专题02 认识有理数 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册.

专题02认识有理数 暑假预习讲义 ✺知识框架 本节从生活相反意义量引入负数，扩充数系，明确正数、负数与0的定义；完善有理数的标准分类，借助数轴搭建数形结合几何模型，通过相反数、绝对值刻画有理数的位置特征与数量属性，最终落实有理数大小比较方法，形成完整闭环知识体系。 ✺学习目标 基础认知：识别生活中相反意义的量，掌握正数、负数及0的定义与实际意义，理解负数的引入价值。 核心理解：掌握有理数的概念，熟练运用两种标准完成有理数分类，厘清各类数的从属关系。 工具运用：熟记数轴三要素，规范绘制数轴，实现有理数与数轴上点的双向对应。 性质掌握：理解相反数、绝对值的代数意义与几何意义，能准确求解任意有理数的相反数和绝对值。 能力应用：掌握数轴法、法则法两种有理数大小比较方法，突破负数大小比较难点。 ✺题型归纳 题型1.正负数的定义 题型2.相反意义的量 题型3.正负数的实际应用 题型4.有理数的定义 题型5.0的意义 题型6.有理数的分类 题型7.带“非”字的有理数 题型8.数轴的三要素及其画法 题型9.用数轴上的点表示有理数 题型10.利用数轴比较有理数的大小 题型11.数轴上点的平移（动点问题） 题型12.数轴上找原点 题型13.数轴上整点覆盖问题 题型14.数轴上的规律探究 题型15.相反数的定义 题型16.化简多重符号 题型17.相反数的应用 题型18.绝对值的几何意义 题型19.求一个数的绝对值 题型20.绝对值非负性 题型21.绝对值的其他应用 题型22.有理数大小比较 题型23.有理数大小比较的实际应用 题型24.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、相反意义的量 用正数、负数表示具有相反意义的量 1.具有相反意义的量 在用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正是可以任意选择的。当已知一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用负数表示；反之，亦然。 2. 具有相反意义的量的表述 描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降、增加与减少、盈利与亏损、收入与支出等。常见的相反意义的量表示如下： 零上和零下：零上5℃， 记作+5℃；零下7℃，记作-7℃ 上升和下降：上升10m，记作 +10m；下降6m，记作 -6m 收入和支出：收入100元，记作 +100元；支出100元，记作 -100元 增产和减产：增产20吨，记作 +20吨；减产16吨，记作 -16吨 ★【核心归纳】◆定基准：明确“正方向”意义（如上升、收入）． ◆成对出现：意义相反（如上升5米与下降3米），数值可不同． ◆辨无关：不是所有正负数都是相反意义，需描述方向或属性对立 知识点二、正数、负数与0的概念 1.正数：大于0的数叫做正数，正数前的“+”号可省略不写。 2.负数：在正数前添加负号“-”的数，负数小于0，负号不可省略。 3. 0的特殊性质： 0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点； 0属于整数、自然数； 0既可表示“没有”，也可表示客观基准（0℃、海平面0米）。 【易错提醒】：0既不是正数也不是负数．带“+”号不一定是正数（如+（-5）），带“-”号不一定是负数（如-（-6）） 知识点三、有理数的定义与分类 1.有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。 注意：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数． 2. 有理数的分类 按正数、0和负数的关系分类： 按整数和分数的关系分类： 知识点四、数轴 1.定义:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 2.三要素（缺一不可）： 原点：数轴上表示0的基准点； 正方向：统一规定向右为正方向，需标注箭头； 单位长度:数轴上统一、均等的线段长度。 分数或小数也可以用数轴上的点表示 3.数与点的对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 4.分布规律：原点右侧的点对应正数，左侧的点对应负数，原点对应0。 知识点五、相反数 1.定义：像3和﹣3,6和﹣6这样，只有符号不同的两个数，互为相反数。 2.几何定义：数轴上位于原点两侧，且到原点距离相等的两个点所对应的数。 3.特殊规定：0的相反数是0。 4.核心性质：任何一个数都有相反数。任意数a的相反数是-a（a可为正数、负数、0）； 正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0. ⚠️ 易错点：-a不一定是负数，当a为负数时，-a为正数。 知识点六、绝对值 1.概念：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值．记作｜a｜. 2.代数意义：①一个正数的绝对值是它的本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0． 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a． 注意：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数． 4.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小 5.性质：绝对值是a （a＞0） 的数有2个，他们互为相反数．即±a． 6.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0． 知识点七、有理数的大小比较 1.数轴比较法：数轴上右侧的数始终大于左侧的数（右大左小）。 2. 法则比较法： 正数>0>负数，正数大于一切负数； 两个正数比较，绝对值大的数更大； 两个负数比较，绝对值大的数反而小。 ✺题型◆精讲 题型1.正负数的定义 1．下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“小于的数是负数”，判断各选项数值与的大小关系即可得到答案． 【详解】根据定义，小于的数是负数， A、，是负数，符合题意； B、既不是正数也不是负数，不符合题意； C、，是正数，不符合题意； D、，是正数，不符合题意． 2．在、、、中，负数有___________个． 【答案】 【分析】依据负数的定义，找出所有小于的有理数，统计其数量即可． 【详解】解：在、、、中， ，，， 这三个数为负数，其余数中、、是正数，既不是正数也不是负数． 故负数有个． 3．请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【答案】，19，，，都是正数；，，都是负数 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：在这些数中，正数：，19，，，； 负数：，，． 题型2.相反意义的量 1．5月12日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，将卫星精准送入预定轨道，发射任务圆满成功．若向上飞行5千米记作千米，向下降落3千米记作（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】根据“正”“负”的相对性，确定相反意义的量的表示方法． 【详解】解：∵题目规定向上飞行记为正，向下与向上是一对相反意义的量， ∴向下降落应记为负， ∴向下降落3千米记作千米． 2．某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为_______． 【答案】 【分析】利用正负数表示一对相反意义的量，已知零上温度记为正，可推得零下温度的表示方法． 【详解】解：由题意得，零上温度记为正，则零下温度记为负， 最低气温为零下，因此最低气温记为． 3．请写出与下列各量具有相反意义的量： (1)气温是零上． (2)向南走． (3)转盘顺时针转3圈． (4)甲地高于海平面． 【答案】(1)气温是零下 (2)向北走 (3)转盘逆时针转3圈 (4)甲地低于海平面 【分析】本题考查相反意义的量的概念，在数学中，常用正数和负数表示具有相反意义的量，如温度、方向、旋转方向和高度等，每个小题需根据给定量写出其相反意义的量． 【详解】（1）解：零上温度与零下温度相反，故相反意义的量为气温是零下； （2）解：向南走与向北走相反，故相反意义的量为向北走； （3）解：顺时针旋转与逆时针旋转相反，故相反意义的量为转盘逆时针转3圈； （4）解：高于海平面与低于海平面相反，故相反意义的量为低于海平面． 题型3.正负数的实际应用 1．如果电梯上行6层记为，则电梯下行3层记为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用正负数可以表示一对具有相反意义的量，已知上行的记法，即可推导出下行的记法． 【详解】解：∵题目规定电梯上行层记为，即上行方向用正数表示， ∴与上行意义相反的下行方向，应用负数表示， 因此电梯下行层记为． 2．一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为_____． 【答案】 【分析】根据具有相反意义的量可知把超过标准质量的记作正数，则比标准质量少的应记作负数． 【详解】解：把食品净重记为， 把超过标准质量的记作正数， 比标准质量少的应记作负数， 比标准质量少， 应记作． 3．请用正数、负数表示下列各题中的量： (1)冥王星离太阳非常远，接受的太阳能也非常少，表面温度一般在零下左右，甚至可能低至约零下． (2)位于南美洲安第斯山区的喀喀湖是世界上海拔最高的大淡水湖之一，湖面高于海平面．位于阿拉伯半岛的死海是世界上海拔最低的湖泊，湖面低于海平面． 【答案】(1)零下记作，零下记作 (2)高于海平面记作，低于海平面记作 【分析】本题考查正数和负数表示温度和高度的实际意义，会利用正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． （1）温度的表示以为基准，高于用正数，低于则用负数，据此即可解答； （2）海平面高度为基准，记为，高于海平面用正数，低于海平面用负数，据此即可解答． 【详解】（1）解：零下记作，零下记作； （2） 高于海平面记作，低于海平面记作． 题型4.有理数的定义 1．在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据整数和分数统称有理数，无限循环小数属于有理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限循环小数，可化为分数，属于有理数； 则有理数共有2个． 2．在，，0，中，有理数有_____个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义逐个判断，即可求解． 【详解】解：，，0，是有理数；不是有理数，有理数有3个． 故答案为3． 3．请把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，每两个之间逐次加一个． 正分数集合：______； 负有理数集合：______； 非负整数集合：______． 【答案】，；，；， 【分析】直接利用正分数、负有理数、非负整数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：正分数集合：； 负有理数集合：； 非负整数集合：． 故答案为：，；，；，． 【点睛】此题主要考查了有理数的分类，正确掌握相关定义是解题关键． 题型5.0的意义 1．下列叙述中错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的自然数 C．0℃是零上温度和零下温度的分界点 D．海拔表示没有海拔 【答案】D 【分析】本题考查0的意义．充分理解0的意义是解题关键． 根据0的意义和所表示的实际意义逐项判断即可． 【详解】A、0既不是正数，也不是负数，正确，不符合题意； B、0是最小的自然数，正确，不符合题意； C、是零上温度和零下温度的分界线点，正确，不符合题意； D、海拔是人为规定的基准高度，通常指平均海平面的高度，它是一个具体的海拔高度，而不是没有海拔，故该说法错误，符合题意； 故选：D． 2．下列关于零的说法中，正确的是________ ①零是正数 ②零是负数 ③零既不是正数，也不是负数 ④零仅表示没有 【答案】③ 【分析】根据零既不是正数也不是负数以及不同情形下零表示的意义不同进行逐一判断即可． 【详解】解：①零不是正数，说法错误； ②零不是负数，说法错误； ③零既不是正数，也不是负数，说法正确； ④零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误； 故答案为：③． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知零表示的意义是解题的关键． 3．请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【答案】见解析 【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决． 【详解】解：①零既不是正数也不是负数； ②零小于正数，大于负数； ③零不能做分母； ④零是最小的非负数； ⑤零的相反数是零; ⑥任何不为零的数的零次幂为1； ⑦零乘以任何数都是零等． 【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性． 题型6.有理数的分类 1．下列各数中，是正有理数的是（   ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据正有理数的定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：有理数包含整数和分数，正有理数是大于0的有理数，无限不循环小数是无理数， A 、是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求； B、 是正整数，属于正有理数，符合要求； C、 既不是正数也不是负数，不符合要求； D 、是负整数，不符合要求． 故选B． 2．在数中，负数共有______个． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的分类，根据负数是指小于零的数，进行判断即可． 【详解】解：在数中，负数有：，共4个． 故答案为：4 3．将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 【答案】 正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可． 【详解】略 题型7.带“非”字的有理数 1．在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查非负数的概念，解题思路是先明确非负数的定义，非负数指大于或等于的数，包括和正数．再逐个判断给出的数，统计符合要求的数的个数即可． 【详解】解： ，，二者为负数，不符合要求． ，，，，四个数均满足大于或等于，属于非负数． 非负数共有个． 2．在，0，，，2025，，，10中，非负整数有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的分类，根据非负整数是包括0和正整数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，都是非负整数； ，，，都不是非负整数； 即非负整数有4个， 故答案为：4 3．把下列各数填入相应的括号内：、、、0、、、1、、π，，． 整数集合{                 }； 负分数集合{               }； 非正整数集合{              } 【答案】，0，，1；，，；，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，带“非”字的有理数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据所给的分类，将所给的数逐一分析，再填入相应的括号内即可． 【详解】解：整数集合{，0，，1}； 负分数集合{，，}； 非正整数集合{，0，}， 故答案为：，0，，1；，，；，0，． 题型8.数轴的三要素及其画法 1．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，先确定1单位长度为2cm，可知原点的位置，进而得出答案． 【详解】根据题意可知1个单位长度是2cm， ∴原点的位置在3cm处， ∴1cm处所对应的数是． 故答案为：． 3．在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东和处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西和处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境． 【答案】见解析 【分析】利用数轴的定义，规定1个单位长度（线段的长）代表长，确定方向，首先确定点O表示汽车站牌的位置，然后根据题意表示出情景即可． 【详解】如图，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线上任取一个点O表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度（线段的长）代表长；于是，在点O右边，与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C，分别表示柳树和杨树的位置；点O左边，与点O距离3个和4.8个单位长度的点D和点E，分别表示槐树和电线杆的位置． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是先确定汽车站牌的位置，然后作为参照来找标注其它情景位置． 题型9.用数轴上的点表示有理数 1．如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点，根据它在数轴上的位置估计即可． 【详解】数轴上点位于原点右侧一个单位距离， 点表示的数是， 由图可知：小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点， 小蘑菇所在点表示的数可能为． 2．在下图中，点A表示的数是_______． 【答案】 / 【详解】解：由数轴可知点A表示的数是. 3．在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 题型10.利用数轴比较有理数的大小 1．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：根据数轴可得 故比数轴上的 小的数是 2．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么a________b．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】本题主要考查的是数轴以及有理数大小比较．数轴上的有理数的大小关系为：数轴上原点左边的数都小于0，右边的数都大于0，右边的数总大于左边的数．根据数轴以及有理数大小比较的规律即可求解，即数轴上的有理数的大小关系为：数轴上右边的数总大于左边的数． 【详解】解：因为数轴上右边表示的数总比左边的数大，故． 故答案为：<． 3．将0，，，，，3这六个数在数轴上表示出来，并用“”将它们连接起来． 【答案】见解析， 【详解】解：各数在数轴上表示如下： 用“”把它们连接起来为：． 题型11.数轴上点的平移（动点问题） 1．如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得， 故此时该点对应的数是． 2．在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 点A所表示的数向右平移4个单位长度后，得到的点B所表示的数是3， ∴点A表示的数是：． 3．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数是 ，C点表示的数是 ． (2)将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是 ． (3)将点B移动3个单位长度后，点B所表示的数是 ． 【答案】(1)，，3 (2)0 (3)或1 【分析】本题考查的是数轴上点所表示的数，数轴上点的平移，掌握平移规律：左减右加，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上点位置，确定相应的数值即可； （2）根据数轴上点的位置，按照移动的距离进行求解即可； （3）根据数轴上点的位置，按照移动的距离进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：从数轴看，点A、B、C三点分别为：，，3， 故答案为：，，3； （2）解：将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是：， 故答案为：0； （3）解：将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是：， 将点B向右移动3个单位长度后，点B所表示的数是：， 故答案为：或1． 题型12.数轴上找原点 1．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 2．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应______． 【答案】向右移动4个单位长度 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，掌握数轴的概念是解题的关键．原有点的正确坐标为，但标错原点后点落在的相反数的位置即处，则点错误位置与正确位置相差个单位长度；点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度，进而得到答案． 【详解】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故答案为：向右移动4个单位长度 3．如图，在一条不完整的数轴上，每个刻度为1个单位长度，其中点表示的数为． (1)在数轴上标出原点； (2)点表示的数为______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了数轴的相关知识，正确确定原点的位置是关键； （1）根据数轴上，点表示的数为，将点A向右移动5个单位即为原点， （2）根据点B在数轴上的位置即可解答． 【详解】（1）解：数轴上原点的位置如图所示： （2）解：点表示的数为2； 故答案为2． 题型13.数轴上整点覆盖问题 1．如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小． 【详解】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 2．如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，整数包括正整数、、负整数，结合数轴特点即可求解，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：根据图示，第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，，符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 故答案为：． 3．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 题型14.数轴上的规律探究 1．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 2．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 3．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【答案】或/1112或1115 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 题型15.相反数的定义 1．的相反数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可直接得出结果. 【详解】解：的相反数是. 2．的相反数是______． 【答案】0.4/ 【详解】解：的相反数是． 3．已知数轴上有两点A，B，点A表示的数是a，点B表示的数是b，若a是负数，且．点A的位置如图所示． (1)请在下图的数轴上标出原点及点B的大致位置； (2)根据（1）中的点的位置，进一步在图中标出表示数，的点的位置，并将a，b，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数比较大小，正确理解题意，数形结合是解题的关键． （1）根据可知，点B在点A的左侧，在数轴上表示出来即可； （2）根据a是负数，且，得，在数轴上表示出来，再根据数轴左边的数比右边的数小，将四个数按从小到大的顺序用“”连接． 【详解】（1）解：∵a是负数，且， ∴点A，B均在原点的左侧，点B在点A的左侧，如图所示： （2）解：∵a是负数，且， ∴，， 在数轴上表示如下： ∴． 题型16.化简多重符号 1．化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相反数的性质即可得出结果． 【详解】解：． 2．（1）______；（2）______；（3）______． 【答案】 【详解】解：； ； ． 3．化简下列各数： (1)    ； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】多重符号化简依据：可从内向外逐层去括号，括号前为正号时直接去掉括号和正号，括号前为负号时去掉括号和负号后，括号内项符号改变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型17.相反数的应用 1．如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，解答即可． 本题考查了相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：互为相反数的两个数的和为0， 故两个有理数的和为0，这两个数一定是互为相反数． 故选：B． 2．设与互为相反数，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，根据题意可得，代入即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数 ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】（1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此可知原点在点，的正中间，据此作答即可； （2）根据（1）的方法找到原点，问题随之得解． 【详解】（1）如果点，表示的数是互为相反数， 那么原点在线段的中点，即为点， 故答案为：C （2）如果点，表示的数是互为相反数， 原点就应该是线段的中点﹐即在点右边一格， 各点表示的数见下表： 点 对应数 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数到原点的距离相等，是解答本题的关键． 题型18.绝对值的几何意义 1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵数轴上某点到原点的距离等于该点所表示的数的绝对值． ∴分别计算各选项的绝对值∶，，，． 比较大小得， ∴对应的点与原点距离最近． 2．若，则_________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【详解】解：因为， 所以或， 即． 3．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们常常会运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化，直接写出式子的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解题意，熟练掌握绝对值的几何意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可得解； （2）的几何意义是在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为，由此即可得解； （3）的几何意义是在数轴上表示数的点与表示数和的点之间的距离之和，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：在数轴上与原点距离为的点对应的数为，即； （2）解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为． 在数轴上与表示数的点的距离为的点对应的数为，，即或； （3）解：，故的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数和的点之间的距离之和， 故当在和之间（包括端点）时，距离和最小，最小值为， 即的最小值为． 题型19.求一个数的绝对值 1．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 3．把下列各数在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列，用“”号连接起来． ，0，，，3． 【答案】 在数轴上表示各数如图： 【分析】本题考查化简多重符号，求一个数的绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先化简多重符号，求一个数的绝对值，然后在数轴上表示各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：，，， 由图可知：． 题型20.绝对值非负性 1．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 利用绝对值的非负性，得出的最小值为0，进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴． 当时，即，取等号， ∴最大值为． 故选C． 2．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 3．（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了绝对值的非负性． （1）由已知得，，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，，可知，． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴，， 则，； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴，． 题型21.绝对值的其他应用 1．某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与相差与相差与相差，与相差，所以质量最接近标准质量的是． 2．如图，这是某商家生产的山西文旅晋侯鸟尊冰箱贴，冰箱贴的标准半径为，检查残次品标记方式为超过标准半径记为正，反之记为负，则下列三个残次品中，半径最接近标准半径的是_____．（填序号） ①；②；③． 【答案】① 【分析】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此题可根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴半径最接近标准半径的是①； 故答案为①． 3．出租车司机小江某天上午运营全是在东西走向的汇东路上进行，如果约定向东记为正，向西记为负，当天上午的运行路程记录如下（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小江距上午出发点多远？ (2)若汽车耗油量为每行驶千米耗用汽油升，这天上午小江共耗油多少升？ 【答案】(1)小江距上午出发点千米，在出发点西侧； (2)这天上午小江共耗油升． 【分析】本题主要考查了正负数的应用，绝对值的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）令所有的数相加，即可根据结果的符号和数值得出结果． （2）把所有的行车里程的绝对值相加，计算出的和为，再根据即为所求． 【详解】（1）解：根据题意可得： （千米）， 答：小江距上午出发点千米，在出发点西侧． （2）解：根据题意可得： （千米）， ∴耗油量为：（升）， 答：这天上午小江共耗油升． 题型22.有理数大小比较 1．，2，5，2026中，最小的数是（     ） A． B．2 C．5 D．2026 【答案】A 【分析】首先明确有理数比较大小的基本规则，因为负数小于0，正数大于0，所以先区分给出数中的负数和正数．因为所有正数都大于负数，所以如果选项中存在唯一的负数，那么这个负数就是四个数中最小的． 【详解】解：∵负数小于一切正数， ∴是四个数中最小的数． 2．比较大小：______________． 【答案】 【分析】先求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，根据两个负数绝对值大的反而小得到结果． 【详解】解：，， 又， ． 3．将，，按从小到大的顺序排列起来． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键。负数比较时，绝对值大的负数反而小。 【详解】解　，， ， ∴， 按从小到大的顺序排列起来为． 题型23.有理数大小比较的实际应用 1．某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（     ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度（）： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据标签得到合格温度的范围，判断各选项温度是否落在范围内即可． 【详解】解：据表可知，该药品的合格贮藏温度满足， 选项：，不满足范围，不符合要求； 选项：，满足范围，符合要求； 选项：，不满足范围，不符合要求； 选项：，不满足范围，不符合要求． 2．某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【答案】3 【分析】比较各种房间预订数量的多少可得答案． 【详解】解：∵， ∴三人间市场需求最高， ∴最应该多设置床位数量为3的客房． 3．生活情境·气温变化 下表记录了我国几个城市某年一月份的平均气温． 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 -4.6 3.8 13.2 -18.5 2.6 (1)将各个城市的平均气温从高到低排列； (2)这几个城市按从北到南排列的顺序为哈尔滨、北京、南京、武汉、广州，请与平均气温相比较，指出地理位置与气温的关系． 【答案】(1) (2)从北到南，气温逐渐升高 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． （1）利用有理数的大小比较排列顺序即可； （2）根据排列顺序即可得到答案． 【详解】（1）解：由记录表得，， （2）解：从北到南，气温逐渐升高． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各数中，是负数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，，是正数，不符合题意； 选项B中，0既不是正数，也不是负数，不符合题意； 选项C中，，是负数，符合题意； 选项D中，，是正数，不符合题意． 2．以下是贵阳市冬季连续四天上午某时刻的气温，其中气温最低的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据有理数大小比较法则比较四个气温，即可得到最低气温． 【详解】解：对四个气温数值进行大小比较， 是四个气温中的最低的． 3．下面说法正确的是（   ）． A．在和之间只有2个负数 B．自然数中除0外都是正数 C．比5小的数只有0、1、2、3、4 D．早晨气温是，升高后，是 【答案】B 【分析】本题考查有理数和自然数的基础概念，逐一分析各选项即可判断正误. 【详解】因为选项A中，和之间除负整数外，还有无数个负小数、负分数，有无数个负数，因此A错误； 因为选项B中，根据自然数的定义，自然数包括0和正整数，因此除0外的自然数都是正数，因此B正确； 因为选项C中，比5小的数不仅有整数，还有小数、分数，共无数个，因此C错误； 因为选项D中，气温升高1℃需计算（℃），升高后气温是，因此D错误； 因为说法正确的是B． 4．有下列各数，，，，，，，，其中属于非负整数的共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先明确非负整数的定义是和正整数，将题目中需要化简的数化简后，逐一判断即可统计出符合要求的数的个数． 【详解】解：非负整数包含和正整数， 先化简各数：，，， 属于非负整数的数为，，，，共个 ． 5．下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个点分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等，观察可知，只有选项C符合题意． 6．数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移． 点A在数轴上移动3个单位长度，可向左或向右移动，根据数轴上点的移动规律：向右移动加，向左移动减，计算点B表示的数即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点， 则点表示的数是或． 故选：C． 二、填空题 7．数轴的三个要素是：原点、______和单位长度． 【答案】正方向 【分析】本题考查数轴的三要素（原点、正方向和单位长度），解题的关键是熟记数轴的三要素，据此解答即可． 【详解】解：数轴的三个要素是：原点、正方向和单位长度． 故答案为：正方向． 8．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 【答案】b 【分析】观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，距离原点最远的数即为绝对值最大的数． 【详解】解：观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，点b到原点O的距离最长，点a次之，点c最短． ∴绝对值最大的是b． 9．在，0，，，，中，负分数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分数，掌握好有理数的概念是关键． 负分数是小于0的分数，需判断每个数是否为负且为分数形式． 【详解】解：在数，0，，，3.15，中， 是负分数；0不是负数；化为假分数为，是负分数；是正分数；3.15可化为，是正分数；化为分数为，是负分数． ∴负分数一共有3个． 故答案为：3． 10．若某班班委卖出班级的废品收入元，记为元，则购买班级劳动工具花费元，记为______元． 【答案】 【详解】解：根据相反意义的量可知，收入记为元，则花费即支出应记为元 11．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 12．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 三、解答题 13．在数轴上表示5，，0，，，这6个数，并用“<”把这6个数连接起来． 【答案】 可得数轴如图所示： 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可先画出数轴，然后再进行有理数的大小比较． 【详解】解：由 用“<”连接起来为． 14．已知：a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题． (1)______，______； (2)已知，求． 【答案】(1) (2)或3 【分析】本题主要考查相反数、绝对值的非负性； （1）根据相反数及绝对值可直接进行求解a、b的值； （2）根据（1）及绝对值的非负性可得m、n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数， ∴ （2）∵ ∴ ∴ 当时，； 当时，； 综上：或3； 15．先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形． 如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，处最合适，因为如果P不放在处，甲和丙所走的距离之和恰好是到的距离，可是乙还得走从到P的这一段，这是多出来的，因此P放在处最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题： (1)有n台机床时，P应设在何处？ (2)根据（1）的结论，求的最小值． 【答案】(1)当为奇数时，P应设在台机床处；当为偶数时，P应设在和台机床之间处 (2)95172 【分析】本题主要考查了分类讨论的思想，观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法，解题的关键就是要能够从材料中得到有用的信息． （1）根据给出的规律进行求解即可，分为奇数和偶数两种情况进行解答； （2）根据给出的规律找到的最小值，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当为奇数时，P应设在台机床处； 当为偶数时，P应设在和台机床之间的任何地方． （2）解：本题可以看作在数轴上找一点，使该点到1，2，3，…，617的距离和最小， 根据题目给出的规律，该点位于处， 即， ∴ ∴原式的最小值为95172． 16．（1）把下列各数化简后在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“”号连接起来． 、、、 （2）若，求的值． 【答案】（1）详见解析，；（2）5 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键． （1）先把各数化简，再在数轴上表示出来，然后从左到右用“<”连接起来即可； （2）根据非负数的绝对值的性质计算求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， 又，即， ， ． 17．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 18．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)； (2)5 (3)1001000 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）当时，取得最小值5． （3）由题意得出当时，的值最小． 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离， 故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  ��  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点  ��  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5． 故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小， 最小值为： . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02认识有理数 暑假预习讲义 ✺知识框架 本节从生活相反意义量引入负数，扩充数系，明确正数、负数与0的定义；完善有理数的标准分类，借助数轴搭建数形结合几何模型，通过相反数、绝对值刻画有理数的位置特征与数量属性，最终落实有理数大小比较方法，形成完整闭环知识体系。 ✺学习目标 基础认知：识别生活中相反意义的量，掌握正数、负数及0的定义与实际意义，理解负数的引入价值。 核心理解：掌握有理数的概念，熟练运用两种标准完成有理数分类，厘清各类数的从属关系。 工具运用：熟记数轴三要素，规范绘制数轴，实现有理数与数轴上点的双向对应。 性质掌握：理解相反数、绝对值的代数意义与几何意义，能准确求解任意有理数的相反数和绝对值。 能力应用：掌握数轴法、法则法两种有理数大小比较方法，突破负数大小比较难点。 ✺题型归纳 题型1.正负数的定义 题型2.相反意义的量 题型3.正负数的实际应用 题型4.有理数的定义 题型5.0的意义 题型6.有理数的分类 题型7.带“非”字的有理数 题型8.数轴的三要素及其画法 题型9.用数轴上的点表示有理数 题型10.利用数轴比较有理数的大小 题型11.数轴上点的平移（动点问题） 题型12.数轴上找原点 题型13.数轴上整点覆盖问题 题型14.数轴上的规律探究 题型15.相反数的定义 题型16.化简多重符号 题型17.相反数的应用 题型18.绝对值的几何意义 题型19.求一个数的绝对值 题型20.绝对值非负性 题型21.绝对值的其他应用 题型22.有理数大小比较 题型23.有理数大小比较的实际应用 题型24.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、相反意义的量 用正数、负数表示具有相反意义的量 1.具有相反意义的量 在用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正是可以任意选择的。当已知一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用负数表示；反之，亦然。 2. 具有相反意义的量的表述 描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降、增加与减少、盈利与亏损、收入与支出等。常见的相反意义的量表示如下： 零上和零下：零上5℃， 记作+5℃；零下7℃，记作-7℃ 上升和下降：上升10m，记作 +10m；下降6m，记作 -6m 收入和支出：收入100元，记作 +100元；支出100元，记作 -100元 增产和减产：增产20吨，记作 +20吨；减产16吨，记作 -16吨 ★【核心归纳】◆定基准：明确“正方向”意义（如上升、收入）． ◆成对出现：意义相反（如上升5米与下降3米），数值可不同． ◆辨无关：不是所有正负数都是相反意义，需描述方向或属性对立 知识点二、正数、负数与0的概念 1.正数：大于0的数叫做正数，正数前的“+”号可省略不写。 2.负数：在正数前添加负号“-”的数，负数小于0，负号不可省略。 3. 0的特殊性质： 0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点； 0属于整数、自然数； 0既可表示“没有”，也可表示客观基准（0℃、海平面0米）。 【易错提醒】：0既不是正数也不是负数．带“+”号不一定是正数（如+（-5）），带“-”号不一定是负数（如-（-6）） 知识点三、有理数的定义与分类 1.有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。 注意：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数． 2. 有理数的分类 按正数、0和负数的关系分类： 按整数和分数的关系分类： 知识点四、数轴 1.定义:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 2.三要素（缺一不可）： 原点：数轴上表示0的基准点； 正方向：统一规定向右为正方向，需标注箭头； 单位长度:数轴上统一、均等的线段长度。 分数或小数也可以用数轴上的点表示 3.数与点的对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 4.分布规律：原点右侧的点对应正数，左侧的点对应负数，原点对应0。 知识点五、相反数 1.定义：像3和﹣3,6和﹣6这样，只有符号不同的两个数，互为相反数。 2.几何定义：数轴上位于原点两侧，且到原点距离相等的两个点所对应的数。 3.特殊规定：0的相反数是0。 4.核心性质：任何一个数都有相反数。任意数a的相反数是-a（a可为正数、负数、0）； 正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0. ⚠️ 易错点：-a不一定是负数，当a为负数时，-a为正数。 知识点六、绝对值 1.概念：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值．记作｜a｜. 2.代数意义：①一个正数的绝对值是它的本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0． 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a． 注意：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数． 4.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小 5.性质：绝对值为同一个正数的数有两个，它们互为相反数；绝对值为 0 的数只有 1 个， 6.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0． 知识点七、有理数的大小比较 1.数轴比较法：数轴上右侧的数始终大于左侧的数（右大左小）。 2. 法则比较法： 正数>0>负数，正数大于一切负数； 两个正数比较，绝对值大的数更大； 两个负数比较，绝对值大的数反而小。 ✺题型◆精讲 题型1.正负数的定义 1．下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 2．在、、、中，负数有___________个． 3．请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 题型2.相反意义的量 1．5月12日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，将卫星精准送入预定轨道，发射任务圆满成功．若向上飞行5千米记作千米，向下降落3千米记作（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为_______． 3．请写出与下列各量具有相反意义的量： (1)气温是零上． (2)向南走． (3)转盘顺时针转3圈． (4)甲地高于海平面． 题型3.正负数的实际应用 1．如果电梯上行6层记为，则电梯下行3层记为（     ） A． B． C． D． 2．一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为_____． 3．请用正数、负数表示下列各题中的量： (1)冥王星离太阳非常远，接受的太阳能也非常少，表面温度一般在零下左右，甚至可能低至约零下． (2)位于南美洲安第斯山区的喀喀湖是世界上海拔最高的大淡水湖之一，湖面高于海平面．位于阿拉伯半岛的死海是世界上海拔最低的湖泊，湖面低于海平面． 题型4.有理数的定义 1．在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在，，0，中，有理数有_____个． 3．请把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，每两个之间逐次加一个． 正分数集合：______； 负有理数集合：______； 非负整数集合：______． 题型5.0的意义 1．下列叙述中错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的自然数 C．0℃是零上温度和零下温度的分界点 D．海拔表示没有海拔 2．下列关于零的说法中，正确的是________ ①零是正数 ②零是负数 ③零既不是正数，也不是负数 ④零仅表示没有 3．请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 题型6.有理数的分类 1．下列各数中，是正有理数的是（   ） A． B．3 C．0 D． 2．在数中，负数共有______个． 3．将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 题型7.带“非”字的有理数 1．在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．在，0，，，2025，，，10中，非负整数有______个． 3．把下列各数填入相应的括号内：、、、0、、、1、、π，，． 整数集合{                 }； 负分数集合{               }； 非正整数集合{              } 题型8.数轴的三要素及其画法 1．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________． 3．在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东和处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西和处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境． 题型9.用数轴上的点表示有理数 1．如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 2．在下图中，点A表示的数是_______． 3．在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 题型10.利用数轴比较有理数的大小 1．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 2．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么a________b．（填“>”、“<”或“=”）． 3．将0，，，，，3这六个数在数轴上表示出来，并用“”将它们连接起来． 题型11.数轴上点的平移（动点问题） 1．如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 2．在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 3．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数是 ，C点表示的数是 ． (2)将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是 ． (3)将点B移动3个单位长度后，点B所表示的数是 ． 题型12.数轴上找原点 1．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 2．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应______． 3．如图，在一条不完整的数轴上，每个刻度为1个单位长度，其中点表示的数为． (1)在数轴上标出原点； (2)点表示的数为______． 题型13.数轴上整点覆盖问题 1．如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 2．如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数． 3．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 题型14.数轴上的规律探究 1．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 2．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 3．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 题型15.相反数的定义 1．的相反数为（     ） A． B． C． D． 2．的相反数是______． 3．已知数轴上有两点A，B，点A表示的数是a，点B表示的数是b，若a是负数，且．点A的位置如图所示． (1)请在下图的数轴上标出原点及点B的大致位置； (2)根据（1）中的点的位置，进一步在图中标出表示数，的点的位置，并将a，b，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接． 题型16.化简多重符号 1．化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 2．（1）______；（2）______；（3）______． 3．化简下列各数： (1)    ； (2)． 题型17.相反数的应用 1．如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 2．设与互为相反数，则________． 3．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 题型18.绝对值的几何意义 1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 2．若，则_________． 3．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们常常会运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化，直接写出式子的最小值． 题型19.求一个数的绝对值 1．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 2．若，则 __________． 3．把下列各数在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列，用“”号连接起来． ，0，，，3． 题型20.绝对值非负性 1．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 2．如果，那么______． 3．（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 题型21.绝对值的其他应用 1．某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，这是某商家生产的山西文旅晋侯鸟尊冰箱贴，冰箱贴的标准半径为，检查残次品标记方式为超过标准半径记为正，反之记为负，则下列三个残次品中，半径最接近标准半径的是_____．（填序号） ①；②；③． 3．出租车司机小江某天上午运营全是在东西走向的汇东路上进行，如果约定向东记为正，向西记为负，当天上午的运行路程记录如下（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小江距上午出发点多远？ (2)若汽车耗油量为每行驶千米耗用汽油升，这天上午小江共耗油多少升？ 题型22.有理数大小比较 1．，2，5，2026中，最小的数是（     ） A． B．2 C．5 D．2026 2．比较大小：______________． 3．将，，按从小到大的顺序排列起来． 题型23.有理数大小比较的实际应用 1．某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（     ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度（）： A． B． C． D． 2．某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 3．生活情境·气温变化 下表记录了我国几个城市某年一月份的平均气温． 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 -4.6 3.8 13.2 -18.5 2.6 (1)将各个城市的平均气温从高到低排列； (2)这几个城市按从北到南排列的顺序为哈尔滨、北京、南京、武汉、广州，请与平均气温相比较，指出地理位置与气温的关系． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各数中，是负数的是（     ） A． B．0 C． D． 2．以下是贵阳市冬季连续四天上午某时刻的气温，其中气温最低的是（     ） A． B． C． D． 3．下面说法正确的是（   ）． A．在和之间只有2个负数 B．自然数中除0外都是正数 C．比5小的数只有0、1、2、3、4 D．早晨气温是，升高后，是 4．有下列各数，，，，，，，，其中属于非负整数的共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（     ） A． B． C． D． 6．数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 二、填空题 7．数轴的三个要素是：原点、______和单位长度． 8．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 9．在，0，，，，中，负分数有______个． 10．若某班班委卖出班级的废品收入元，记为元，则购买班级劳动工具花费元，记为______元． 11．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 12．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 三、解答题 13．在数轴上表示5，，0，，，这6个数，并用“<”把这6个数连接起来． 14．已知：a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题． (1)______，______； (2)已知，求． 15．先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形． 如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，处最合适，因为如果P不放在处，甲和丙所走的距离之和恰好是到的距离，可是乙还得走从到P的这一段，这是多出来的，因此P放在处最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题： (1)有n台机床时，P应设在何处？ (2)根据（1）的结论，求的最小值． 16．（1）把下列各数化简后在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“”号连接起来． 、、、 （2）若，求的值． 17．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 18．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $