山西吕梁市汾阳市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 2025-2026高一数学期末卷以人教A版必修二为范围，融合《九章算术》方亭、全运会吉祥物等文化与现实情境，覆盖统计、向量、概率、立体几何等核心知识，通过分层设问（如解答题17题校园美术统计分析、19题三棱台证明与夹角计算）发展数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计（第1题AQI百分位数）、复数（第2题）、向量（第3题）|结合吕梁空气质量数据、方亭体积计算| |多选题|3/18|向量基底（第9题）、概率事件（第10题）、立体几何（第11题）|正三棱台异面直线夹角与轨迹问题| |填空题|3/15|分层抽样（第12题吉祥物）、概率（第13题海报抽取）、统计推断（第14题骰子数据）|航天与AI海报情境、数据合理性判断| |解答题|5/77|向量运算（15题）、复数几何意义（16题）、统计分析（17题）、解三角形（18题）、立体几何（19题）|校园美术评分统计、三棱台面面垂直证明与夹角计算|

2025-2026学年度第二学期高一数学期末考试命题规划 汾阳四中 李红霞 一、命题指导思想 本次考试严格依据2019人教A版高中数学必修第二册课程标准要求，结合高一学生本学期数学学习现状，遵循素养立意、立足教材、夯实基础、分层选拔、学以致用的核心命题思想。 试卷全面落实数学学科核心素养培养目标，紧扣“基础性、综合性、应用性、创新性”四翼考查要求，以教材习题为根基，采用原创+教材改编相结合的命题形式。试题创设生活实践、数学文化、数学探究三类情境，将《九章算术》算筹、方亭等传统数学文化，空气质量监测、交通红绿灯、塔高测量、抽样检测等现实生活问题融入考题，既考查学生对基础知识、基本技能、基本思想方法的掌握情况，又注重考查学生运用数学知识解决实际问题、解读数学文化的能力。 试卷科学设置梯度化难度，整体难易配比合理，兼顾全体学生的学习水平，既能精准检测本学期教学成效、诊断学生知识薄弱点，也能区分不同层次学生的数学思维与综合能力，同时发挥考试的教学导向作用，引导日常教学回归课本、重视理解、强化应用。 二、考查目标 1.基础知识与基本技能考查 全面检测学生对必修第二册六大模块核心概念、公式、定理、运算法则的理解与掌握情况，要求学生熟练完成基础运算、概念辨析、公式直接应用等简单任务，筑牢数学学习根基。 2.数学核心素养考查 聚焦数学运算、逻辑推理、直观想象、数据分析、数学建模、数学抽象六大核心素养。通过计算类试题考查数学运算；通过证明、事件关系判断、向量推理类试题考查逻辑推理与数学抽象；通过立体几何图形分析、空间轨迹探究考查直观想象；通过统计数据处理、概率实际应用考查数据分析与数学建模。 3.学科能力分层考查 依据学业质量水平划分考查层次，从基础运算、单一知识点应用，到多知识综合运用，再到复杂问题探究与创新分析，逐步提升能力要求，全面考查学生运算求解、推理论证、空间想象、数据处理、应用意识与创新意识六大关键能力。 4.综合应用与文化素养考查 结合生活场景、传统数学文化命制试题，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，同时渗透数学文化价值，增强学生对传统数学文化的认知；设置开放性、探究性试题，锻炼学生综合分析与创新思维能力。 5.学情诊断与教学导向 客观反映高一学生本学期数学学习的整体水平，精准暴露知识漏洞与能力短板，为后续阶段的教学调整、分层辅导、习题设计提供数据依据。 三、知识覆盖 本次考试范围为人教A版高一数学必修第二册，完整覆盖统计、概率、复数、平面向量、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形六大知识模块，知识点分布均衡、主干知识重点突出，具体内容及对应题号如下： （一）统计（25分） 核心知识点：总体百分位数的估计、分层随机抽样计算、平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差的计算、频率分布直方图与样本平均数估算。 对应题号：1、12、14、17(1) （二）概率（22分） 核心知识点：相互独立事件、互斥事件、对立事件的概念与概率公式、古典概型概率计算、样本空间与事件间的包含关系。 对应题号：4、7、10、17(2) （三）复数（20分） 核心知识点：复数的四则运算、复数的实部与虚部求解、复平面内复数对应点的位置判断、复数与函数图象的结合应用、根据复数类型求参数。 对应题号：2、16 （四）平面向量（33分，重点模块） 核心知识点：平面向量数量积的几何意义、投影向量、向量线性运算、平面向量基底辨析、向量共线定理、向量垂直与平行的坐标运算、向量的模与夹角计算。 对应题号：3、6、9、13、15 （五）空间向量与立体几何（35分，重点模块） 核心知识点：台体体积计算、线面平行证明、面面垂直证明、异面直线所成角求解、二面角计算、空间动点轨迹、空间线段最值问题。 对应题号：5、11、19 （六）三角函数与解三角形（22分） 核心知识点：同角三角函数关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、解三角形在实际测量问题中的应用。 对应题号：8、18 四、能力层级 结合试题预估难度、学业质量水平与考查要求，将全卷试题划分为基础层级、综合层级、拓展创新层级三个能力梯度，对应不同思维与能力要求： （一）基础层级（学业质量水平1，容易题） 1.试题范围：共7道小题+1道解答题，包含单选1-5题、填空12题、解答15题，总计8道试题。 2.难度系数：0.82~0.92 3.能力要求：侧重基础知识识记、概念辨析、公式直接套用与简单运算，以单一知识点考查为主，思维难度低。主要考查基础运算求解能力、基础数据处理能力，要求学生熟练掌握课本基本内容，完成常规基础题型作答。 4.情境特点：以基础数学探究、简单生活情境为主，题干直白，无复杂转化。 （二）综合层级（学业质量水平2，适中题） 1.试题范围：单选6-8题、多选9-10题、填空13-14题、解答16-18题，总计9道试题。 2.难度系数：0.63~0.75 3.能力要求：侧重知识融合运用、逻辑推理论证、综合运算、数学建模。考查多个知识点交叉结合，要求学生具备知识迁移能力，能将生活、文化类实际问题转化为数学问题，完成多步骤推理与计算，是全卷主体题型。 4.情境特点：结合数学探究、生活实践、传统数学文化，需要学生进行简单的题意解读与模型转化。 （三）拓展创新层级（学业质量水平3，困难题） 1.试题范围：多选11题、解答19题，总计2道试题。 2.难度系数：0.38~0.40 3.能力要求：侧重高阶空间想象、复杂逻辑证明、综合运算、创新探究。试题综合性强、思维跨度大，包含空间轨迹、面面垂直、二面角、空间距离等难点内容，要求学生具备系统性思维、多角度分析问题的能力，区分学生高阶数学素养。 4.情境特点：以复杂数学探究为主，图形结构、设问方式灵活，侧重考查思维深度与创新能力。 整体关键能力考查分布 1.运算求解能力：贯穿全卷，在复数、向量、三角函数、统计、概率类试题中重点考查； 2.逻辑推理能力：集中在向量辨析、概率事件关系、立体几何证明、解三角形题型中； 3.空间想象能力：主要体现在立体几何体积、角度、轨迹、位置关系相关试题； 4.数据处理能力：聚焦统计模块，考查数据整理、特征量计算与分析； 5.应用与创新意识：体现在实际应用题、数学文化题、立体几何探究题。 五、分值分布 本试卷满分150分，考试时长120分钟，题型结构对标高考数学试卷，同时按难度、知识模块进行精细化分值划分： （一）题型分值分布 题型 题量 单题分值 总分值 单选题 8小题 5分/题 40分 多选题 3小题 6分/题 18分 填空题 3小题 5分/题 15分 解答题 5大题 — 77分 合计 19道 — 150分 解答题细分：第15题13分、第16题15分、第17题15分、第18题17分、第19题17分。 （二）难度分值分布 全卷分为容易、适中、困难三个难度档次，梯度合理，以中档题为主： 难度层级 题量 总分值 占全卷比例 整体难度系数 容易题 8道 42分 28% - 适中题 9道 92分 61.3% - 困难题 2道 16分 10.7% - 整体 19道 150分 100% 约0.72 （三）知识模块分值分布 知识模块 总分值 备注 统计 25分 涵盖数据特征、抽样、频率分布直方图 概率 22分 涵盖古典概型、独立事件、对立事件 复数 20分 涵盖复数运算、复平面几何意义 平面向量 33分 本学期重点考查模块，题型覆盖面广 空间向量与立体几何 35分 本学期重点考查模块，包含证明、计算、探究 三角函数与解三角形 22分 涵盖正余弦定理及实际应用 合计 150分 六大模块全覆盖，主干知识突出 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一数学期末考试卷多维细目表 汾阳四中 李红霞 题号 题型 知识模块 学业质量水平 考查要求（四翼） 分值 预估难度 预估区分度 情境类型 核心价值 学科素养 关键能力 必备知识 试题来源 预估作答时间 备注 1 单选题 统计 1 基础性 5 0.92 0.20 生活实践（吕梁汾阳市 AQI ） 数学应用价值 数据分析、数学运算 数据处理能力、运算求解能力 总体百分位数的估计 原创 2 分钟 容易题 2 单选题 复数 1 基础性 5 0.92 0.20 数学探究 数学理性精神 数学运算 运算求解能力 复数的除法运算；求复数的实部与虚部 改编自人教 A 版必修第二册第 80 页练习 7.2 第 3 题 2 分钟 容易题 3 单选题 平面向量 1 基础性 5 0.85 0.30 数学探究 数学理性精神 数学运算、直观想象 运算求解能力 求投影向量；平面向量数量积的几何意义 改编自人教 A 版必修第二册第 24 页习题 6.2 第 24 题 2 分钟 容易题 4 单选题 概率 1 基础性、应用性 5 0.85 0.30 生活实践（红绿灯概率） 数学应用价值 数学建模、逻辑推理 应用意识、运算求解能力 相互独立事件与互斥事件；独立事件的乘法公式；利用对立事件的概率公式求概率 原创 3 分钟 容易题 5 单选题 空间向量与立体几何 2 基础性、应用性 5 0.82 0.35 数学文化（《九章算术》方亭） 数学文化价值 数学运算、直观想象 运算求解能力、空间想象能力 台体体积的有关计算 改编自人教 A 版必修第二册第 119 页习题 8.3 第 4 题 3 分钟 容易题 6 单选题 平面向量 2 基础性、综合性 5 0.75 0.40 数学探究 数学理性精神 数学运算、逻辑推理 运算求解能力、推理论证能力 向量的线性运算的几何应用 原创 3 分钟 容易题 7 单选题 概率 2 应用性、创新性 5 0.65 0.45 数学文化（算筹计数） 数学文化价值 数学建模、逻辑推理 应用意识、创新意识 计算古典概型问题的概率 原创 4 分钟 适中题 8 单选题 三角函数与解三角形 2 应用性、综合性 5 0.65 0.45 生活实践（文峰塔高度测量） 数学应用价值 数学建模、数学运算 应用意识、运算求解能力 几何图形中的计算；高度测量问题；余弦定理解三角形 原创 4 分钟 适中题 9 多选题 平面向量 2 基础性、综合性 6 0.75 0.40 数学探究 数学理性精神 逻辑推理、数学抽象 推理论证能力 基底的概念及辨析 改编自人教 A 版必修第二册第 32 页习题 6.3 第 5 题 3 分钟 容易题 10 多选题 概率 2 综合性、应用性 6 0.65 0.45 生活实践（取鞋问题） 数学应用价值 逻辑推理、数学运算 推理论证能力、运算求解能力 写出样本空间；确定所给事件的包含关系；计算古典概型问题的概率；利用对立事件的概率公式求概率 原创 4 分钟 适中题 11 多选题 空间向量与立体几何 3 综合性、创新性 6 0.40 0.50 数学探究 数学理性精神 直观想象、逻辑推理、数学运算 空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力 立体几何中的轨迹问题；异面直线夹角的向量求法；证明线面平行；求异面直线所成的角 原创 5 分钟 困难题 12 填空题 统计 1 基础性 5 0.90 0.20 生活实践（全运会吉祥物抽样） 数学应用价值 数据分析、数学运算 数据处理能力、运算求解能力 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 原创 2 分钟 容易题 13 填空题 统计 1 基础性 5 0.82 0.35 生活实践情境 弘扬科技创新、社会主义先进文化 数学运算、数学建模 数据处理能力、运算求解能力、逻辑分析能力 古典概型的概念、随机事件概率求解 原创 4 分钟 容易题 14 填空题 统计 2 综合性、创新性 5 0.65 0.45 数学探究（骰子统计） 数学理性精神 数据分析、逻辑推理 数据处理能力、推理论证能力 计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；计算几个数的众数；计算几个数的中位数 改编自人教 A 版必修第二册第 213 页复习参考题 9 第 2 题 4 分钟 适中题 15 解答题 平面向量 2 基础性、综合性 13 0.86 0.30 数学探究 数学理性精神 数学运算、逻辑推理 运算求解能力、推理论证能力 向量夹角的坐标表示；坐标计算向量的模；向量垂直的坐标表示；由向量共线（平行）求参数 改编自人教 A 版必修第二册第 37 页习题 6.3 第 11 题 10 分钟 容易题 16 解答题 复数 2 基础性、综合性 15 0.86 0.35 数学探究 数学理性精神 数学运算、逻辑推理 运算求解能力、推理论证能力 在各象限内点对应复数的特征；根据复数对应坐标的特点求参数 原创 10 分钟 容易题 17 解答题 统计与概率 2 应用性、综合性 15 0.78 0.40 生活实践（校史知识竞答） 数学应用价值 数据分析、数学建模、数学运算 数据处理能力、应用意识、运算求解能力 由频率分布直方图估计平均数；利用对立事件的概率公式求概率 原创 12 分钟 适中题 18 解答题 三角函数与解三角形 2 综合性、应用性 17 0.63 0.45 数学探究 数学理性精神 数学运算、逻辑推理 运算求解能力、推理论证能力 正弦定理解三角形；已知正（余）弦求余（正）弦；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形 原创 15 分钟 适中题 19 解答题 空间向量与立体几何 3 综合性、创新性 17 0.38 0.50 数学探究 数学理性精神 直观想象、逻辑推理、数学运算 空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力 证明面面垂直；求二面角；证明线面平行 改编自《中学数学教学参考》2025 年第 12 期 18 分钟 困难题 整体统计说明 1.题型分值分布：单选题 40 分、多选题 18 分、填空题 15 分、解答题 77 分，总分 150 分，符合高考题型结构 2.难度分布：容易题 82分，占比 54.7%；适中题 55 分，占比 36.7%、困难题13 分，占比 8.6%，整体难度系数约 0.72 3.知识模块覆盖：统计 23 分、概率 28分、复数 20 分、平面向量 29分、立体几何 28 分、三角函数与解三角形 22 分，全面覆盖必修第二册核心内容 4.素养导向：突出数学运算（65 分）、逻辑推理（48 分）、数据分析（25 分）、直观想象（35 分）、数学建模（22 分）等核心素养的考查 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一第二学期数学期末考试卷 考试范围：人教A版必修第二册；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题(本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．吕梁汾阳市某月连续10天的AQI（空气质量指数）分别为29，32，34，36，39，50，47，66，48，78，则这组数据的第75百分位数为（ ） A．33 B．34 C．49 D．50 2．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．某校组织学生前往劳动实践基地开展农耕劳育活动，需要途经甲，乙两处路口等候红绿灯，接送大巴在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为，，方亭的高为，则方亭的体积为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 6．为缅怀革命先烈，传承红色精神，学校组织学生前往刘胡兰纪念馆开展研学活动，研学路线可抽象为平面几何图形，如图所示，在中，点是线段的中点，，以，为基底，则（ ） A． B． C． D． 7．早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字.如果用算筹随机摆出一个不含数字的两位数，且个位用纵式，十位用横式，则个位上的算筹比十位多的概率为（ ） A． B． C． D． 8．为了测量河对岸的文峰塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题(本题有3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．已知，是平面内两个不共线的向量，则下列各组向量中，能作为该平面一组基底的有（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长均为 的正三棱柱中，、E分别为 的中点，则（ ） A．E B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点 在底面上，且平面，则点的轨迹长度为 第II卷（非选择题） 三、填空题(本题有3小题，每小题5分，共15分) 12．第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 13．为弘扬科技创新精神，学校准备了 2 张航天主题、2 张人工智能主题的科普宣传海报，现从中随机抽取 2 张，则抽到的两张海报为不同主题的概率是________。 14．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的同学是________ 甲．平均数为，中位数为             乙．中位数为，众数为 丙．平均数为，方差为             丁．中位数为，方差为 四、解答题(本题有5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（本题13分）已知向量，． (1)若，求； (2)若，，求与夹角的余弦值． 16．（本题15分）在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在的图象上 17． （本题15分）为丰富校园文化艺术氛围，落实校园美育工作，该校举办校园原创美术作品征集评比活动。活动结束后，学校教研处随机抽取了校内100名学生（男生、女生各50人）的参赛美术作品进行统一匿名评分，所有作品评分分数构成统计样本，具体评分分数分布统计结果如下图所示。 (1)请根据频率分布直方图，估计样本数据的平均数、中位数；（中位数保留两位小数） (2)若成绩不低于分为“优秀”，这个样本数据中成绩为优秀的女生为人，视频率为概率，从该校随机抽取一名男生，一名女生，求名学生中至少有一个优秀的概率． 18．（本题17分）在中， (1)求； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的值． ①；②；③面积为． 19．（本题17分）如图，在三棱台中，底面ABC满足，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度第二学期高一数学期末考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B D B C C ABD BCD 题号 11 答案 ABD 1．D 【难度】0.92 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】数据从小到大重新排列为29，32，34，36，39，47，48，50，66，78， 因为，由百分位数的定义可知：这组数据的第75百分位数是第8个数据50. 2．B 【难度】0.92 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】已知复数， 则， 所以的虚部为. 3．A 【难度】0.85 【知识点】平面向量数量积的几何意义、求投影向量 【分析】由一个向量在另一个向量上的投影数量公式求解即可. 【详解】因为，且， 由向量投影的定义，向量在向量上的投影向量为：. 4．B 【难度】0.85 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据独立事件概率乘积公式结合互斥事件概率和公式计算求解. 【详解】在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，， 则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为. 故选：B. 5．D 【难度】0.82 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据台体体积公式求得正确答案. 【详解】上底面周长为4，边长为1，面积为. 下底面周长为8，边长为2，面积为. 所以方亭的体积为. 6．B 【难度】0.75 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【详解】由题意可知： 7．C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种， 所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为. 则个位上的算筹比十位多的概率为. 8．C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题、几何图形中的计算 【详解】设塔高为，已知平面，则均为直角三角形， 已知，则，故， 已知，则， 由余弦定理得，即 ，解得． 9． ABD 【难度】0.75 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】平面内两个向量能作为一组基底的充要条件是两向量不共线，结合已知，不共线，通过反证法判断各组向量是否共线即可。 【详解】对于A：假设和共线，则存在实数满足，整理得，与，不共线矛盾，故两向量不共线，可作为基底。 对于B：假设和共线，则存在实数满足，整理得， 由，不共线可得，方程组无解，故两向量不共线，可作为基底。 对于C：显然，两向量共线，不能作为基底。 对于D：假设和共线，则存在实数满足，整理得， 由，不共线可得，方程组无解，故两向量不共线，可作为基底。 10．BCD 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的包含关系、利用对立事件的概率公式求概率、写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意列出事件的情况总数，然后逐项计算判断即可. 【详解】设左脚运动鞋为C，右脚运动鞋为，左脚凉鞋为D，右脚凉鞋为， 则， 所以，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 11．ABD 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、立体几何中的轨迹问题、证明线面平行、异面直线夹角的向量求法 【分析】先证平面，即可判断A；先证为异面直线与所成的角或其补角，再解三角形即可判断B，取，分别为，的中点，取，，即可判断C，先证平面 平面，得出点P的轨迹为线段，即可判断D. 【详解】对于A，如下图，连接，易得， 因为平面，平面,所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以 ，A正确； 对于B，如下图，连接， 由题可得，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，如下图，若，，分别为,，的中点，连接和， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又因平面，平面，则，同理可得， 因,则，又因，平面, 则平面,又平面,则， 因,故，即是异面直线 的公垂线段， 故此时的最小值为，C错误； 对于D，如图，取的中点E，连接，，， 易得 ， ，由线面平行的判定定理可得平面，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为点P在底面上运动，且平面， 所以点P的轨迹为线段，所以点P的轨迹长度为，D正确. 12．9 【难度】0.9 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层随机抽样的比例即可得到答案. 【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为20、15和10， 已知“喜洋洋”抽取了4只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为， 因此，样本总量. 13． 【难度】0.82 【知识点】古典概型计算概率 【详解】基本事件总数为6，符合要求的事件数为4.所求概率： 14．丙 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的众数、计算几个数的平均数 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除甲乙丁，由假设推理判断丙． 【详解】对于甲，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故甲错误； 对于乙，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故乙错误； 对于丙，若出现6点，因为平均数为2，则方差， 则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故丙正确； 对于丁，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故丁错误； 故答案为：丙． 15．(1) (2)． 【难度】0.86 【知识点】向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【分析】（1）由向量垂直关系求得，再由模长公式即可求解； （2）由平行关系求得，再由夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，解得，……………………………………………………3分 则，……………………………………………………………………………4分 故．……………………………………………………………………………6分 （2）因为，所以，………………………………………………8分 解得，…………………………………………………………………………………9分 则，………………………………………………………………………………10分 所以，………………………………………………12分 即与夹角的余弦值为．…………………………………………………………………13分 16．(1)或 (2) (3) 【难度】0.82 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、根据复数对应坐标的特点求参数、已知复数的类型求参数 【详解】（1）由复数对应的点在虚轴上，则，…………………………3分 即，则或；……………………………………………5分 （2） 由复数对应的点在第二象限，则，……………………………8分 即，则；…………………………………………………10分 （3） 由复数对应的点在的图象上，则，…………13分 即，则.………………………………………………………………………15分 17．(1)73；73.33 (2) 【难度】0.78 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用各组中点值乘以对应频率求和即可估计平均数，注意频率之和为1； （2）先根据样本优秀率求出男生优秀人数，进而得到男生、女生优秀的概率，利用对立事件概率公式求解． 【详解】（1）依题意， 平均数==73 故估计样本数据的平均数为73．……………………………………………………………4分 ∵[40,70]的频率为0.05+0.25+0.2=0.4；[40,80]的频率为0.05+0.25+0.2+0.3=0.7。 ∴中位数位于[70,80]，且中位数为 故估计样本数据的中位数为73.33…………………………………………………………8分 （2）由（1）可知，样本中成绩不低于70分（即优秀）的频率为． 所以样本中成绩优秀的人数为（人）．………………………………10分 因为样本中成绩为优秀的女生为30人， 所以样本中成绩为优秀的男生人数为（人）． 因为男生、女生各50人， 所以从该校随机抽取一名男生，其成绩优秀的概率； 从该校随机抽取一名女生，其成绩优秀的概率．………………………12分 设“2名学生中至少有一个优秀”为事件C， 则………………………………………………………14分 ． 故2名学生中至少有一个优秀的概率为．………………………………………………15分 18．(1) (2)选①时不存在；选②时；选③时. 【难度】0.63 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理可求边. （2）选①，利用等边对等角，判断不存在； 选②，先利用正弦定理求边，再利用余弦定理求边，最后利用正弦定理求； 选③，先利用三角形的面积公式求边，再利用余弦定理求边，最后利用正弦定理求. 【详解】（1）由，且A为三角形内角，所以.……3分 根据正弦定理，.……………………………………6分 （2）选①，因为，所以A为钝角. 又，则都为钝角，这样的三角形不存在.…………………………………9分 选②，由.……………………12分 由余弦定理，.……14分 所以.………………………………………………………………………………15分 由正弦定理，，此时C为锐角，存在.…………17分 选③，由，所以.…………………………12分 由余弦定理，，…14分 所以.………………………………………………………………………………15分 由正弦定理，，此时C为锐角，存在.…………17分 19．【难度】0.38 【知识点】证明面面垂直、求二面角、证明线面平行 【分析】（1）记的交点为D，的交点为E，连接，利用相似比证明，结合线面平行判定定理即可得证； （2）利用直线平行的传递性和勾股定理证明和，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证； （3）利用（2）判断两平面的夹角，然后利用余弦定理直接计算，再结合平方关系即可求得正弦值. 详解： (1)证明：记的交点为D，的交点为E，连接， 因为是三角形的中线，所以， 因为，所以，所以， 所以，………………………………………………………………………………2分 所以，………………………………………………………………………………3分 因为平面，平面，所以平面.……………………4分 (2)证明：由（1）可知，，，所以，所以，……5分 因为，所以，……………………………………………………………6分 因为M，N分别为的中点，所以，且， 所以，所以， 因为，所以，所以，， 所以，所以， 所以，………………………………………………………………………………8分 又是平面内的相交直线，所以平面，…………………………9分 又平面，所以平面平面.………………………………………10分 （3）由（2）知，，，…………………………………………………11分 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角，……………………………12分 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以，………14分 所以，则，…15分 又，， 所以，………………………………………………16分 因为，所以即为平面与平面的夹角， 所以.………………………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $