解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦正弦定理与余弦定理边角互化的核心应用，通过精选例题与变式构建从基础到综合的解题训练体系，强化推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦定理边角互化的应用|8题（4例+4变式）|涵盖求角、面积、证明、周长及取值范围，结合面积公式与三角恒等变换|以正弦定理边角互化（a=2RsinA等）为核心，构建“边化角-角化边”双向转化逻辑，关联三角形面积公式与内角和定理| |余弦定理边角互化的应用|6题（3例+3变式）|涉及求角、边、面积、最值及形状判断，包含条件选择型问题|以余弦定理边角互化（c²=a²+b²-2abcosC等）为基础，强化方程思想，结合基本不等式解决最值问题，体现边角关系的代数表达|

解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练 解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练 考点目录 正弦定理边角互化的应用 余弦定理边角互化的应用 考点一 正弦定理边角互化的应用 例1．（2026·山东聊城·一模）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． (1)求； (2)求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理对边化角，即可求解； （2）由三角形面积公式先求得，再结合余弦定理得到，即可求解. 【详解】（1），由正弦定理知， 因为，， 所以，即． 又因为，所以． （2）因为的面积为，所以． 由（1）知，所以，所以． 由余弦定理知，， 所以， 所以，所以， 所以的周长为． 例2．（2026·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角 ； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解； （2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积. 【详解】（1）已知， 由余弦定理，则， 代入可得：. 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 整理得：， 根据两角和的正弦公式，即， 因为，所以得，解得， 又因为，所以. （2）已知，，， 由余弦定理，代入得， 所以， 则面积为：. 例3．（2026·江苏南京·模拟预测）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，. (1)求证：； (2)若为的边上的高，求的取值范围. 【答案】(1)由得 ， 两边同时约去，并由正弦定理得：， 所以，即. 在中，因为，为内角，所以，或 . 若，则（舍去）. 故，即.证毕. (2). 【分析】（1）先将向量数量积转化为边与角的关系，得，再用正弦定理化边为角，结合两角差的正弦公式，得，结合三角形内角范围排除矛盾情况，可证得结果； （2）由已知与正弦定理，由高的定义得，代入目标式化简为，结合的范围求三角函数值域，即可求得结果. 【详解】（1）略 （2）由(1)知，由正弦定理得， ，又 ， 所以. 由三角形内角均为正数，即，解得， 所以，， 所以. 例4．（2026·云南·三模）在中，角的对边分别为，记的面积为，且满足. (1)证明：； (2)若，且，求. 【答案】(1)由，得， 因为，所以，化简得，故. (2) 【分析】（1）根据和三角形面积公式化简证明； （2）根据向量的数量积、余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，因为，所以，化简得， 又因为，所以， 所以，故， 所以的面积. 变式1．（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：． (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变形化简得，进而可得； （2）利用二倍角公式化简得，进而得到，，，再求，求出面积即可． 【详解】（1）证明：， 由正弦定理可得 ， 即 ， ，， 即； （2） 解得，又，所以， ，， 又，所以， ． 变式2．（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理边化角，通过三倍角公式变形，再解三角方程即可求解； (2)利用边化角，再利用三角恒等变形，即可得到周长的取值范围. 【详解】（1）已知，且，因此， 由正弦定理，结合得， 即，展开 ， 因为，，所以， 又因为，故，所以可得 ​​，即， 因此. （2）已知，，由正弦定理​， 可得：，又， 再由正弦定理​，则， 故三角形的周长： 因为为锐角三角形，三个角均为锐角： ，可得，即， 所以. 变式3．（2026·河北沧州·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，满足. (1)判断的形状； (2)若为边上一点，为与的夹角.证明：. 【答案】(1)等腰三角形 (2)证明见解析 【分析】（1）借助正弦定理统一边角关系，联立条件推出，判定三角形为等腰三角形. （2）展开两角和差余弦公式，结合第一问等腰边角等量关系化简，完成等式证明. 【详解】（1）由正弦定理得，即. 已知，故. 整理得，即. 因为，所以，即. 因此为等腰三角形. （2）在中，由正弦定理得. 因为，，，故. 在中，，将待证式右边展开： . 由得，，， 代入后项抵消，化简得. 由等腰三角形性质，即，故右边，与左边相等. 因此，得证. 变式4．（2026·天津河北·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值： (2)求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）利用正弦定理对进行边化角，即可求得的值； （2）由于第1小问已经求得的值，再利用余弦定理求出边长，最后用面积公式求出的面积； （3）由第1小问及第2小问中可知的值及边长，再由正弦定理求得A的正弦值，由正弦值再求出余弦值，最后用余弦和角公式计算. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 因为，所以，所以， 故，由，得. （2）因为，，由余弦定理， 得，， 解得，或（舍去）. 所以. （3）由正弦定理，得，即， 因为为钝角，所以为锐角，， ，， 所以. 考点二 余弦定理边角互化的应用 例1．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）法①：由题意可得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，从而得，最后利用求解即可； 法②：在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得从而得，利用求解即可； 法③：在中，由余弦定理可得，从而得，所以，再结合余弦定理求得，最后在直角中，由正弦的定义求解即可； 法④：利用面积公式可得，再由余弦定理可得，最后由正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，且， 则， 即， 得， 则， 因为，所以. （2）由（1）得，，因为，所以， 所以， 法①：如图在中，由余弦定理可得：   ， 即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中，. 法②：同解法①， 在中由正弦定理，即， 所以， 又因为，即，所以. 法③：同上， 在直角中，，所以， 由（1）问知，所以， 即，得即， 所以，. 法④：由（1）知，则， 因为， 所以， 即，解得， 所以，即， 在中，由正弦定理，即， 解得. 例2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在①②；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题. 问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换化简条件求B. (2)通过a,c边长的关系以及余弦定理求出a,b的关系，后利用三角形面积公式求出. 【详解】（1）选①，根据正弦定理，， 所以，因为，解得， ，因为，则，则. 选②，因为， ， ，因为，所以. 选③，因为，根据正弦定理，， 解得，因为，所以. （2）无论选①，②，③均得到， 因为，，所以，解得，. 又因为， 所以. 与上述同理. 例3．（2026·河南周口·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若的面积为3，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角恒等变换及余弦定理化简得证； （2）由三角形面积公式得到的关系，利用正弦函数的取值范围求的最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以，即， 所以，即. 证毕. （2）因为，， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以当时，的最小值为. 变式1．（2026·重庆·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式得，再结合正弦、余弦定理进行边角转化即可； （2）由可得和，又有，得.由正弦面积公式得.通过三角恒等变换可得：，又由，结合可得的值. 【详解】（1）由两角差的正弦公式结合正弦定理可得： 由余弦定理可得：                             所以. （2）由两边平方得:.所以 又有，所以， 由（1）知=1得，所以， 由，得 因为，结合正弦定理可得 又知 所以，化简得， 即. 变式2．（2026·河南·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的取值范围； (2)当角C取最大值时，边上存在一点D，满足，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理对已知式进行边角互化，利用基本不等式可得的取值范围，从而得到角C的取值范围； （2）由（1）可得是等边三角形，设的边长为x，根据边上的点到的距离的范围，可求得边长x的取值范围，从而得到周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理，得 由余弦定理，得 化简得． 又当且仅当时，等号成立． 所以. 因为，所以角C的取值范围是． （2）当角C最大时，，且，所以是等边三角形. 设的边长为x， 因为点D在边AB上，所以，即， 由，所以，解得，所以， 即周长的取值范围为． 变式3．（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由正余弦定理转化为边的关系求解即可； （2）根据余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理及正弦定理可得，， 即，所以. （2）， 当且仅当时等号成立， 由知，，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练 解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练 考点目录 正弦定理边角互化的应用 余弦定理边角互化的应用 √5 例考点2026，山东壁接定最希立形的能角8C的对边分别为6c,已知“=6,6M6C的有积为2， asinC=3ccosA (1)求A: (2)求△ABC的周长 例2.(2026贵州遵义模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 (c-2b)cosd+a'+b2-c2 =0 2b (1)求角A; (2)若a=6,b+c=9,求△ABC的面积. 例3.(2026江苏南京模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,C,己知a=2, AB.AC=aC+BA·BC (1)求证：B=2A: 解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练 (②)若为△1BC的MB边上的高，求分 b2+43d 的取值范围 解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练 例4.(2026·云南·三模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,记△ABC的面积为S,且满足 s-(6-e小n4 (1)证明：b=c: ②老丽C=-,且a=v56,求s 变式1.(2026重庆模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且满足：2 bcos 4=C-b (1)证明：A=2B: ②2-(5-2oas9+oms SB,且C=4,求aABC的面积S. 变式2.(2026河北保定·三模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,A=2C, (1)若b=2c,求A: (2)若△ABC为锐角三角形，且a=1,求△ABC周长的取值范围. 解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练 a cosA 变式3.(2026：河北沧州二模)在。4BC中，内角4'B,C的对边分别为a’b,c,满足方cosB (1)判断△ABC的形状； (②)若D为边4B上一点，0为D与CD的夹角：证明： ccos0=acos(A-0)+bcos(B+0) 变式4.(2026天津河北二模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=7,c=5, √3 acos B+bsinA=0 (1)求B的值： (2)求△ABC的面积； cos2A+π (3)求 3的值 解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练 考点二 余弦定理边角互化的应用 例1.(2425高三上福建厦门阶段检测)己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2b+c-2 acosC=0. (1)求A: (②若D为BC边上一点，∠B1D=3∠CAD,AC=4AD=V5 求sinB 朗.205发沙年模模银别)在02如4}-管g+-6ee-=,国 sinA-sinB sinC a+b 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题， 问题：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且一： (1)求B: (2)若BC=4AB,求sinA. 解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练 例3.(2026河南周口三模)记MBC的内角4：B:C的对边分别为6，c已知c=4 absin29 2· (1)证明：a=b； (2)若△ABC的面积为3，求a的最小值. 变式1.(2026重庆模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+ac=a2. sin(A-B) (I)求sinA 的值； sin4+cos4=V2 (2) ABC 的面积为V3+l,求a, 6 解三角形：正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用专项训练 cosA cosB 2cosC 变式2.(2026-河南二模)在。4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足sin4+sinB= sinC· (1)求角C的取值范围： (2)当角C取最大值时，边AB上存在一点D,满足CD=1,求△ABC周长的取值范围. 变式3.(2026甘肃张掖：二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知sinB=-2 sin AcosC. c2-a2 (1)求b2的值； (2)求CosB的取值范围.