广东华南师范大学附属中学2025-2026学年第二学期高一期末教学检查数学试卷

**基本信息** 立足高一数学核心内容，通过复数几何意义、分层抽样、立体几何体积计算等基础题，结合体育产业规模数据分析（数据意识）、正四面体空间角判断（空间观念）、概率决策问题（模型观念），实现对抽象能力、推理能力与应用意识的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、统计抽样、立体几何概念、概率计算|注重基础概念辨析，如第3题正四棱柱定义判断（抽象能力）| |多选题|3/18|数据统计（极差/中位数）、空间角、概率事件|结合体育产业数据考查数据处理（数据意识），如第9题80%分位数计算| |填空题|3/15|圆锥母线、球与立体几何、概率决策|第14题通过考试得分模型考查优化意识（模型观念）| |解答题|5/77|向量运算、概率应用、数据统计、立体几何证明与计算、复数综合|第18题三棱台二面角计算体现空间观念与推理能力，第19题复数三角形式创新应用（创新意识）|

2025-2026学年第二学期高一年级期末教学检查 数学 试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共四大题19小题，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名，考生号，试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。 一，单选题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，对应的点位于（ ） A． 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:4:5，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为108的样本，如果样本按比例分配，则从高一年级抽取的学生人数为( ) A. 27 B. 36 C. 40 D. 45 3. 下列判断正确的是 ( ) A. 正三棱锥一定是正四面体 B. 底面是正方形的四棱锥是正四棱锥 C. 底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱 D. 底面是正方形的棱台是正四棱台 4. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ( ) A.   B.   C.   D.  5. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若， ，则 B. 若，，则 C. 若，，则  D. 若，，则 6.已知事件, 互斥，它们都不发生的概率为，且，则 A.   B.   C.   D.  7. 的内角、、的对边分别为、、。已知，，，则（ ） A.   B.   C.   D.  8.在棱长为2的正方体中，点, , , 分别是棱, , , 的中点，则多面体的体积为 ( ) A.   B.   C.   D.  二，多选题(本大题共3小题，每小题6分，满分18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。选项全对得6分，漏选得部分分，错选得0分。) 9.已知2018-2025年中国体育产业规模（单位：万亿元）数据如表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 体育产业规模（单位：万亿元） 2.7 2.9 2.7 3.1 3.3 3.7 3.8 5.1 则这8个数据的（ ） A.极差为2.4 B.中位数为3.1 C.80%分位数为3.8 D.平均数大于3.4 10. 在正四面体中，下列各角大于的有（ ） A. 棱与棱的所成角 B. 棱与棱的所成角 C. 棱与平面的所成角 D. 平面与平面的所成角 11. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. 记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为. 设，其中表示不超过的最大整数，则（ ） A.  B.  C. 事件“”与“”互斥D.事件“”与“”相互独立 三，填空题(本大题共3小题，每小题5分，满分15分。) 12.已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为____. 13. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 14.小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做则得零分.他的目标是至少得7分，7分及格. 小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率均为，则小张应该做____道题，及格的概率最大. 四，解答题(本大题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 15.已知向量与的夹角为，，. (1)求的值；(2)设向量与的夹角为，求的值. 16.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率；(2)求甲获胜的概率. 17.为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市教育局举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图。 (1) 求频率分布直方图中  的值；(2)求样本数据的第47百分位数；(3)已知落在  内样本数据的平均数是55，方差是6；落在  内样本数据的平均数是64，方差是 ，且这两组数据的总方差是22，求落在  内样本数据的方差 。 18. 已知三棱台（图2）的平面展开图（图1）中，和均为边长为2的等边三角形，、分别为、的中点，，，在三棱台中（图二） (1)求证：；(2)求二面角的余弦值.（3）判断平面和平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由。 19.已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数满足：若，，则. (1)已知复数满足：，求；(2)已知关于的方程的两个复数根分别是，判断函数，是否为周期函数，并说明理由； (3)设复数不全为实数，，，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 一、单逸题 CACA DDBD 8【详解】由题意得%m=%m一8m8A=写X1x×2 3入 am-4aA=aeGn=写8am+S4nA+5as84a的)4 2 4arcn=V4ac0-449A-2V4-8m-2Vm-4a4=8- 2148 333 二、多选题 9.ACD 10.BD11.AC 11【详解】总样本点数为6×6=36种， 满足X,<X,的情况数为15种，由对称性可知P(X1<X2)=P(X1>X2) 又P(名=X)片，2P(化<X)+名1，解得P(x<X)=音敢A正确， 由X =1可知15空<2→名5x,<2X1, X 当X1=1时，X2=1:当X1=2时，X2=2,3:当X1=3时，X2=3,4,5: 当X1=4时，X2=4,5,6;当X=5时，X2=5,6；当X,=6时，X2=6,满足条件的情况 数有12种， P心X=小-号-行，故B错误 由X-[]-0可知010名，若名=6，则6<,名6，所以盾。 故C正确， 记事件M为*X=m事件N为X=0则P(w)=无-名 满足名<x的情况数为15种，P(W)=5=多 36121 又P(W)-=名，P(MP(W=亮，P(a)*P(MP(W),故D错误 参光答案第1页共6页 三、填空题 12.6 13.2 14.7或9 1 【详解】小张再做一道题及格的概率为A=乞：再做两道题及格的概率为D-京-本 再做三道题及格的概率为P一2 11 +3x =2 15 再做四道题及格的报率为卫，=2交+4×2=16 所以小张应该做7或9道题，及格的概率最大 故答案为：7或9 三、解答题 1.解：(1)因为a5=|leos30=5x1x5_ 22 3分 所5+-(+-f+2a+f-+2x+r=3+31=7, 所以a+=√万.3分 ②图为部a--a-矿-4时-行5+f-4×3-2+1=7, 所以2a-=万…2分 又因为2a-列(6+列=2+a.6--2x3+2-1-号.…3分 2 所以eos022a-5H6+6) 13 13 2分 2a-6a+ 16,解：(1)设事件4=“甲在第k次投篮投中”，事件B:=“乙在第k次投篮投中”， k=1,2,3,2分 则P(4)-月，P(a)=克，P团=子P回= ,l分 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件C,则C=4马B4马，…1分 以上事件之间都是独立的…1分 可得P回-子分号2行3分 2分 参考答案第2页共6页 所以比囊结束但仍设有决出胜负的振率为引 (2)记“甲获胜”为事件D,则D=4U4B,4,U4B,4B,4,3分 事件A,ABA,ABAB2A,两两互斥的1分 且A,B,人是两两相互独立的，A,B,A,B2,A,也是两两相互独立的1分 得Po-P(4+P4)+P(44-号行号2x号*对-号 所以甲我胜销概率为号。…3分 注：本题解答完全不用宇母表示事件，只列对式子算对结果，只能得5分 17.解：(1)解：根据领率分布直方图的性质，可得 10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,.3分 解得a=0.03.1分 (2)解：由频率分布直方图得，前3组数的频率为10×(0.005+0.01+0.02)=0.35， 前4组数的频率为10×(0.005+0.01+0.02+0.03)=0.65， 因此第47百分位数在第4组即区间[70,80)上，.…2分 设第打百分位骏为则澜足阁-8器-需=解得=4…3分 (3)解：样本数据在区间[50,60)的个数为0.1×200=20， 20 40 在区间[60,70)上的个数为02×200=40，所以西=20+40×55+20+40×64=61，…2分 又由=n2而[6+65-6创]+[5+64-609]=2,2分 解得=3..2分 18.(本题不能使用建空间直角坐标系的方法解答) 解：(1)图1，在直角梯形ABED中， AB=1,BE=1,DE=2, AB⊥BE,DE⊥BE.AE=V2∠AED=45°， ..AD2 =DE2+AE2-2DEAE cos45=2 :DE2=AE2+AD2,AE⊥AD,同理可得AF⊥AD2分 参为答案第3页共6页 同理，在直角梯形ACFD中可得，F=√2 .AE2+F2=EF2…2分 ,AE⊥AF,又AE⊥AD,AF⊥AD ∴.AD,AE,AF两两垂直，又AE∩AF=A AD⊥面AEF,.AD⊥EF…1分 (2)方法一：取DF中点M,连接AM,则AM⊥DF 在图2中， 又：AE⊥面ACFD,.AE⊥DF,且AE∩AM=A ∴.DF⊥面AEM,∴.EM⊥DF ∴.∠AMB为二面角A-DF-E的平面角3分 又AE=V反，AM=1,BM=V5cos∠AMB==目 5=32分 六二面角4-DF-E的余弦值为 3 方法二：取DF中点M,连接AM,EM 由AM=1,△DEF是边长为2的等边三角形：.EM⊥DF,AM⊥DF .∠AMB是二面角A-DF-E的平面角…3分 ∴EM=V5,又AE=V2 .EM2=AE2+AM2,AM⊥AE 六cos∠AwB=AM-V5 EM 3 …2分 (由于本题不允许建系，故不给出以AD,AE,AF为x,y,z轴建空间直角坐标系的解法) (3)结论：面DEF与面BCFE不垂直.1分 方法一：取EF中点O,则OD⊥EF 又，面DEF与面BCFE垂直的充要条件是直线OD与面BCFE中另一条直线垂直 而DE LBE,0D:=O远+D-EB=1x1xco9120°+0=-0 ∴OD与BE不垂直故面DEF与面BCFE不垂直…6分 方法二：延长DAEB,FC交于O点，取EF中点O,连按OD,O2 由图1，OD=V5,0g=√5，DA=√2 D=AB=1 ·D2=2W2 A0 DE 2 参考答案第4页共6页 此时0D2+002≠D02 3分 而OD⊥EF,O2⊥EF, 即∠DO2是二面角D一EF-2的平面角…2分 但∠DOQ≠90°，故面DEF与面BCFE不垂直 方法三： 过A作AA'⊥面BCFE于A',连接CE、BF交于A" AC⊥CF:CA'⊥CF,同理，BA'⊥BE 又，CE⊥CF,BF⊥BE 即CA"⊥CF,BA"⊥BE .A"与A'重合，即AA"⊥面BCFE 再取BC中点G,则AG与面BCFE不垂直 ∴.面ABC与面BCFE不垂直 即面DEF与面BCFE不垂直 本题中，AE=AF=AQ=√瓦，所以A点在平面EF2上的射影是△EF2的外心（中 心)，A'点是两条中线EC和BF的交点 19.解()设=rcas0+ng,则z=r(eo20+in20)=2(co导+到) 又=i+5i,所以1+6i=2(co+i6m胃 3 1分 所以2=2,20=+2m,keZ.…1分 3 即0=君+keZ,又0e0,21分， 所以ag-君成行…1分 (2)因为x2-(V6+√2)x+4=0的两个复数根分别是x2, 2分 52:受+0 .2分 参考容粢第6页共6页 没有写成三角形式只能得1分 cosx+isin2x+cos(气t)+iin(刘=2 co分 12 12 12 12 T=27=24,即24是了问的其中-个周期1分 1 12公 (3)由题意Z=cosa+isina,22=cosf+isinB,3=cosy+isiny, a、B、Y∈[0,2)，名+z2+3-3z22∈R可得： [cosa+cosB+cosy-3cos(a+B+y)]+i(sina+sinB+siny-3sin(a++))]ER, 则虚部sina+sinf+siny-3sin(a+B+Y)=0, 所以sina+sinB+siny=3sin(a+B+y）..2分 假设mg,g,g}之不成立，即max(arg,rg,rg,}<牙 则aA7e0,a++reo, @诺a+B+ye吃，子)，s加(e+B+>5 .13 2 但是si血a<5,血B<5 2 2 所以s血a+s血g+sy<5<3n(e++）. 与sina+sin9+siny=3sin(a+B+y)矛盾.2分 ②若a+B+y∈0,2)，则a+B+,a,月，7e[0,2) 所以sin(a+B+y)2sina,sin(a+B+y）2sinp,sin(c+B+y)2sin成立 三个等号成立当且仅当α=B=Y=0成立，但1,22，不全为实数， 所以a=B=y=0不成立，所以sina+sinB+siny<3sin(a+B+y) 与sina+sinB+siny=3sin(a+B+y)矛盾..3分 所以假设a,A7e[0牙到不成立，即nar(aggg,ag≥受成立 都考答案第6页共6页