精品解析：天津市红桥区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学 一、选择题（本大题共18个小题，每小题3分，共54分．每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 把化成弧度为（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. R 7. 下列函数中是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的底面半径为2，高为1，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 9. i是虚数单位，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. i是虚数单位，复数，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 1 12. 为了得到函数，的图象，只需将上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 13. 在平行四边形中，，，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 14. 在件产品中有件一等品，件二等品，从中随机取出两件，则其中至少有一件一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.9 16. 三个数，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 17. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. (1，2) B. (2，3) C. (3，4) D. (4，5) 18. 某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，且成绩为整数，并统计如下，则下列说法不一定正确的是（ ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A. 这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的第50百分位数大于85 C. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在85至90之间 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案填在答题卡上．） 19. 函数的最大值为________. 20. 为虚数单位，复数______． 21. 学校准备举办王者荣耀比赛，从24名最强王者，16名无双王者，8名荣耀王者中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取最强王者的人数是________． 22. 在中，，，，则 ． 23. 已知分段函数，，则实数________． 24. 设函数，满足，且对任意实数x均有，当时，若是单调函数，则实数k的取值范围为________． 三、解答题（本大题6个小题，每小题10分，共72分．请将答案直接答在答题卡上．） 25. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 26. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求的值； （2）求值； 27. 已知向量， （1）求，，的坐标； （2）求，的值； （3）设与的夹角为，求的值． 28. 如图，正方体中，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 29. 在如图多面体中，底面，，，是的中点. （1）平面； （2）平面. 30. 设函数是定义在上的偶函数，且当时，. （1）求的解析式； （2）若函数，求函数的最小值； （3）已知是函数的最小值，若，解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题（本大题共18个小题，每小题3分，共54分．每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合，所以. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求解不等式即可. 【详解】不等式的解集为，故B正确. 3. 把化成弧度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】所以. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用诱导公式和特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】. 故选：A. 5. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定直接得出结果. 【详解】因为“，”的否定是“，”， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：C 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. R 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 7. 下列函数中是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的定义逐项判断. 【详解】对于A：的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，A错误； 对于B：的定义域为，，故不是偶函数，B错误； 对于C：的定义域为，，故是偶函数，C正确； 对于D：的定义域为，，故是奇函数，D错误. 8. 已知圆锥的底面半径为2，高为1，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式即可求解. 【详解】 9. i是虚数单位，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】已知复数，其共轭复数为，对应的坐标为，在第四象限. 10. i是虚数单位，复数，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则，先求得，然后根据复数求模公式即可求解 【详解】因为, 所以. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以. 12. 为了得到函数，的图象，只需将上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图像的平移变换即可求解. 【详解】将上所有的点向左平行移动个单位长度得函数. 13. 在平行四边形中，，，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 14. 在件产品中有件一等品，件二等品，从中随机取出两件，则其中至少有一件一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出随机取出两件以及随机取出两件，其中至少有一件一等品的种数，然后利用古典概型直接求概率即可. 【详解】由题知，随机取出两件的种数为， 且其中至少有一件一等品的种数为， 所以从中随机取出两件，则其中至少有一件一等品的概率为. 15. 某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.9 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知一次射击中不够8环与射中10环或9环或8环是对立事件，利用对立事件的概率公式求解即可 【详解】解：因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1. 所以在一次射击中不够8环的概率为， 故选：A 16. 三个数，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数性质可得，，即可判断. 【详解】即，即， 即，故，即. 17. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. (1，2) B. (2，3) C. (3，4) D. (4，5) 【答案】B 【解析】 【分析】求出各区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得解. 【详解】解：函数在是连续不断的， 由， ， 所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：B. 18. 某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，且成绩为整数，并统计如下，则下列说法不一定正确的是（ ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A. 这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的第50百分位数大于85 C. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在85至90之间 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数如下， 为，故A正确； 选项B：成绩不超过85的学生人数为，故B正确； 选项C：成绩分布在的人数为30，但不一定成绩的众数为85，故C错误； 选项D：由于， 且， 则这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在85至90之间，故D正确. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案填在答题卡上．） 19. 函数的最大值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】算出的最大值即可计算出的最大值. 【详解】因为的最大值为， 所以的最大值为3. 故答案为：. 20. 为虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算． 【详解】． 故答案为：． 21. 学校准备举办王者荣耀比赛，从24名最强王者，16名无双王者，8名荣耀王者中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取最强王者的人数是________． 【答案】3 【解析】 【详解】抽取最强王者的人数是. 22. 在中，，，，则 ． 【答案】 【解析】 【详解】分析：直接利用正弦定理求∠C. 详解：由正弦定理得 因为AB＜BC，所以∠C＜∠A=,所以.故答案为. 点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2) 解三角形如果出现多解，要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验. 23. 已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【解析】 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 24. 设函数，满足，且对任意实数x均有，当时，若是单调函数，则实数k的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，然后根据二次函数的单调性求出结果. 【详解】因为，所以，即， 因为对任意实数x均有，所以，即. 解得. 所以函数的表达式为，所以. 设，要使得是上的单调函数，只要 或或或 解得或. 三、解答题（本大题6个小题，每小题10分，共72分．请将答案直接答在答题卡上．） 25. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系直接求解即可； （2）直接根据二倍角公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 【小问2详解】 解：因为， 所以 26. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求的值； （2）求值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理可得，又由，可得，由余弦定理求解即可； （2）根据（1）的结论，求出、的值，再由两角和的正弦公式展开求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， ， 所以，， 所以. 27. 已知向量， （1）求，，的坐标； （2）求，的值； （3）设与的夹角为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数乘和加法的坐标运算规则求出，，； （2）利用模长的坐标公式计算，向量数量积的坐标运算规则求出； （3）利用向量夹角的余弦公式，先分别计算和，再代入公式求解. 【小问1详解】 ，，. 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 . 28. 如图，正方体中，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，然后利用中位线证得线线平行，然后利用线面平行的判定证得结论； （2）利用线面垂直的性质定理结合线面垂直的判定定理即可证得结论. 【小问1详解】 因为且，则四边形为平行四边形，故, 因为、分别是、的中点.， 所以， 所以, 又平面， 平面， 则平面； 【小问2详解】 正方体中，因为底面， 且平面， 所以， 又， 且，平面 则平面. 29. 在如图多面体中，底面，，，是的中点. （1）平面； （2）平面. 【答案】（1）已知，，是中点， 因此且，可得四边形是平行四边形，故. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得平面. （2）已知，， 因此且，可得四边形是平行四边形， 又，邻边相等的平行四边形是菱形， 因此菱形的对角线互相垂直，得， 已知，，因此四边形是平行四边形， 故，又底面，底面， 因此，进而得， 因为，且平面， 结合、， 根据线面垂直的判定定理，得：平面. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理在平面内找一直线与平行即可，只证； （2）欲证平面只需在平面内找到两条相交的直线都与垂直即可，关键证明和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 30. 设函数是定义在上的偶函数，且当时，. （1）求的解析式； （2）若函数，求函数的最小值； （3）已知是函数的最小值，若，解不等式. 【答案】（1） （2），； （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可求得解析式； （2）由题意可知时函数的解析式，代入中，求得的解析式为含有参数的二次函数，在对二次函数的对称轴分别在区间的左边，右边，中间三种情况分类讨论，即可求得函数的最值； （3）先求出函数的最小值，再因式分解，对根分类讨论即可. 【小问1详解】 函数是定义在上的偶函数，且当时，， 所以当时，，， 所以. 【小问2详解】 函数， 当时，即，在递增，可得； 当时，即，； 当时，即时，在递减，可得. 综上的最小值. 【小问3详解】 由题易知， 整理不等式可得， 当时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上所述：①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $