精品解析：江西南昌市南昌县莲塘第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷

2025—2026学年度下学期高二7月期末试卷 数学 命题： 审题： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 函数的定义域为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，解得或， 所以函数的定义域为. 2. 若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】若数列，a，b，c，是等比数列， 则，可得，即. 3. 的最小值为（ ） A. B. 9 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【详解】，当且仅当，即时取等. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 因为函数在上单调递增，所以，即. 又， 所以. 5. 奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得到，由是奇函数得到，由是定义域为上的增函数得到，求解此不等式组就是的取值范围. 【详解】，， 是奇函数，转化为， 是定义域为上的增函数， ，，， 的取值范围是. 故选：B. 6. 若曲线与曲线相切，则的值是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的性质对进行分段讨论，再结合导数的几何意义求出切点，进而求出的值. 【详解】当时，； 当时，. 因为的定义域为， 所以两曲线的切点在上.  对求导得.  因为两曲线相切，所以在切点处它们的斜率相等，即. 解方程，解得.  把代入得，所以切点坐标为.  把切点代入得，即. 因为，所以. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，，是奇函数．且当时，，则函数的零点个数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称性、奇偶性与周期性，结合函数的图象分析判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且满足， 所以函数的对称轴为：， 又是奇函数，则，所以函数关于点中心对称， 由函数关于直线对称，所以， 所以， 又， 所以函数的周期为，且当时，， 根据对称性和周期性可得函数的图象， 由题意知函数的零点个数等价于函数与函数图象交点个数， 由定义域为，且， 所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数， 且，如图所示： 由图可知函数与函数图象有个交点，故函数有个零点. 8. 已知，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：由单调性，得到，进而得到，再构造函数，求导确定单调性即可求解；法二：由单调性，得到，进而得到，再构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】解法1：因为是上增函数， 则即为， 所以，. 令，则，当时，； 当时，. 所以在单调递减，在单调递增， 故，因此， 即的取值范围是， 故选：B. 解法2：因为是上增函数， 则即为， 所以，. 令，则， 当时，；当时，. 故在单调递减，在单调递增， ，因此， 即的取值范围是， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 10. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A令可得；B利用化简得出数列是等差数列；C利用等差数列求出，再结合函数的单调性判断；D举反例. 【详解】令，则，得（舍负），故A正确； 因为，所以，得， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故B正确； 易得，则，则， 因为符合上式，故， 因为在上单调递减， 所以，故C正确； 因为，所以，故D错误. 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的单调递增区间是，单调递减区间是 B. 的值域为R C. D. 若，，，则． 【答案】AD 【解析】 【分析】由导函数在定义域上恒成立即可判断A；由函数单调性和函数值情况即可判断B；由即可分析判断C；将转化变形为得到即可分析判断D. 【详解】对于A选项，的定义域为，在定义域上恒成立， 故的单调递增区间是，，故A选项错误； 对于B选项，当时， ，当时， ； 当时， ，当时，趋向于， 故的值域为，故B选项正确； C选项，时，， 又，所以，故C正确； 对于D选项， ， 又，故，故， 因为，所以，又，在上单调递增， 故，即，故D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的定义域进行求解. 【详解】因为原函数的定义域为，所以，即. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数，满足对任意，都有，若数列满足，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义先判断出函数在上为单调递增，然后两段函数均为单调递增函数结合交界点处函数值的大小，列出不等关系式，求解即可. 【详解】因为对任意都有，所以函数在上为单调递增， 所以，得，解得， 对于数列满足， 当时， 当时，递增， 当时，递增， 当时，，当时，， 由，得，满足递增， 所以，即的取值范围为 14. 设，．已知定义在上的两个函数和具有相同的最大值，则的最大值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由对勾函数的性质求得上最大值为5，再由二次函数的性质及分类讨论研究的最值得到参数关系，进而求的最大值. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增，且或4时， 根据二次函数的性质知，的图象开口向上且对称轴为， 而，且， 当时，，则，此时， 所以，当且仅当时取等号； 当时，，则，此时， 所以； 综上，当时最大. 故答案为：3 四、解答题：本大题有5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. (2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围, 【小问1详解】 若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． 【小问2详解】 若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）底面为矩形，，又平面，平面， ，又，，平面，平面，又平面， 可知平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直证明面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，两两垂直，以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，可得，，可得， ； 因此直线与平面所成角的正弦值为，即余弦值为． 17. 已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前2026项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系求解数列的通项公式； （2）由及倒序相加求数列的和． 【小问1详解】 点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； 【小问2详解】 ， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 18. 已知函数，． （1）当，解不等式． （2）若有2个零点，证明：． （3）当时，正数m，n满足，，用a表示的取值范围． 【答案】（1） （2）设，原题等价于有两正解，即有两正解， 注意到，由韦达定理知，即，而， 可得． （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入，利用对数单调性去掉对数符号，转化为分式不等式求解； （2）零点即有解，且真数恒成立.转化为关于的方程有根问题，再用根的分布列不等式； （3）先利用求出的范围，再化简对数部分，最后转化为分式函数的值域问题. 【小问1详解】 原式等价于，可得，或（舍） 所以原不等式的解为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得，当且仅当，时取等号． ，则 令，则，且 ； 下面判断函数的单调性． ，，显然其单调性与相同， ，令，则且， 对应的函数为， 当时，取， ， 故在上单调递减，在上单调递减，即的单调递减区间为. 由单调性可知， 【点睛】方法点睛： （1）换元降次，注意定义域对解集的影响. （2）零点个数转化为二次方程根的分布，用判别式和韦达定理控制. （3）多变量问题要逐步消元，先固定，的关系求范围，再化简对数部分，最后转化为单变量函数的值域. 19. 已知函数（），． （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的值； （3）已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 【答案】（1）在上单调递增，上单调递减 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间. （2）构造新函数，对分类讨论，结合即可得解 （3）利用（2）的结论，通过放缩法得到的上界，再结合时的值，确定的最小值. 【小问1详解】 由题意函数，，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， 【小问2详解】 因为，所以，其中， 令 ，则恒成立，，且， 当时，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意； 综上所述． 【小问3详解】 因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，． ， 所以 ，即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期高二7月期末试卷 数学 命题： 审题： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 函数的定义域为（   ） A. B. C. D. 2. 若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（ ） A. B. C. D. 3 3. 的最小值为（ ） A. B. 9 C. 8 D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 5. 奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（ ） A. B. C. ， D. 6. 若曲线与曲线相切，则的值是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知函数的定义域为，，是奇函数．且当时，，则函数的零点个数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 8. 已知，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的单调递增区间是，单调递减区间是 B. 的值域为R C. D. 若，，，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 13. 已知函数，满足对任意，都有，若数列满足，则的取值范围为________． 14. 设，．已知定义在上的两个函数和具有相同的最大值，则的最大值为_______． 四、解答题：本大题有5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 17. 已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前2026项和． 18. 已知函数，． （1）当，解不等式． （2）若有2个零点，证明：． （3）当时，正数m，n满足，，用a表示的取值范围． 19. 已知函数（），． （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的值； （3）已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $