形都是特殊的平行四边形，倾斜放置或合适角度都可以得到， 当矩形纸片与光线平行放置时还可投影得到线段， 等腰梯形只有一组对边平行，不符合平行投影的性质，因此不可能是等腰梯形． 【跟踪专练2】如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 【详解】解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 【答案】D 【分析】根据平行投影的性质，利用等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别求出光线沿射线、方向射入时，投影的边长，即可得答案． 【详解】解：如图，当光线沿射线方向射入时，光线与前表面的对角线平行， ∵正方体棱长为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴四边形是边长为的正方形， 如图，当光线沿射线方向射入时，， ∵为中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是长为，宽为的长方形； 综上所述：箱子在地面上形成的投影是边长为的正方形和长为，宽为的长方形． 题型2.中心投影 【典例】一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】在投影中，由平行光线形成的投影是平行投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，判断光源类型即可得出结论． 【详解】解：∵灯光属于点光源， ∴该投影属于中心投影． 【跟踪专练1】如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积________． 【答案】 【分析】本题先根据与投影平行，判定两个三角形相似，再由线段比例求出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出的面积． 【详解】解：∵平行于投影面， ∴，且． ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴，即相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴． ∵， ∴， 解得． 【跟踪专练3】如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确利用相似三角形的性质解决问题． 证明，，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，    ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 题型3.正投影 【典例】如图，的边AB处在水平位置，投影线垂直向下，交AB于点D，那么线段BC的正投影是_______ ，线段AC的正投影是_______，线段CD的正投影是_______． 【答案】 线段BD 线段AD 点D 【分析】本题考查正投影的概念，掌握根据投影线方向和线段的位置，确定线段的正投影形状是解题的关键． 根据正投影的定义，分析线段在垂直向下投影线下的投影形状． 【详解】解：线段的正投影：在上，其投影是自身，的正投影是，所以线段的正投影是线段； 线段的正投影：在上，其投影是自身，的正投影是，所以线段的正投影是线段； 线段的正投影：和的正投影都是，所以线段的正投影是点． 故答案为：线段、线段、点 ． 【跟踪专练1】如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，理解正投影的定义是解题的关键． 根据“投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”判断即可． 【详解】解：如图： 当平面图形垂直于投影面时，其正投影是线段； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【答案】 【分析】本题考查了正投影，牢记正投影的特征是解题关键． 根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到，得到答案． 【详解】解：由题意可知，． ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 题型4.判断简单几何体三视图 【典例】在一个几何体的主视图、左视图和俯视图中，至少有一个视图中存在圆，则这个几何体可以是_________（写出一个符合题意的几何体即可）． 【答案】 球（答案不唯一） 【分析】本题要求找出三视图中至少有一个视图存在圆的几何体，结合常见几何体的三视图特征即可作答，答案不唯一． 【详解】解：常见几何体中，球的主视图、左视图、俯视图均为圆，满足“至少有一个视图中存在圆”的要求，符合题意．因此这个几何体可以是球．　 【跟踪专练1】《九章算术·商功》中的“斜解立方，得两堑堵”，指的是将一个立方体沿着斜对角切开，得到两个相同的三棱柱，即“堑堵”．如图放置的“堑堵”的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：如图放置的“堑堵”的左视图是． 【跟踪专练2】发泡陶瓷空心砖，采用发泡陶瓷雕刻而成，质量轻，可浮于水面，通常用于装修公共建筑、室内外墙面．如图是某块发泡陶瓷空心砖及其主视图，则它的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图的定义以及三视图中看不见的线条用虚线表示即可解答． 【详解】解：根据图形可知，它的俯视图为： ． 题型5.判断简单组合体三视图 【典例】如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是_______视图和_________视图． 【答案】 主 左 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图中左视图、主视图的定义解题即可． 【详解】解：主视图：从正面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 左视图：从左面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 俯视图：从上面观察，有两行，第一行两个小正方形，第二行左边一个小正方形． 故答案为：①主②左． 【跟踪专练1】如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从物体的上面看得到的视图进行判断即可． 【详解】解：根据立体图可知该俯视图是： 【跟踪专练2】如图，用12个大小相同的小正方体（共3种颜色，每种颜色各4个）组成一个长方体，则下列几何体中与图中黑色正方体组成的几何体相同的是（     ） A． B．C． D． 【答案】D 【详解】 解：由题可知图中黑色正方体组成的几何体相同的是． 题型6.空心几何体三视图判断 【典例】如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三视图，俯视图，从上面看到的平面图形，注意能看到的棱都要画成实线，不能看到的线画成虚线． 【详解】解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形， 所以俯视图是： 故选C 【跟踪专练1】米斗是古代粮仓中不可或缺的粮食计量器具．如图1所示，这是一种无盖米斗，其不计厚度的示意图如图1所示，那么它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题干图可知，它的俯视图是 【跟踪专练2】一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 【跟踪专练3】如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 题型7.由一/两种视图推其余视图 【典例】如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视数的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该行小正方形数字中的最大数字．据此得到左视图有2列，且从左往右2列正方形的个数依次为2、1，即可得解． 【详解】解：由俯视图可知，左视图有2列，且从左往右2列正方形的个数依次为2、1， 即该几何体的左视图是， 故选：C． 【跟踪专练1】如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，关键是熟练应用知识点解题； 根据俯视图判断主视图的形状即可． 【详解】解：主视图从左往右列，每列正方体的个数依次为，，. 故选：A ． 【跟踪专练2】已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的投影规律“长对正，高平齐，宽相等”进行分析，由主视图和俯视图确定几何体的形状及内部结构的位置，进而推断左视图的形状． 【详解】解：∵主视图为矩形且内部有两条竖直虚线，俯视图为大圆内部有一个小圆， ∴该几何体为大圆柱，中间挖去了一个圆柱形的孔， ∵主视图中虚线左右对称，俯视图中内部小圆左右居中， ∴小圆柱孔在左右方向上位于大圆柱中心， ∵俯视图中内部小圆靠下（即靠近观察者，位于前方）， ∴根据“宽相等”及左视图的投影规律（左视图的右侧对应几何体的前方），左视图中表示小圆柱孔的虚线应靠右， ∴左视图应为 题型8.绘制简单几何体三视图 【典例】一块积木如图所示，则它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 【详解】解：从上边看，可得选项的图形． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，从①和②的（    ）方向看是一样的   ①                            ② A．正面 B．左面 C．上面 D．左面、上面 【答案】D 【分析】分别画出两个几何体的三视图，然后对比即可解答． 【详解】解：①的三视图如图： ②的三视图如图： 所以从①和②的左面、上面看是一样的． 故选D． 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，分别画出两个几何体的三视图成为解答本题的关键． 【跟踪专练2】已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义，规范画出即可 【详解】 ∵， ∴左视图为， 故选A 【点睛】本题考查了几何体的三视图的画法，熟练掌握左视图的定义，特别注意看不到的要化成虚线，这一点很重要． 题型9.绘制简单组合体三视图 【典例】如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 【详解】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形． 【跟踪专练1】四个完全相同的正方体摆成如图的几何体，这个几何体（    ） A．从正面看和从左面看得到的平面图形相同 B．从正面看和从上面看得到的平面图形相同 C．从左面看和从上面看得到的平面图形相同 D．从正面、左面、上面看得到的平面图形都不相同正面 【答案】A 【分析】画出从正面看、从上面看、从左面看到的形状，再将三个看到的图形进行比较，即可作出判断． 【详解】解：将从三个方向看物体的形状画出如下： 故选：A 【点睛】本题考查了从三个方向看物体的形状，会画出几何体从正面、上面和左面看到的形状是解答的关键． 【跟踪专练2】如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图的定义，小正方体的个数确定主视图． 【详解】∵ ∴几何体的主视图为： 故寻B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握主视图的定义，清楚主视图与小正方体的个数的关系是画图的关键． 题型10.绘制小立方块堆彻三视图 【典例】由8个完全相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，进行判断即可. 【详解】解：俯视图为： 【点睛】 【跟踪专练1】如图是五个相同的小正方体组成的立体图形，若从正面方向看得到的图形面积是5，则从左面方向看得到的图形面积是______． 【答案】2 【分析】画出主视图，根据主视图的面积得到每个小正方形的面积，再画出左视图即可得到答案． 【详解】 解：从正面看到的图形是，共有5个小正方形组成， ∵从正面方向看得到的图形面积是5， ∴每个小正方形的面积为1， 从左面看到的图形是，共有2个小正方形组成， ∴从左面方向看得到的图形面积是2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了画简单组合体的三视图，正确理解三视图的画图方法是解题的关键． 【跟踪专练2】老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有________种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    【答案】16 【分析】小荣摆放完后的左视图有：①从左往右依次是3个正方形、1个正方形、1个正方形；②从左往右依次是3个正方形、1个正方形、2个正方形；③从左往右依次是3个正方形、2个正方形、1个正方形；④从左往右依次是3个正方形、2个正方形、2个正方形；⑤从左往右依次是2个正方形、3个正方形、1个正方形；⑥从左往右依次是2个正方形、3个正方形、2个正方形；⑦从左往右依次是2个正方形、1个正方形、3个正方形；⑧从左往右依次是2个正方形、2个正方形、3个正方形；⑨从左往右依次是1个正方形、3个正方形、1个正方形；⑩从左往右依次是1个正方形、3个正方形、2个正方形；（11）从左往右依次是1个正方形、1个正方形、3个正方形；（12）从左往右依次是1个正方形、2个正方形、3个正方形；（13）从左往右依次是3个正方形、1个正方形；（14）从左往右依次是3个正方形、2个正方形；（15）从左往右依次是2个正方形、3个正方形；（16）从左往右依次是1个正方形、3个正方形； 【详解】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排． 三排的左视图有：种； 两排的左视图有：种； 共种． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查三视图，解决问题的关键是掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 【跟踪专练3】如图所示的几何体是由一些相同的棱长为1的正方体组成，下列关于该几何体三视图面积说法错误的是（    ） A．左视图的面积等于3 B．俯视图的面积都等于3 C．正视图的面积等于3 D．正视图的面积等于6 【答案】C 【详解】根据三视图的知识解答即可． 【分析】 解：由题意知，该组合体的左视图为，俯视图为，主视图为， ∴ABD选项结论正确，C选项结论错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查简单组合体的三视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键． 题型11.由三视图还原几何体 【典例】某立体图形的三视图中，主视图是圆，则该立体图形可能是_______． 【答案】球（答案不唯一）． 【分析】本题考查由三视图判断几何体，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．根据立体图形的三视图中，主视图是圆，可判断为球或圆柱． 【详解】解：某立体图形的三视图中，主视图是圆，则该立体图形可能是球或者圆柱， 故答案为：球（答案不唯一）． 【跟踪专练1】某图书馆的一个装饰品是由几个不同的几何体组合而成的，其中一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 【答案】B 【详解】解：∵ 主视图和俯视图都是长方形， ∴ 该几何体是柱体， ∵左视图是圆， ∴该几何体是圆柱（横放）. 【跟踪专练2】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是________． 【答案】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，根据三视图判断这个几何体的形状，再根据圆锥体的侧面积、底面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据三视图判断，该几何体是圆锥，底面圆的直径为4，母线长为5， ∴这个几何体的表面积是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据三视图还原几何体，再求表面积即可． 【详解】解：根据三视图可知，这个几何体为圆锥． 直径为6cm，高为4cm， 圆锥母线长为， 表面积为． 故选：B． 题型12.由三视图求边长 【典例】三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为________cm． 【答案】． 【分析】过点E作EQ⊥FG于点Q，根据三视图可知AB的长即为EQ的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q， 由题意可得出：EQ=AB． ∵∠EFG=45°， ∴EQ=FQ， ∵EF=8cm， ∴， ∴EQ=FQ=（cm）， 即AB的长 cm． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三棱柱的三视图，得到AB的长即为EQ的长是解题的关键． 【跟踪专练1】如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出为等腰直角三角形．根据题意得到为等腰直角三角形， 设，进而得到，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 即为等腰直角三角形，且， 设，则， ， 解得， 则图中线段的长度为， 故答案为：． 【跟踪专练2】在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 【答案】(1)1 (2)不赞同思思同学的结论，计算见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求出，然后与过道的宽度进行比较，即可得出答案； （3）过点作于，交于点，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （4）若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，根据勾股定理求出此时的长度即可． 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形， ，， ， ∴； （2）解：不赞同思思同学的结论，理由如下： 如图，连接， 由可求得， ，， ， ， ， 过道宽度都是， 该物品不能顺利通过直角过道， 不赞同思思的结论； （3）解：如图，过点作于，交于点， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 设，则， 由勾股定理得：， ， 负值舍， ； 答：的长是； （4）解：若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，且， ∴， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质以及物体的三视图等知识，充分理解题意正确列式是解题的关键． 题型13.由三视图求侧面积/表面积 【典例】如图所示的是一个几何体的三视图．若从正面看的长方形的长为，从上面看的等边三角形的边长为，则这个几何体的侧面积是_____． 【答案】 【分析】由三视图可判断出此几何体为三棱柱，计算侧面个长方形的面积和即可. 【详解】解：由三视图可知，此几何体为三棱柱，侧面为个长方形，长为，宽为， 侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查由三视图确定几何体和求几何体侧面积，需要一定的空间想象力，熟记基本几何体的三视图是关键. 【跟踪专练1】中国空间站“天和”核心舱的某部件三视图如图所示，则该部件的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体以及求圆柱的侧面积，熟知圆柱的侧面积=底面周长×高是解题的关键； 先根据几何体的三视图判断该部件是圆柱，且圆柱的高是20cm，底面直径是10cm，再代入圆柱的侧面积公式计算即可. 【详解】解：由几何体的三视图可知：该部件是圆柱，且圆柱的高是20cm，底面直径是10cm， ∴该部件的侧面积； 故选：A. 【跟踪专练2】某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【答案】14 【分析】根据三视图确定几何体的形状及小正方体的排列情况，利用几何体表面积等于主视图、左视图、俯视图面积之和的2倍进行计算． 【详解】解：综合三视图可得，该几何体只有1层，该层有2排，前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，共3个小正方体． 故表面积为． 【跟踪专练3】如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为4，高为4， 故其表面积为 题型14.求小立方块堆彻图形表面积 【典例】如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，该几何体的表面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的表面积求解，求出该几何体三视图中的正方形个数即可求解． 【详解】解：该几何体主视图上有个正方形，左视图和俯视图上有个正方形， ∴该几何体的表面积为：， 故答案为： 【跟踪专练1】用6个大小相同的小立方体组成如图所示的几何体，该几何体主视图，俯视图，左视图的面积分别记作，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图、俯视图、左视图即可． 【详解】解：设小正方体的棱长为1，从正面看所得到的图形为三列，正方形的个数分别为1，2，1，． 从上面看所得到的图形为三列，正方形的个数分别为2，1，2，． 从左面看所得到的图形为三列，正方形的个数分别为1，2，1，． 故选：C 【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了_______ 【答案】 【分析】利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一个小三角形的面积，进而求出答案． 本题主要考查几何体的表面积． 【详解】解：转动了之后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形， 设直角边为x，则斜边为， 则有 ， 得到 由几何关系得：阴影部分的面积为 所以增加的面积为 故答案为：． 题型15.由三视图求体积 【典例】某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是______． 【答案】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据三视图得到几何体是圆柱，以及圆柱的底面半径和高，进而利用圆柱的体积等于底面积乘以高求解即可． 【详解】解：由三视图可得，该包装盒是一个底面直径为，高为的圆柱， ∴该包装盒的体积为， 故答案为：． 【跟踪专练1】某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的形状图，解题关键点：熟记常见几何体的形状图．由几何体的形状图可知该几何体为圆柱，进而利用圆柱体积公式求解即可得解． 【详解】解：由图可知该几何体是底面直径为2，高为3的圆柱， ∴该几何体的体积是：， 故选：A． 【跟踪专练2】二中食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表： 碟子的个数 碟子的高度（单位：cm） 1 2 2 3 4 现在分别从三个方向看这些碟子，看到的图形如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，则叠成一摞后的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的变化规律、由三视图判断几何体等知识点，找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式以及由三视图判断几何体是解题的关键． 由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为x时，碟子的高度为，再根据三视图得出碟子的总数，然后代入计算即可． 【详解】解：可以看出碟子数为x时，碟子的高度为； 由三视图可知；碟子共有3摞，分别是4、5、6个，即共有15个碟子． ∴叠成一摞的高度． 故选：D． 题型16.求几何体视图的面积 【典例】某长方体的主视图和俯视图如图所示，则该长方体的左视图的面积是____． 【答案】3 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图和俯视图求出左视图长为3，宽为1，即可求解． 【详解】由图可知，该长方体长、宽、高为4、3、1， 故左视图长为3，宽为1， 故面积为 故答案为：3． 【跟踪专练1】把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了俯视图“从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟练掌握俯视图的定义是解题关键．先画出这个立体图形的俯视图，再计算面积即可得． 【详解】解：这个立体图形的俯视图如下： 则该立体图形俯视图的面积为（平方厘米）， 故选：C． 【跟踪专练2】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三视图与表面积，画出俯视图，可得相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：塔形的俯视图如下： ∴不管多少个正方体，俯视图的面积都不变都是， ∵上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点， ∴连接俯视图对角线后，所有最小的三角形都是全等的等腰直角三角形， ∴相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半， ∴只有一个正方体时面积为； 两个正方体时塔形露在外面的面积为； 三个正方体时塔形露在外面的面积为； ∴如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是四个， 故选：C． 题型17.由三视图判断小立方块个数 【典例】如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正方体有_______个． 【答案】4 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题关键是根据主视图、左视图、俯视图分别确定每层小正方体的个数，再求和． 先看俯视图确定底层小正方体个数，再结合主视图和左视图确定上层小正方体个数，最后将各层个数相加即可． 【详解】俯视图是 3 个小正方形， 底层有3个小正方体， 主视图中右侧有两层，左视图显示有两层， 上层只有 1 个小正方体，位于底层最右侧小正方体的上方， 总共 个． 故答案为4． 【跟踪专练1】如图是由相同的小正方体拼成的几何图形的三视图，这些相同的小正方体的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体，利用三视图得出几何体的形状是解题关键． 利用三视图的观察角度不同得出行数与列数，结合主视图得出答案． 【详解】解：根据已知的三视图我们可以得到原几何图形每一个位置的小正方体的个数，如图所示 故这些相同的小正方体的个数是5． 故选：A． 【跟踪专练2】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和从正面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块有_____个． 【答案】 【分析】此题考查三个不同方向观察几何体，熟练掌握空间想象能力是解题的关键； 根据题意可得该几何体的底层有个小立方块，上层有个小立方块，据此可得答案； 【详解】解：根据题意可知，该几何体的底层有个小立方块，上层有个小立方块， 所以搭成这个几何体的小立方块有个； 故答案为： 【跟踪专练3】一个由大小相同的小正方体搭成的几何体，其主视图、俯视图和左视图均相同，其形状如图所示，则该几何体由几个小正方体搭成（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】解：根据主视图、俯视图和左视图，将搭成该几何体的小正方体个数标记在俯视图上，如下所示： ∴该几何体由7个小正方体搭成． 题型18.由三视图求小立方块最值个数 【典例】桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由_____个这样的正方体组成． 【答案】8 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是要有空间想象能力． 由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行，可得最底层几何体最多正方体的个数；由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体，相加可得所求． 【详解】解：∵由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行， ∴最底层几何体最多正方体的个数为：， ∵由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体， ∴第二层共有2个正方体， ∴该组合几何体最多共有个正方体． 故答案为：8 【跟踪专练1】图-1所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，拿走若干个小正方体后，该几何体的主视图如图-2所示，则拿走的小正方体的个数至少是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解主视图的定义并能据此分析几何体的构成． 通过分析原几何体和主视图的特征，确定需要拿走小正方体的位置和数量，从而得出至少拿走的个数． 【详解】如图所示， 拿走若干个小正方体取后，该几何体的主枧圈如图2所示，则至少拿走标有、、、的小正方体， 所以拿走的小正方体的个数至少是4个． 故选：C． 【跟踪专练2】由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 【答案】9 【分析】本题考查了三视图，根据俯视图和左视图确定各个位置最少的小正方体的个数，即可求解． 【详解】解：结合俯视图和左视图，各个位置最少的小正方体的个数如下图： 或， 故答案为：． 【跟踪专练3】一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和俯视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，再由主视图可得第二层、第三层正方体最多和最少可能的个数，再计算求出结论即可． 【详解】解：根据主视图和俯视图，这个几何体的底层有7个小正方体， 第二层最多有6个小正方体，最少有2个小正方体， 第三层最多有3个小正方体，最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最多有16个，最少有10个小正方体． 如图， 则所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是6， 故选：B． 解答题 1．如图，是由6个棱长都为1的小立方体块搭建的几何体． (1)请在边长为1的小正方形组成的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图； (2)这个几何体的表面积（包括底部）是__________． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从左边，上边方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：这个几何体的表面积． 2．如图是由小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则．分别利用小立方块的个数得出其形状，进而画出从正面和左面看到的形状图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求作； 3．如图，添线补全各物体的三视图． 【答案】解：主视图正确， 左视图、俯视图如图②． 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线表示． 【详解】略 4．一个几何体的三视图如图所示． (1)这个几何体的名称是______，其侧面积为______． (2)求出左视图中的长． 【答案】(1)正三棱柱，72 (2) 【分析】（1）由三视图可知，该几何体为正三棱柱，再根据正三棱柱侧面积计算公式计算可得； （2）在中，作于点H，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）解：根据三视图可知，该几何体为正三棱柱； 这个几何体的侧面积为； 故答案为：正三棱柱，． （2）解：如图，在中，作于点H． 由条件可知是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了三视图、几何体的侧面展开图等知识，解题的关键是理解三视图、看懂三视图． 5．如图，是用个大小相同的小正方体搭成的几何体．请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图． (1)在下列方格中画出三视图； (2)当小正方体的棱长为时，求搭成的几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同的方向看几何体，求几何体的表面积，正确识图是解题的关键． （）根据几何体画出图形即可； （）根据正方体求出几何体的表面积即可． 【详解】（1）解：从正面看：共有列，从左往右分别有个小正方形； 从左面看：共有列，从左往右分别有个小正方形； 从上面看：共分列，从左往右分别有个小正方形，据此可画出图形. 如图所示： （2）解：∵小正方体棱长为， 小正方形的面积为， ∴该几何体的表面积为． 6．如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为4，求该几何体的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，正方体的体积． （1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，2；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形． （2）根据题意可得出几何体的小正方体个数，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：该几何体的小正方体个数为个， 故该几何体的体积为. 7．如图，同学们想要测量综合楼的高度，在某一时刻，综合楼影子的顶端落在斜坡上的点E处，与此同时，站在点D处的李华的影子顶端在点G处．经测量，李华的身高，，，，已知为水平地面，点B，C，P在同一条直线上，均与地面垂直，．试求综合楼的高度（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】作，得到四边形为矩形，解，求出的长，进而求出的长，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出比例式求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∵综合楼影子的顶端落在斜坡上的点E处，李华的身高，， ∴，即， ∴， ∴； 答：综合楼的高度约为. 8．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 9．如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 【答案】AB在直线m上的正投影的长是 【分析】本题考查直角三角形和相似三角形的应用，掌握利用直角三角形的边角关系和相似三角形的性质求解线段长度是解题的关键． 先在中求出和的长度，再在中求出的长度，接着证明，求出的长度，最后将和相加得到在直线上的正投影长度． 【详解】解：在中， ， , 在中， ． 点在直线上的正投影分别为点， ，即， , ， ， ， ， ， ． 故在直线上的正投影的长是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $