精品解析：湖北黄石市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 所以的虚部为． 2. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 . 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长求解. 【详解】设母线长为，则，. 4. 如图，已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接、，可得，从而异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，然后在三角形中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接、，易知， 所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即， 因为直三棱柱的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为，则，，， 则在中，由余弦定理可得： 即异面直线与所成角的余弦值为：. 故选：. 5. 已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】以为整体结合正弦函数的性质可得，进而根据充分、必要条件分析判断. 【详解】因为且，则， 若在上既不是增函数也不是减函数， 则，解得， 又因为， 所以“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（ ） A. 图（1）中平均数中位数众数 B. 图（2）中平均数众数中位数 C. 图（2）中众数平均数中位数 D. 图（3）中平均数中位数众数 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分步直方图概念，结合中位数，平均数，众数定义结合图形可得答案. 【详解】对于图1，平均数中位数众数，故A错误； 对于图2，众数中位数平均数，故BC错误； 对于图3，平均数中位数众数，故D正确. 故选：D 7. 函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，令，按分段，借助函数单调性及对数函数图象特征求出零点个数. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令，，当时，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，， 函数在上有唯一零点，即方程在有唯一解； 当时，对两边取对数，得，即， 而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点， 显然或时，等式成立，因此直线与对数函数的图象有两个交点， 即方程在有两解，所以函数的零点个数为3. 8. 在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求. 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：② ①②可得：，即. 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若虚数是方程的两根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】解方程求出，然后根据复数的运算或根与系数关系验证各选项. 【详解】方程的两根是，不妨记，， 则，，ABD均正确； ，，C错误. 10. 三棱锥中，点在底面的射影为点，则下列叙述正确的有（ ） A. 若，则点为的外接圆圆心 B. 若，，面积相等，则点为的内切圆圆心 C. 若三个侧面与底面所成的二面角相等，则点为的内切圆圆心 D. 若，则点为的垂心 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的定义及三角形外接圆圆心的定义判断A；由三角形内心到三边距离相等可判断B、C；根据线面垂直的判定定理及三角形垂心的定义判断D. 【详解】三棱锥中，点在底面的射影为点，所以平面， 所以. 若，， 所以，所以点为的外接圆圆心，所以A正确； 若，，面积相等，则当且仅当时，点到各边距离相等， 而题中没有条件可得，所以点不一定是的内切圆圆心，所以B错误； 若三个侧面与底面所成的二面角相等，则点到的距离相等， 所以点到的距离相等，所以点为的内切圆圆心，所以C正确； 若， 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以. 同理可得， 所以为边上的高与边上的高的交点， 所以点为的垂心，所以D正确. 11. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据三角形大边对大角与正弦定理判断即可；对B，举反例判断；对C，根据余弦函数的单调性判断即可；对D，由A结合余弦的二倍角公式判断即可. 【详解】对A，由三角形大边对大角可得若则，再由正弦定理可得，故A正确； 对B，若，则，，，故B错误； 对C，在中，，又在上为减函数，故，故C正确； 对D，由A可得，若，则，则，故，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求出. 【详解】在中，，则， 由正弦定理得，， 得，得， 在中，，， 则由余弦定理得， 所以. 故答案为： 13. 已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据投影向量定义得，再根据向量垂直得到，再由向量夹角的求法求解即可. 【详解】因为在上的投影向量为，所以，所以， 因为，所以，所以，所以，因为，所以. 故答案为： 14. 在棱长为4的立方体中，是的中点，则点到平面的距离是___________；点与点到平面的距离之比是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等体积法可求得点到平面的距离；找到与平面的交点，记作点，求出，即可得点与点到平面的距离之比. 【详解】正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为. 中，， 所以的面积为. 设点到平面的距离为， 则由，得， 解得. 连接，交于点， 连接，则为平面与平面的交线， 因为平面， 所以与平面的交点就是与的交点，记作点. 正方形中，，所以. 又，所以四边形为平行四边形. 所以，所以. 所以， 所以点与点到平面的距离之比是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2026年1月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表： 空气质量指数 [0，50] （50，100] （100，150] （150，200） （200，250] 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 10 5 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出，的值，并完成频率分布直方图； （2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与第80百分位数． 【答案】（1）； （2）平均数是95，第80百分位数是140 【解析】 【分析】（1）由第一个区间的频率求得，然后根据值可求得，再由各区间的频率可得频率分布直方图（频率除以组距）； （2）利用频率分布直方图各区间中点值计算出均值，求出频率对应的值得到第80百分位数. 【小问1详解】 ， 则． 由此完成频率分布直方图，如下图． 【小问2详解】 由频率分布直方图得该组数据的平均数为 ， 因为的频率为的频率为的频率为， 所以第80百分位数为． 16. 如图，已知四棱锥中，是的中点，平面，为等边三角形，，. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，先证明四边形是平行四边形，进而得到，从而求证； （2）根据为等边三角形，是的中点，可得，根据平面， 可得，进而得到平面，进而结合即可求证. 【小问1详解】 取中点，连接，， 因为是的中点， 所以，且， 又 ，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为为等边三角形，是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 由（1）知，所以平面. 17. 已知一组数据，其平均数记为，标准差记为； （1）求证：； （2）若，求函数的最小值； （3）若且，求证：． 【答案】（1） ； （2）4 （3）证明：由题意可知，，得 ，所以， 两边累加取平均可得， 所以 所以，即， 所以，命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据均值和方差公式证明； （2）利用二次函数的性质求解； （3）利用（），得，然后累加取均值可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 【小问3详解】 略 18. 已知的内角的对边分别为，若； （1）求角； （2）若，且是钝角三角形； （i）求的范围； （ii）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及二倍角的正弦公式可得； （2）（i）由已知式结合正弦定理求得，由是钝角三角形确定的取值范围，根据正弦定理结合三角恒等变换将表示成的正弦型函数，即可求得其取值范围；（ii）根据三角形面积相等，得到与的关系，利用正弦定理及三角恒等变换将表示成的函数，再用换元法结合函数单调性求得函数的值域，即的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以. 由，得，所以． 由正弦定理，得， 所以，即，所以， 所以，因为， 所以，得到，解得． 【小问2详解】 （i）由，得， 由正弦定理得，所以，所以. 因为为钝角三角形，，故钝角只能是A或C， 所以或，所以． 由正弦定理得 ， 因为， 所以，所以. （ii）因为为的角平分线，且， 所以，得到， 所以，化简得． 又 由（i）知，， 所以， 令，由（i）知，所以， 所以，因为函数在上单调递增， 所以时，；当时，，所以． 19. 我国古代数学经典《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面，平面平面； （1）求证：三棱锥是鳖臑； （2）记，若，求三棱锥的外接球面积的最小值； （3）当时，设点是线段或者延长线上的点，记，当取得最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）过点A作直线的垂线，垂足记为， 因为平面平面，且交线为，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以 所以三棱锥是鳖臑． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的关系进行转化证明线线垂直； （2）将该三棱锥补成长方体，由长方体的外接球就是三棱锥的外接球，从而易得球半径，结合不等式知识得最值； （3）根据已知得出，把化为关于的三角函数，然后利用辅助角公式得最大值，确定出的位置，并计算出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 可将三棱锥补成长方体，长，宽，高分别为a，b，c， 设三棱锥的外接球半径为，正好就是长方体的外接球，球直径， 外接球表面积 对于正数a，b，c， ， ， 所以， 所以，所以外接球表面积最小值为． 【小问3详解】 因为，此时． 又，又，所以． 则， 其中， 当时，取得最大值，此时． 可以计算出此时，则点在的延长线上且，点C是中点，点到平面的距离即点B到平面的距离，即点B到平面的距离，即， 所以直线PM与平面PAC所成角的正弦值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 如图，已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（ ） A. 图（1）中平均数中位数众数 B. 图（2）中平均数众数中位数 C. 图（2）中众数平均数中位数 D. 图（3）中平均数中位数众数 7. 函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若虚数是方程的两根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 三棱锥中，点在底面的射影为点，则下列叙述正确的有（ ） A. 若，则点为的外接圆圆心 B. 若，，面积相等，则点为的内切圆圆心 C. 若三个侧面与底面所成的二面角相等，则点为的内切圆圆心 D. 若，则点为的垂心 11. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为_______． 13. 已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角______. 14. 在棱长为4的立方体中，是的中点，则点到平面的距离是___________；点与点到平面的距离之比是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2026年1月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表： 空气质量指数 [0，50] （50，100] （100，150] （150，200） （200，250] 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 10 5 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出，的值，并完成频率分布直方图； （2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与第80百分位数． 16. 如图，已知四棱锥中，是的中点，平面，为等边三角形，，. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 17. 已知一组数据，其平均数记为，标准差记为； （1）求证：； （2）若，求函数的最小值； （3）若且，求证：． 18. 已知的内角的对边分别为，若； （1）求角； （2）若，且是钝角三角形； （i）求的范围； （ii）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 19. 我国古代数学经典《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面，平面平面； （1）求证：三棱锥是鳖臑； （2）记，若，求三棱锥的外接球面积的最小值； （3）当时，设点是线段或者延长线上的点，记，当取得最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $