25.2.3因式分解法（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“因式分解法解一元二次方程”，核心内容包括理解“积为0则至少一因式为0”的原理，掌握提公因式和乘法公式两种分解技巧及标准化解题步骤。课堂导入通过复习公式法解方程，结合物理上抛物体落回地面的问题创设情境，引导学生发现更简便解法，搭建新旧知识的学习支架。 这份导学案突出自主学习与合作探究结合，通过“观察方程结构—因式分解—降次转化—求解方程”的探究过程，培养学生的转化降次思想和择优解题思维。典型例题与中考真题结合，覆盖不同层次需求，助力学生形成严谨运算习惯，发展数学思维中的推理意识和数学眼光中的创新意识，提升自主探究与灵活解题能力。

25.2.3因式分解法 （导学案） (1)理解因式分解法解一元二次方程的原理，熟记“积为0则至少一个因式为0”的核心依据.熟练掌握提公因式、乘法公式两种因式分解技巧解一元二次方程.掌握因式分解法标准化解题步骤，能根据方程特征灵活选择最优解法. （2）经历“观察方程结构—因式分解—降次转化—求解方程”的探究过程，体会转化、降次的数学思想.通过多种解法对比，学会辨析不同解方程方法的适用场景，培养归纳总结、择优解题的思维能力. （3）在简便解题的探究过程中，感受数学方法的多样性与简洁性，提升数学学习兴趣.养成先观察、再解题、规范书写的良好数学习惯，培养严谨的代数运算思维. 重点：掌握因式分解法解一元二次方程的原理和完整解题步骤；熟练运用提公因式法、乘法公式法解可因式分解的一元二次方程. 难点：准确观察方程结构，灵活选择因式分解的方法，实现二次方程的降次转化.规避“方程两边随意消含未知数因式”“未化为积为0形式直接分解”等典型错误. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：提问学生公式法解一元二次方程的步骤，解方程（用公式法）. 师生互动：学生独立完成后，教师提问：该方程结构简单，是否有更简便的解法？不用复杂计算、不用套公式即可快速求解？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第12-14页的内容 【学法指导】自研课本P12-14页内容 (一)探究原理，理解核心 活动1：物体经过多少秒落回地⾯? 问题： 根据物理学规律 , 如果把⼀个物体从地⾯以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过2s后的离地⾼度 (单位:m)约为.根据上述规律,物体经过多少秒落回地⾯? 追问1：将⽅程的左边分解因式得到的方程是什么？ 追问2：若两个代数式的乘积为0，这两个代数式之间具有什么关系？ 追问3：根据上述原理，怎样解方程x(10-5x) =0. 追问4：物体经过多少秒落回地⾯ ? 活动2：怎样用因式分解法解一元二次方程 思考：解⽅程时 , ⼆次⽅程是如何降为⼀次的? 师生归纳：把一元二次方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，通过降次转化为两个一元一次方程求解的方法，叫做因式分解法。 （二）归纳因式分解法步骤 活动3：因式分解法解一元二次方程的步骤 师生通过以上解方程过程，共同归纳因式分解法解题步骤： 及时巩固：解方程x(x+2)=2(x+2) （三）择优合适方法解方程 活动4：总结三种解法的适用场景，明确能因式分解优先用因式分解法. 及时巩固：让学生自主选择最优解法： (1) (2) (2) (3) (3) 【自研自探】 自研课本P12-14页内容 典型例题 例1.因式分解法解方程：(1)； (2)；(3) 例2.解方程：(1)； (2)． 第二环节 合作探究 1.讨论因式分解法的原理. 2.讨论因式分解法步骤. 3.讨论如何择优合适方法解方程. 拓展提升： 1．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 课本课堂练习（P14）第1(1、2、3、4）、2题. 1．（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12． 2.（2025.漯河·校考）解下列方程：(1)；(2)． 1. 知识与技能：（1）核心原理：若 ，则 ；（2）两种分解方法： 法、 法（平方差、完全平方）；（3）解题四步骤： — — — ；（4）解法选择：结构特殊可 ，优先用 法，运算最简、速度最快. 2. 思想方法：（1）转化降次思想：将陌生的二次方程转化为熟悉的 ，化繁为 、化未知为 ；（2）数形结合与模型思想：建立“ ”的解题模型，实现题型 固化；（3）择优优化思想：根据 选择最优解法，培养灵活解题的数学思维. 3. 易错提醒：（1）必须先移项使方程 ，再 ，分解前提不可缺失；（2）严禁方程两边同时除以 ，避免 根；（3）因式分解必须分解为两个 的最简形式，分解 ；（4）出现两个相等实数根时，需规范书写，不可 根；（5）区分 法与 法的适用场景，不盲目套用固定方法. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.3因式分解法 （导学案） (1)理解因式分解法解一元二次方程的原理，熟记“积为0则至少一个因式为0”的核心依据.熟练掌握提公因式、乘法公式两种因式分解技巧解一元二次方程.掌握因式分解法标准化解题步骤，能根据方程特征灵活选择最优解法. （2）经历“观察方程结构—因式分解—降次转化—求解方程”的探究过程，体会转化、降次的数学思想.通过多种解法对比，学会辨析不同解方程方法的适用场景，培养归纳总结、择优解题的思维能力. （3）在简便解题的探究过程中，感受数学方法的多样性与简洁性，提升数学学习兴趣.养成先观察、再解题、规范书写的良好数学习惯，培养严谨的代数运算思维. 重点：掌握因式分解法解一元二次方程的原理和完整解题步骤；熟练运用提公因式法、乘法公式法解可因式分解的一元二次方程. 难点：准确观察方程结构，灵活选择因式分解的方法，实现二次方程的降次转化.规避“方程两边随意消含未知数因式”“未化为积为0形式直接分解”等典型错误. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：提问学生公式法解一元二次方程的步骤，解方程（用公式法）. 师生互动：学生独立完成后，教师提问：该方程结构简单，是否有更简便的解法？不用复杂计算、不用套公式即可快速求解？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第12-14页的内容 【学法指导】自研课本P12-14页内容 (一)探究原理，理解核心 活动1：物体经过多少秒落回地⾯? 问题： 根据物理学规律 , 如果把⼀个物体从地⾯以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过2s后的离地⾼度 (单位:m)约为.根据上述规律,物体经过多少秒落回地⾯? 设物体经过xs落回地⾯,这时它离地⾯的⾼度为0m , 即. 追问1：将⽅程的左边分解因式得到的方程是什么？ 将⽅程的左边分解因式,得x(10-5x)=0. 追问2：若两个代数式的乘积为0，这两个代数式之间具有什么关系？ 若两个代数式的乘积为0，即a·b=0，则a=0或 b=0.;反之,如果a=0或 b=0，则 a·b=0. 追问3：根据上述原理，怎样解方程x(10-5x) =0. ⽅程x(10-5x) =0.的两个根是. 追问4：物体经过多少秒落回地⾯ ? 对于这两个根, 表示物体抛离地⾯的时刻,即在Os时物体被抛 出,此刻物体的⾼度是0m ;⽽表示物体在抛离地⾯2s时落回地⾯. 活动2：怎样用因式分解法解一元二次方程 思考：解⽅程时 , ⼆次⽅程是如何降为⼀次的? 学生交流讨论：可以发现, 在上述解法中,由到或的过程,不是 ⽤开平⽅降次,⽽是先分解因式,使⽅程化为两个⼀次式的乘积等 于0的形式,再使这两个⼀次式分别等于O ,从⽽实现降次.这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分解法 . 师生归纳：把一元二次方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，通过降次转化为两个一元一次方程求解的方法，叫做因式分解法。 （二）归纳因式分解法步骤 活动3：因式分解法解一元二次方程的步骤 师生通过以上解方程过程，共同归纳因式分解法解题步骤： 一化：移项，将方程所有项移到左边，使方程右边=0； 二分：将方程左边整式因式分解，化为两个一次因式乘积形式； 三列：根据积为0原理，列出两个一元一次方程； 四解：分别解一次方程，得出方程的两个根. 及时巩固：解方程x(x+2)=2(x+2) 移项得x(x+2)-2(x+2)=0，分解得(x+2)(x-2)=0，解得. （三）择优合适方法解方程 活动4：总结三种解法的适用场景，明确能因式分解优先用因式分解法. 学生讨论根据不同方程，择优选择合适的方法. 及时巩固：让学生自主选择最优解法： (1)（优选直接开平方法/因式分解法） (2)（优选因式分解法/求根公式法） (3)（无整数因式，优选公式法） 【自研自探】 自研课本P12-14页内容 典型例题 例1.因式分解法解方程：(1)； (2)；(3) 【分析】(1)利用提取公式法因式分解解一元二次方程． (2)利用完全公式法因式分解解一元二次方程． (3)利用平方差公式法因式分解解一元二次方程． 解：(1)提公因式：3x(x+2)=0 得3x=0或x+2=0 ∴ (2)整理得 公式法因式分解： 得x-2=0 ∴ (3)解：因式分解：(x+3)(x-3)=0 得x+3=0或x-3=0 ∴ 例2.解方程：(1)； (2)． 【分析】（1）利用公式法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；熟练掌握公式法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ， ， 解得：，． （2）移项得：， 因式分解得：， 即或， 解得：，． 第二环节 合作探究 1.讨论因式分解法的原理. 2.讨论因式分解法步骤. 3.讨论如何择优合适方法解方程. 拓展提升： 1．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【详解】（1）解：证明： ， 此方程总有两个实数根； （2）， ，， 此方程恰有一个根小于， ， 解得， 即的取值范围为． 课本课堂练习（P14）第1(1、2、3、4）、2题. 1．（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12． 【解答】解：整理得：x2﹣7x+12＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0， 所以x﹣4＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝4，x2＝3． 2.（2025.漯河·校考）解下列方程：(1)；(2)． 【详解】（1）解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， 解得，； （2）解：， ，，， ， ， ，． 1. 知识与技能：（1）核心原理：若ab=0 ，则a=0或b=0；（2）两种分解方法：提公因式法、乘法公式法（平方差、完全平方）；（3）解题四步骤：右化0—左分解—列一次方程—求解根；（4）解法选择：结构特殊可因式分解，优先用因式分解法，运算最简、速度最快. 2. 思想方法：（1）转化降次思想：将陌生的二次方程转化为熟悉的一元一次方程，化繁为简、化未知为已知；（2）数形结合与模型思想：建立“积零为根”的解题模型，实现题型归类、方法固化；（3）择优优化思想：根据方程结构选择最优解法，培养灵活解题的数学思维. 3. 易错提醒：（1）必须先移项使方程右边为0，再因式分解，分解前提不可缺失；（2）严禁方程两边同时除以含未知数的因式，避免遗漏根；（3）因式分解必须分解为两个一次因式乘积的最简形式，分解不彻底易出错；（4）出现两个相等实数根时，需规范书写，不可只写一个根；（5）区分因式分解法与公式法的适用场景，不盲目套用固定方法. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $