精品解析：湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2026年春季高一年级期末考试 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 2 2. 下列关于向量的描述正确的是（ ） A. 若向量，都是单位向量，则 B. 若向量，都是单位向量，则 C. 任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D. 平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 3. 某班级名学生的数学测验成绩（单位：分）为：则这组数据的分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数据，，，（且）的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，，，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则正确的有（ ） A. 该多面体有14个面 B. 该多面体有24条棱 C. 该正方体的棱长为2 D. 该多面体表面积为 11. 点O在所在的平面内，则下面四个结论正确的是（） A. 若，则点O是的外心 B. 若，则点O为的垂心 C. 若动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D. 若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最大值为________. 13. 如果向量满足，则与的夹角是__________． 14. 如图所示，三个半径为r的小球装入半径为6cm的半球中，三个小球两两相切并与半球内切，小球与半球底面相切，则小球半径________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，是虚数单位）. （1）若是纯虚数，求； （2）若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值. 16. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中a的值； （2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 17. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，． （1）求证：； （2）若d为的边上的高，求的最大值及相应的A的值． 18. 已知函数． （1）用五点作图法作出函数在上的简图； （2）求的解集； （3）关于x的方程在区间上有两个解，且，求． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，. （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季高一年级期末考试 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】，C正确. 2. 下列关于向量的描述正确的是（ ） A. 若向量，都是单位向量，则 B. 若向量，都是单位向量，则 C. 任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D. 平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 【答案】B 【解析】 【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C，利用共线向量的定义，即可判断出选项C的正误. 【详解】对于选项A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定， 故向量和不一定相同，故选项A错误； 对于选项B，单位向量的长度相同均为，所以，故选项B正确； 对于选项C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误； 对于选项D，因为所有单位向量的模为，且共起点， 所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D错误； 故选：B. 3. 某班级名学生的数学测验成绩（单位：分）为：则这组数据的分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将个成绩从小到大排列为： ， ，因此分位数为. 4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法中直观图与原平面图形的关系，先还原原平面图形，计算原平面图形的边长，即可计算面积. 【详解】由题可得，原平面图形为直角梯形，其中，，， 因为，，所以，所以， 所以. 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简得，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以， 所以. 7. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据筒车的半径及轴心距水面的高度可得的值，再由每分钟转圈可得函数的，再由可得结果. 【详解】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,. 再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）. 又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以. 又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以， 即，得且，所以. 故选：A. 8. 如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接，则或其补角为异面直线与所成角，结合余弦定理可求角的余弦值. 【详解】由正三棱台的性质可得四边形为等腰梯形，其中， 如图，在梯形中，过作，垂足为， 而，故， 故. 同理，. 在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接， 则或其补角为异面直线与所成角， 因，，故四边形为平行四边形， 故，， 而，故， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数据，，，（且）的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，，，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据均值，方差，中位数，极差的计算公式，注意中位数、极差的计算需先排序，再逐一比较即可． 【详解】对于A，根据题意，所以，故A正确； 对于B，， ， 所以 ，故，故B错误； 对于C，当时，，此时，故C错误； 对于D，因为，可得，故D正确， 故选：AD． 10. 如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则正确的有（ ） A. 该多面体有14个面 B. 该多面体有24条棱 C. 该正方体的棱长为2 D. 该多面体表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据多面体的产生过程可得多面体的面数、棱数判断AB，由截去的八个四面体体积和是可计算正方体棱长，判断C,再由三角形及正方形的面积计算多面体表面积判断D. 【详解】对于A，由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面，故A正确； 对于B，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为，故B正确； 对于C，由题可知，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，设正方体棱长为，则，， 故截去的八个四面体体积和， 解得，该正方体的棱长为，故C错误； 对于D，结合C可知多面体中正三角形边长为，正方形边长为，所以表面积，故D正确. 11. 点O在所在的平面内，则下面四个结论正确的是（） A. 若，则点O是的外心 B. 若，则点O为的垂心 C. 若动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D. 若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据外心定义，到三角形三个顶点距离相等的点为外心，结合选项进行判断；选项B：根据条件推出在三角形两个内角平分线上，判断出是内心而非垂心；选项C：由条件得与的角平分线共线，的轨迹过三角形内心；选项D：坐标化简计算可得最大值. 【详解】选项A：外心是三角形外接圆圆心，性质为到三个顶点距离相等， 若，说明到三点距离相等，因此是的外心，A选项正确， 选项B：是对应方向的单位向量，它们的差沿的外角平分线方向， 由数量积为得 该向量，故是的内角平分线，同理是的内角平分线， 因此是的内心，不是垂心，B选项错误， 选项C：对等式移项得，两个单位向量的和沿的内角平分线方向， 因此的轨迹是的角平分线，一定过三角形内心，C选项正确， 选项D：由中点向量性质得：， 因此： 已知，是中点，故，代入化简得， 由 ，直角三角形斜边中线得，又，即， 代入化简最终得：（为与的夹角）， 当时，最大值为，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最大值为________. 【答案】 【解析】 【详解】，其中，所以的最大值为. 13. 如果向量满足，则与的夹角是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为，设与的夹角为， 则 ， 得，因为，所以， 即与的夹角是 故答案为：. 14. 如图所示，三个半径为r的小球装入半径为6cm的半球中，三个小球两两相切并与半球内切，小球与半球底面相切，则小球半径________． 【答案】 【解析】 【详解】 设球形碗的球心为，小球的球心分别为，且在碗口平面上的射影分别为. 因为三个小球两两相切，所以，即， 点为的中心. 由正弦定理可得，，， 又因为球与球内切，所以，解得. 所以小球半径为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，是虚数单位）. （1）若是纯虚数，求； （2）若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用复数的除法运算化简，求出，进而可得； （2）把根代入方程，利用复数相等可求答案. 【小问1详解】 ， ∵是纯虚数，∴，且， 解得，； 【小问2详解】 依题意，，， 即且， 即或. 16. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中a的值； （2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 【答案】（1） （2）79.3 （3）7次 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解. （2）先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可. （3）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解. 【小问1详解】 因为各组频率之和为1，组距为10， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为， 所以中位数位于第三组中， 设中位数为x，则， 解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3. 【小问3详解】 由题红灯等待时间低于85秒的频率为， 故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次. 17. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，． （1）求证：； （2）若d为的边上的高，求的最大值及相应的A的值． 【答案】（1）由得， 两边同时约去c，并由正弦定理得：， 所以，即． 在中，因为三角形内角范围为，所以，或． 若，则（舍去）． 故，即．证毕． （2）时取最大值． 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的已知条件，利用向量数量积的定义将其转化为三角形的边角的余弦关系，结合正弦定理将边的关系转化为角的正弦关系，利用三角形内角和的性质以及三角恒等变换公式，推导角B和角A的关系，完成第一问的证明. （2）先将用正弦定理表示为关于的表达式，再根据三角形面积公式将高用边长和三角函数表示为关于的式子，代入得到关于的函数. 对得到的函数利用三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，由正弦定理得，， 又因为， 所以． 由三角形内角A，B，C均为正数，即，， ，解得， 所以，， 故当即时取最大值． 18. 已知函数． （1）用五点作图法作出函数在上的简图； （2）求的解集； （3）关于x的方程在区间上有两个解，且，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用五点法作图得出函数的图象； （2）根据正弦函数的性质计算求解不等式； （3）应用正弦函数值域结合诱导公式计算求解. 【小问1详解】 0 x y 1 3 1 1 图象如右： 【小问2详解】 由得 可得，解得 故的解集为 【小问3详解】 当时， 因为，，、 由于，所以 ，所以， 因为，所以且 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，. （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围. 【答案】（1） 由，，，可知， 故； 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面， 故平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，继而根据面面垂直的性质推出平面，可得，再结合线面以及面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）利用等体积法求出D到平面的距离，再根据线面角的定义即可额求得答案； （3）根据二面角定义作出二面角的平面角，解三角形求出相关线段长，即可推出二面角平面角的正切值的表达式，结合不等式知识，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面， 故，而，底面是平行四边形， ，，故， ； 设点D到平面的距离为d， 由， 得, 解得， 设直线与平面所成角为，则，而， 故； 【小问3详解】 作于M，作于N，连接， 由于平面平面，平面平面， 平面，故平面，平面， 故，而，平面， 故平面，则即为二面角的平面角； 设，，则， ， 由于，可得， 又，则， 故在中，， 设，则 ， 由于，故，则， 即二面角的正切值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $