第09讲 二次函数y＝a（x－h）²与y＝a（x－h）²＋k的图象和性质（暑假预习跟踪训练）2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数顶点式图象性质，按“基础认知-能力提升-综合应用”分层，通过选择、填空、解答题递进，强化从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|顶点坐标、对称轴、开口方向|以选择题为主（如题型1第3题），直接考查概念辨析| |能力提升|最值计算、平移规律、点坐标比较|填空题与解答题结合（如题型4第18题平移描述），强化推理应用| |综合应用|参数讨论、跨知识点整合|课后作业综合题（如第17题含参数函数平移），提升模型观念|

第09讲 二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 二次函数y＝a（x-h）2的图象和性质】 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 2．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 3．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是关键；抛物线方程为顶点形式，直接根据顶点式公式写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选 C． 4．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 抛物线的二次项系数为正，开口向上，顶点为是最小值点；向左平移1个单位得；当时，随增大而增大． 【详解】解：∵中， ∴开口向上，A正确； ∵ ∴顶点坐标为， ∴当时，取最小值，C正确； 将抛物线向左平移1个单位，替换为， 得，D正确； 当时，，且随增大而增大，随增大而增大，故B错误． 故选：B． 5．已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【答案】(1)此抛物线的解析式为 (2)①向上；；；②；③，小， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 【详解】（1）解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为：； （2）①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 【题型2 二次函数y＝a（x-h）2的最值问题】 6．二次函数的最大值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值问题，解答时根据二次函数的图象的顶点坐标和开口方向进行解答． 【详解】解：∵二次函数的解析式是， ∴该抛物线开口方向向下，且顶点坐标是， ∴二次函数的最大值为0， 故选：B 7．已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为_______． 【答案】1或6 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值， ①当时，则：当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ②当时，则当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ③当时，则：当时，函数有最大值为：，不符合题意； 故答案为：1或6． 8．在二次函数中． (1)若函数图象过点，则的值为 ； (2)当时，有最小值为，求的值． 【答案】(1)或； (2)的值为或． 【分析】（）把点代入二次函数解析式，然后解一元二次方程即可； （）由函数得抛物线对称轴为直线，然后分当时当时当时三种情况分析即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴，整理得： 解得：，， 故答案为：或； （2）解：由函数， ∴抛物线对称轴为直线， 当时， 即时有最小值， ∴，解得：， ∴； 当时， 即时有最小值， ∴不符合题意； 当时， 即时有最小值， ∴，解得：或， ∴； 综上可知：的值为或． 9．已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 【答案】 0 6或1/1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 10．已知函数，请在下面的网格中画出函数图象，并根据图象回答下列问题： （1）当时，求y的取值范围． （2）当时，y的取值范围是多少？ 【答案】函数的图象如图所示． （1）y的取值范围是． （2）y的取值范围是． 【分析】描点、连线作出图象即可； （1）根据图象即可求得； （2）根据图象即可求得． 【详解】解：由函数可知顶点为，对称轴为， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 将在坐标系内描出、连线， 图象如图所示， （1）由图象可知，当时，的取值范围是； （2）由图象可知，当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，确定二次函数的顶点坐标以及对称轴是解决有关二次函数的题目的关键． 【题型3 二次函数y＝a（x-h）2的图象上点的坐标特征】 11．已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解析式知抛物线开口向下，对称轴，可判断点与对称轴的距离较点与对称轴的距离远，于是． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵， ∴点与对称轴的距离较点与对称轴的距离远． ∴． 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的性质，根据对称轴及点坐标判断点与对称轴距离的大小关系是解题的关键． 12．已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大， 点A到对称轴的距离为， 点B到对称轴的距离为， 点C到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大． 13．已知抛物线上的两点，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线可得对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为，根据时，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为， 当时，，且随的增大而减小， ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 14．点都在二次函数的图像上．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图像与性质，由当时，对称轴，可知当时，对称轴，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线的开口向上，对称轴为， 点都在二次函数的图像上，且， ，即，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，理解利用二次函数图像与性质比较大小的方法是解决问题的关键． 15．已知点在抛物线上，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先根据抛物线的开口方向以及图象上点的坐标和,将各点代入，进而得出的取值范围. 【详解】分别将点代入得: ，， ， 因为， 所以， 解之的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，根据已知得出不等式组进而得出取值范围是解题关键. 【题型4 二次函数y＝a（x-h）2的图象平移规律】 16．在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 17．将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点的坐标．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线， ∴将点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为， 故答案为：． 18．抛物线可以看成由抛物线向______平移______个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线______，顶点坐标是______． 【答案】 右 1 【分析】根据二次函数图像的平移及定点式的性质即可得到答案． 【详解】解：抛物线可以看成由抛物线向右平移1个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：右，1，，． 【点睛】本题考查二次函数图像的平移法则及顶点式的性质，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 19．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、平移规律及增减性即可． 【详解】解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误； 顶点式为，对称轴为直线，选项B错误； 原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误； 开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确； 故选：D ． 20．已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【题型5 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象和性质】 21．抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 22．二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】二次函数顶点式的对称轴为直线，直接根据顶点式即可得出结果． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故选：A． 23．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，y的最大值是3 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的相关性质（对称轴、顶点坐标、开口方向与增减性、最值的关系）判断各选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， ∴对称轴为直线，故A选项错误， 顶点坐标为，故B选项错误， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取得最大值，故C选项正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，故D选项错误， 故选：C． 24．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 25．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C．当时，随的增大而减小 D．当时，有最大值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，从解析式中准确提取信息是解题关键． 根据中、、的意义，结合抛物线的开口方向、平移规律、增减性及最值来逐一判断选项． 【详解】解：抛物线的解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， 对于选项：∵， ∴抛物线开口向上，选项正确； 对于选项：根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，向右平移个单位得，再向下平移个单位得，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，顶点为最低点， ∴当时，有最小值，而非最大值，选项错误． 故选：． 【题型6 二次函数y＝a（x-h）2+k的最值问题】 26．二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 27．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】已知二次函数为顶点式，可根据开口方向直接确定函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴二次项系数，二次函数开口向下，函数存在最大值， ∵顶点式的顶点坐标为，该函数顶点坐标为， ∴的最大值为． 28．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象得函数的最值是解题的关键．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为：直线， 又∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， 时，y有最小值，， 故选：B． 29．已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，掌握根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据二次函数的开口方向和对称轴，得到函数的增减性，分类讨论h的取值范围，利用函数在的范围上的最大值为列方程，即可求解． 【详解】解： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，二次函数在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； ②若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大，在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值，最大值为0，不合题意； ③若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； 综上所述，常数h的值为或． 故答案为：或． 30．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 【题型7 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象上点的坐标特征】 31．若二次函数的图象过三点，则的大小关系是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较． 求出，，，进而比较即可． 【详解】解：对于点，； 对于点，； 对于点，； 故，，， 因此． 故答案为：． 32．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据二次函数解析式，分别计算三个点的纵坐标，再比较大小． 【详解】解：点，，都在二次函数的图象上， 对于点 ，， 对于点 ，， 对于点 ，， ， . 故选：D． 33．抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由于抛物线开口向上，比较各点与对称轴的距离即可判断值大小． 【详解】解：抛物线 开口向上，对称轴为直线， 点离对称轴越远，值越大， 对于，与对称轴的距离为， 对于，与对称轴的距离为， 对于，与对称轴的距离为， ， 故选：B． 34．已知点在抛物线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，抛物线开口向下，图象上的点离对称轴越近，其纵坐标越大，由此即可解答． 【详解】解：∵开口向下，对称轴， ∴离对称轴越近，相对应的y值越大， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 35．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．若点，在抛物线上，则 D．抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，涉及顶点坐标、增减性、函数值比较及平移规律．关键要点：①二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线；②当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大；③比较函数值可通过计算或点到对称轴的距离判断；④平移遵循“左加右减，上加下减”的规则． 【详解】解：对于选项A，∵二次函数， ∴顶点坐标为，A选项正确； ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，B选项正确； 将代入抛物线解析式得，；将代入得，，∵， ∴，故C选项错误； 抛物线向右平移1个单位，得平移后的解析式为，D选项正确； 故选：C． 【题型8 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象平移规律】 36．将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的新图象的顶点坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向上平移个单位长度， ∴新图象解析式为：， ∴新图象的顶点坐标是． 故选：B． 37．将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，抛物线平移时，向下平移改变y值，向左平移改变x值，先求原顶点坐标，再根据平移方向计算新顶点，最后写出新解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线 的顶点为 ， ∴ 向下平移4个单位后，顶点变为 ， ∴ 再向左平移3个单位后，顶点变为 ， ∴ 新抛物线的解析式为 ， 故选A． 38．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减； 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线， 再向上平移1个单位长度，得到抛物线， ∴得到新的抛物线的解析式是， 故选：C． 39．将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的平移、二次函数的性质，根据二次函数图像平移的法则“左加右减，上加下减”，先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，原函数的顶点相应平移，即可得到新抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为， ∴所得抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 40．二次函数的图象向左平移2个单位后得到的二次函数图象的顶点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键． 根据函数图像平移规律，得到新函数解析式，进而即可得到平移后的顶点坐标． 【详解】解：由题意得，将向左平移2个单位， ∴平移后的函数解析式为， ∴新顶点坐标为． 故答案为：． 课后作业 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 根据形式为 的抛物线，顶点坐标为，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为． 故选：A． 2．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 4．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴； 故选D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数图象的开口向上、顶点的纵坐标为进行判断即可得． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴这个二次函数图象的开口向上、顶点的纵坐标为， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 6．对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】的基本特征：对称轴为直线，顶点坐标为；当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，且在对称轴右侧()，随的增大而减小．解题思路是根据这些性质逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：已知抛物线的解析式为， 对于选项A：根据顶点式性质，抛物线的对称轴为直线，该说法正确； 对于选项B：顶点式对应的顶点坐标为，该说法正确； 对于选项C：， 抛物线开口向下，在时取得最大值．该说法错误； 对于选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，该说法正确． 综上，说法错误的是选项C． 7．二次函数的图象的顶点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】的顶点坐标为，求出顶点坐标后，根据象限内点的坐标特征即可判断． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，该点在第四象限． 8．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 9．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 10．已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， 当时，， 解得或， 抛物线与轴的两个交点坐标为：，， 当，，时，， ． 11．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得． 12．二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，两个函数的交点坐标，再画出两个函数的大致图象，然后结合函数图象逐个分析即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 联立，解得或， 即二次函数与一次函数的两个交点坐标为和， 当时，画出两个函数的大致图象如下： 则由函数图象可知，当时，，命题①正确； 当时，，命题②正确； 当时，，命题③正确； 当时，若，则；若，则；若，则；命题④错误； 综上，正确的命题个数为3个， 故选：C． 13．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】已知二次函数的顶点坐标，可采用待定系数法设出抛物线的顶点式，代入顶点坐标后，将已知点代入解析式求出参数a的值，进而得到二次函数的解析式． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 这个二次函数的解析式为． 14．若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是______（用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性和增减性；确定抛物线的对称轴，利用对称性把点C变为关于对称轴对称的另一点，利用函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的另一点， ∵二次项系数为负， ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 15．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是_______（写出一个符合要求的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，随着的增大而减小，可得的取值范围． 【详解】解：二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴ ∴的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． 16．若点、在抛物线的图象上，且，则m与n的大小关系为______． 【答案】/ 【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由抛物线可得，，开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 17．已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 【答案】(1)1 (2) (3)A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，得出关于m的方程，据此进行求解即可； （2）根据题意，结合m的范围进行计算即可求n的取值范围； （3）对m的取值范围进行分类讨论，据此进行判断即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移4个单位后得到函数， 点平移后对应点的坐标为， 新图象对称轴是直线，顶点坐标是； ，， 故答案为：1； （2）当时， 时，， 将代入，， ， 时，， 将代入，， ， n的取值范围为； （3）解：因为函数的对称轴为直线且开口向上， 所以当时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标． 当时，； 当时，， 又因为， 所以当时，， 则随的增大而增大； 当时，， 所以随的增大而增大，所以A选项符合题意． 故答案为：A． 18．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，最大值为 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平移规则，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象，进行求解即可； （2）根据顶点式的图象和性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 19．已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围__________． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 20．已知二次函数 ． (1)用配方法将 化为 的形式； (2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)当 取何值时， 随 的增大而减小？ 【答案】(1) (2)开口向上，顶点 ，对称轴 (3)当时，随增大而减小 【分析】（1）用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可； （2）根据的正负，以及顶点式特征，可得开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）根据二次函数图象特征，可得当时，随增大而减小． 【详解】（1）； （2），， 图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； （3），，对称轴为直线， 当时，随增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数，掌握相关知识是解题的关键． 21．已知二次函数 (1)若该函数的图象经过点求二次函数的解析式； (2)若点和是该函数图象上的两个点 ①当时，求m的取值范围； ②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将点代入，用待定系数法求解即可； （2）①将和代入得，由得：，再求解即可； ②因为点和在对称轴的两侧，所以：，解得．在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1，所以最大值为0，且最大值在端点或处取得．再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得： 解得， 所以二次函数解析式为； （2）解：①点和在图象上，则： ， 由得：， 两边消去并除以正数得：， 展开得，化简得：， ， ， 所以的取值范围是； ②因为点和在对称轴的两侧，所以：， 解得． 在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1， 所以最大值为0，且最大值在端点或处取得． 情况一：当时取得最大值0则：， 解得．同时，当时函数值不超过0：， 代入得：， 因为，两边乘以得： 展开化简得， 即． 结合，得． 此时，当从增大到时，从增大到（因为且可取）， 所以． 情况二：当时取得最大值0则：， 解得． 同时，当时函数值不超过0：， 代入得：， 因为，两边乘以得：， 展开化简得， 即． 结合，得． 此时，当从增大到2时，从减小到（因为且可取）， 所以． 综合两种情况，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． 试卷第38页，共38页 试卷第37页，共38页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 二次函数y＝a（x-h）2的图象和性质】 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B．C． D． 2．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 5．已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【题型2 二次函数y＝a（x-h）2的最值问题】 6．二次函数的最大值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 7．已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为_______． 8．在二次函数中． (1)若函数图象过点，则的值为 ； (2)当时，有最小值为，求的值． 9．已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 10．已知函数，请在下面的网格中画出函数图象，并根据图象回答下列问题： （1）当时，求y的取值范围． （2）当时，y的取值范围是多少？ 【题型3 二次函数y＝a（x-h）2的图象上点的坐标特征】 11．已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　） A． B． C． D． 13．已知抛物线上的两点，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 14．点都在二次函数的图像上．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知点在抛物线上，且，则的取值范围是______． 【题型4 二次函数y＝a（x-h）2的图象平移规律】 16．在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 17．将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为______． 18．抛物线可以看成由抛物线向______平移______个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线______，顶点坐标是______． 19．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 20．已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【题型5 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象和性质】 21．抛物线的顶点坐标为_______ 22．二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 23．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，y的最大值是3 D．当时，y随x的增大而增大 24．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 25．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C．当时，随的增大而减小 D．当时，有最大值 【题型6 二次函数y＝a（x-h）2+k的最值问题】 26．二次函数的最小值为__________． 27．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 28．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 29．已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 30．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【题型7 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象上点的坐标特征】 31．若二次函数的图象过三点，则的大小关系是_____． 32．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 33．抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 34．已知点在抛物线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 35．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．若点，在抛物线上，则 D．抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线 【题型8 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象平移规律】 36．将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的新图象的顶点坐标是（   ）． A． B． C． D． 37．将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 38．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 39．将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点为______． 40．二次函数的图象向左平移2个单位后得到的二次函数图象的顶点坐标为___________． 课后作业 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 4．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A． B．C． D． 6．对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 7．二次函数的图象的顶点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 8．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 9．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 10．已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 12．二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 14．若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是______（用“<”连接）． 15．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是_______（写出一个符合要求的值即可）． 16．若点、在抛物线的图象上，且，则m与n的大小关系为______． 17．已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 18．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 19．已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围__________． 20．已知二次函数 ． (1)用配方法将 化为 的形式； (2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)当 取何值时， 随 的增大而减小？ 21．已知二次函数 (1)若该函数的图象经过点求二次函数的解析式； (2)若点和是该函数图象上的两个点 ①当时，求m的取值范围； ②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $