课时规范练47　利用空间向量证明平行、垂直-2027届高三数学一轮复习

课时规范练47　利用空间向量证明平行、垂直

(分值:56分)

1.(13分)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,E和F分别为BC和A1C的中点.

求证:(1)EF∥平面A1B1BA;

(2)平面AEA1⊥平面BCB1. 

2.(13分)如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AB=4,AD=AF=3,∠DAF==λ=λ,0<λ<1,记=a,=b,=c.

(1)当λ=时,求直线MN与直线AE夹角的余弦值.

(2)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 

3.(15分)如图,斜棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60°.

(1)求证:BD⊥AA1.

(2)在直线CC1上是否存在点P,使得BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.

4.(15分)如图,四边形ACDE为菱形,AC=BC=2,∠ACB=120°,平面ACDE⊥平面ABC,点F在AB上,且AF=2FB,M,N分别在直线CD,AF上.

(1)求证:CF⊥平面ACDE;

(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线,若∠EAC=60°,MN为直线CD,AB的公垂线,求的值.             

参考答案

课时规范练47　利用空间向量证明平行、垂直

1.证明 (1)因为AB=AC,E为BC的中点,则AE⊥BC.

又AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1,过点E作ED⊥BC,交B1C于点D.

易知EC,EA,ED两两垂直,以E为原点,EC,EA,ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

因为AB=3,BE=,所以AE==2,所以E(0,0,0),C(,0,0),A(0,2,0),B(-,0,0),B1(-,0,2),A1(0,2,),F(,1,),所以=(,1,),=(-,-2,0),=(0,0,).

设平面A1B1BA的法向量为n=(x,y,z),则令x=-2,则y=,z=0,得n=(-2,,0).

又·n=×(-2)+1××0=0,所以⊥n.

又EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.

(2)因为EC⊥平面AEA1,则=(,0,0)为平面AEA1的一个法向量.

又EA⊥平面BCB1,则=(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量.

因为=0,故,故平面AEA1⊥平面BCB1.

2.解 (1)由题可得,=a+c.

在矩形ABEF中,易知||=5,-()=λ()-[+λ()]=λ(a+c)-[b+λ(a-b)]=(λ-1)b+λc,当λ=时,=-b+c,||=