河南焦作市普通高中2025-2026学年下学期高一年级期末考试数学(北师大版)

普通高中2025一2026学年（下）高一年级期末考试 数学（北师大版）参考答案 1.B【解析】因为集合M={-2,-1,0,3,5},集合N={x-2<x<2},所以M∩N={-1,0}. 故选B. 2.C【解析】因为a=140×180-,所以此扇形的弧长为1=aR-×12-28 3 故选C. 3.D【解析】因为E为BC的中点，所以A症-A店+B硫-A+2BC=A+A市， 因为点F满足-2F成，所以序-BC+-BC+号C元-A市-子A, 所以AE+B=子A店+A心. 故选D. 1-ai_1-aiD(2+3_2+30+3-2a1(a∈R)为纯虚数，所以 2+3a=0, 4B【解析】因为复数z=2-3i 13 13 解得 13 13 故选B. 5.A【解析】若直线1在a,3外，且1与a,3的交线平行，则1与a,3都平行，所以①正确； 若一条直线与a,B都垂直，则a∥B,a,β不可能相交，所以②错误； 若一平面与a,B都平行，则αB,a,B不可能相交，所以③错误； 若a∩B=l,则必存在平面Y,使得l⊥y,此时平面y与a,β都垂直，所以④正确. 故选A. 6.D【解析】由cos2a=osa-sine_1-tan2e=-4 cos'a+sina 1+tan'a =一5，解得tana=9,又a为锐角，则tana=3, 所以a。)an。号子 故选D, 7.A【解析】由题可知，f(x)在（一∞，0）上单调递增，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0, f(一1)=0，且f(x)在(0，十∞)上单调递增.作出f(x)在R上的大致图象如图： 由f(log1a)+f(0)<flog3a),得f(-loga)+0<f(logsa),即-f(loga)<f(log影a), 则2f(1og3a)>0,所以f(log3a)>0. 由图象可知，-1<lga<0或log,a>1,解得写<a<1或e>3. ·数学（北师大版）答案（第1页，共6页）· 故实数a的取值范国为（写，）U(3,十o) 故选A. 8.C【解析】在平面直角坐标系x0中，作Oi-a,则A(-1,w3),OA=2,易知角的终边在有向线段 OA所在的射线上（角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合），将O绕其起点0逆时针旋转 得到OB,易知B(-√3，-1)，所以OB=(-√3，-1)，即b=(-√3，-1)，同理得c=0C=(0,-2). A 所以b十c=(-√3，-3)， 因为(b+c)⊥(d-c),所以(b+c)·d=(b+c)·c=6, 所以d在B+:上的授影有量为智.0+e)=b+e)=(-怎，》】 故选C. 9.ACD【解析】由题意可知，之1=-1十i,所以之1=一1一i,A正确； 由1-）1-)=2，得1-，-吕-20士-1+i,所以：=-i.B循误： 1之112=(-1)2+1=2,2x2|2=2×1=2,所以|之112=2z2|2,C正确； z825=(-i)2026=i026=i×506+2=2=-1,D正确. 故选ACD. 10.ABD【解析】令y:=(分)-2，：=（兮）广-3，，=()广-4，由指数函数的单调性可知，函数y 在R上均为单调递减函数，且它们的图象均经过点（一1,0）， 在同一平面直角坐标系中，作出函数y=(》广-2，y=(付)广-3，=()”-4的图象，如图所示 23 -y=k>0 -y=k<0 令(2)°-2=（得）°-3=()-4=k,由图可知，当k<0时，c<<a;当=0时，a=6=c=-1;当>0 时，a<b<c. 故选ABD. 1.BCD【解析】设AB,C分别表示事件甲.乙，丙攻克医学难题，则1-P(A]P(B)=日，P(C)=子 ·数学（北师大版）答案（第2页，共6页）· 1-1-P(A]1-P(B]×1-)号，解得PA)=日，P(B)=壬，A错误 PAUB)=PA)+P(B)-PaB)=g+-吉X日 ×4=2,所以甲或乙攻克的概率为2，B正确： P(ABC+ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) -号×片×0-)+写×1-)×号+-)×宁×写-品<号c正确： 三个园队部设攻克的质率为少，=1一号-了 恰有-个闭队攻克的概率为p:-号品一P(ABC)=号品日×号×分台， 27 .1..14 根据互斥事件的概率加法公式可知，至多有一个团队攻克的概率为p:十p:-号+号日，D正确。 故选BCD. 12.4.2【解析】因为8×60%=4.8，所以该组数据的60%分位数为4.2. 13.52【解析】设圆台的高为h,圆台的外接球的半径为R,由题意可知，4πR2=40π，解得R=√0. 3 设外接球球心O到圆台上、下底面的距离分别为d1,d2,则d1=√R2-1=3,d2=√R2-9=1, 因为球心O在圆台的两底面之间，所以圆台的高为h=d1十d2=4, 所以圆台的体积V-了x×4×(1+1X3+3)5 3 :【解析】由Cd=2C+3CA,得 CO CB=2CB*+3CA.CB, cò.CA=2CB.CA+3CA, ICAIICBIcOLACB. 2c-3ci11cios∠AcB, 即 21C=2c1cos∠AcB+3c,-1c=21c1Cios∠AcB, 两式相乘，得61CA1Ci2cos∠ACB=51C1C, 所以coS∠ACB=8则sir∠ACB=1-cas∠ACB=,又0K∠ACB<x,放in∠ACB- 4 15.解：(1)证明：取DE的中点F,连接MF,C1F, B 因为D,E分别为AA1,BB1的中点，所以四边形ABED为矩形， 因为M为AB的中点，所以四边形AMFD为矩形，所以MF/AD,MF=AA1, 又N为C,的中点，所以CN/AA1,C,N=2C,=2AA, ·数学（北师大版）答案（第3页，共6页）· 所以MF∥C1N,且MF=C1N, 所以四边形MNCF为平行四边形，则MN∥C1F, (5分) 又MN中平面C1DE,C,FC平面C1DE,故MN∥平面C1DE. (6分) (2)延长C1D,CA交于点G,延长C1E,CB交于点H,连接GH,则GH为平面ABC与平面C1DE的交线. 设正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，在△GCC1中，DA为中位线，则CG=2,所以C1G=√5. 同理，CH=2,C1H=√5，所以CG=CH,C1G=C1H. 取GH的中点K,连接CK,C1K,则CK⊥GH,C1K⊥GH,所以∠CKC1为平面ABC与平面C1DE所成 锐二面角的平面角. (10分) 易得AB为△CGH的中位线，所以GH=2,则CK=√5， 在Rt△CCK中，tan∠CKC=CK=3=,所以∠CKC,=石， 故平面ABC与平面C,DE所成的锐二面角的大小为 (13分) 16.解：(1)由题意可知，△ABC的边BC上高为1，又△ABC是等腰直角三角形，则BC=2, (2分) 所以f(x)的最小正周期为T=2BC=4, (3分) 由π=4，解得w=受 (6分) 故f(x)=sin(经x+） (7分) (2由fmx)-罗-0，得sm(x+）-号 2 因为x[0,2]m>0,所以+∈[mx+] (10分) 1-?,要使关于x的方程f(mx)- 又sinT-V2 2 =0(m>0)在[0,2]上只有2个解， 44 (13分) 1 解得2≤m<2, 放实数m的取值范用为[？，2) (15分) 17.解：(1)由正弦定理，得sin Bsin2A+sin Asin B=0, (1分) 所以2 sin Bsin Acos A+sin Asin B=0, (2分) 又sin Asin B≠0，则cosA=之y (3分) 又A∈0，x),放A- (4分) (2)②Se=2h=2 besin A,得h-6e 1 1 (5分) 由a=2与余弦定理，得4=b+e2+c≥3bc,所以be≤专，当且仅当6=e时，等号成立， (7分) 所以h=3。 W34_3 4bc≤4X3=3' 故小的最大值为得 (9分) (3)设∠BAD=0,则∠CAD=2x-0, 3 ·数学（北师大版）答案（第4页，共6页）· sin∠ADB-sin9,所以sin∠ADB=3sin0, 在△ABD中，由正弦定理，得C= BD BD, (10分) 在△ACD中，由正弦定理，得sin∠ADC b CD 2n肾-) 、,所以sin∠ADC= CD (11分) 又n∠ADB=in∠ADC,BD=2CD,所以2sn9=2sin-g, (13分) 则3sin9=5cos0+sin0, 所以tan0=2√3，故tan∠BAD=2√3. (15分) 18.解：(1)非实验班数学平均分x1的近似值为 0.08×(75+125+135)+0.12×85+0.16×95+0.24×105+0.2×115+0.04×145=106.2, (2分) 实验班数学平均分x2的近似值为 0.02×75+0.08×85+0.12×95+0.24×(105+115)+0.16×125+0.1×135+0.04×145=111.8,(4分) 因为x1-x2=106.2-111.8|=5.6>5, 所以非实验班与实验班数学成绩有明显差异. (5分) (2)因为实验班数学成绩在区间[80,90)，[90,100)，[140,150]内的学生人数之比为2：3：1，所以从区间 [80,90),[90,100),[140,150]内抽取的学生人数分别为2,3,1.记数学成绩在区间[80,90)的2人为a1, a2,在区间[90,100)的3人为b1,b2,b3,在区间[140,150]的1人为c. (6分) 从这6人中随机抽取3人的样本空间2={a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2c,a1b1b2,a1b1b3,a1b1c,a1b2b3, a1b2c,a1b3c,a2b1b2,a2b1b3,a2b1c,a2b2b3,a2b2c,a2b3c,b1b2bg,b1b2c,b1b3c,b2b3c},共有20个样本点. (8分) 用事件A表示“抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间[90,100)”，则 A={a1b1b2a1b1b3,a1b2b3,a2b1b2,a2b1b3a2b2b3,b1b2b3,b1b2c,b1b3c,b2b3c},有10个样本点，(10分) 故PA)8号 (11分) (3)证明：从非实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.8，低于90分的概率为0.2； 从实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.7，低于90分的概率为0.1. P(A)=0.8×0.7=0.56, (12分) P(A2)=0.2×(1-0.1)+(1-0.2)×0.1=0.26, (13分) 所以P(A1)P(A2)=0.1456, 又P(A1A2)=(0.8-0.2)×0.1+0.2×(0.7-0.1)=0.18, (14分) 显然P(A1)P(A2)≠P(A1A1), (16分) 故事件A1,A2不相互独立. (17分) 19.解：(1)证明：在△ABD中，BD⊥AD,AD=1,AB=2,所以BD=√AB-AD2=√3， (1分) 在△ABF中，AB⊥BF,AB=2,AF=4,所以BF=√AF2-AB2=2√3， 又DF=√I5,所以DF2=BD2+BF2,所以BF⊥BD, (2分) 又AB⊥BF,且AB∩BD=B,所以BF⊥平面ABCD, (3分) 又BFC平面BDF,所以平面ABCD⊥平面BDF. (4分) (2)证明：在Rt△ABD中，sin∠ABD=AB=2,则∠ABD=30°， 在ABCD中.由余弦定理，得os∠BCD-BC RC CPD-则∠BCD=120, 2BC·CD (5分) 又BC=CD,所以∠CDB=∠CBD=30°，则∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°， 因为∠BCD+∠ABC=120°+60°=180°，所以AB∥CD, (6分) ·数学（北师大版）答案（第5页，共6页）· 因为AB中平面CDE,CDC平面CDE,所以AB∥平面CDE, 因为AF∥DE,且AF中平面CDE,DEC平面CDE,所以AF∥平面CDE, 又AB∩AF=A,AB,AFC平面BAF,故平面BAF∥平面CDE. (8分) 延长射线BC,AD交于点G, B G 因为G∈BC,BCC平面BCEF,所以G∈平面BCEF, 因为AF∥DE,所以A,D,E,F四点共面，同理，G∈平面ADEF, 又平面BCEF∩平面ADEF=EF,所以G∈EF, 所以直线CB,DA,EF交于点G,所以G-CDE为三棱锥， (9分) 故五面体ABCDEF为三棱台. (10分) (3)连接AC,易求AC=√3，所以AC2+BC2=AB2,则AC⊥BC. 因为平面ABCD⊥平面BCEF,平面ABCD∩平面BCEF=BC,且ACC平面ABCD, 所以AC⊥平面BCEF, (11分) 在△ACE中，过M作MH∥AC,与CE交于点H, 所以MH⊥平面BCEF, 连接BH,所以∠MBH为直线BM与平面BCEF所成的角，即∠MBH=45°. (12分) 设=，由三角形相似可知，MH=t·AC=3,EH=t·EC=t,。=V31,则CH=3三 由(2)可知，BFCE,又BF⊥平面ABCD,所以CE⊥平面ABCD,则CE⊥BC, 所以BH=√CH+BC=√3(1-t)+1, 在Rt△BMH中，因为∠MBH=45°，所以MH=BH,即MH2=BH2, 所以3t2=3(1-t)2+1, (15分) 期得1=号， 故线段AE上存在点M,使得直线BM与平面BCEF所成的角为45，且-1-(-子 (17分) ·数学（北师大版）答案（第6页，共6页）·普通高中2025一2026学年（下）高一年级期末考试 数学（北师大版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合M={-2,-1,0,3,5),集合N=(x|-2<x<2),则M∩N= A.{-2,-1,0} B.(-1,0y C.{-2,-1) D.(0 2.已知某扇形的圆心角为140°，半径为12，则此扇形的弧长为 A肾 14π B. 3.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F满足C京=2FD,则AE+B京= A号a-Ad B号a正+分Ad C.-}a店+a而 D.JAB+2AD 4.若复数x=二 2-3 (a∈R)为纯虚数，则a= A-2 R-号 c号 D 5.已知a,B是两个相交平面，有下列四个命题：①存在直线与a,B都平行；②存在直线与 a,B都垂直；③存在平面与a,B都平行；④存在平面与a,3都垂直.其中正确的命题为 A.①④ B.②③ C.②④ D.①③ 4 6.已知a为锐角，且cos2a=-一5则tana-F）= A B 1 C.1 D.2 数学（北师大版）试题第1页（共4页） 7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意x1<x2<0,都有f(x,)<f(x2), f(1)=0,若f(loga)+f(0)<f(loga),则实数a的取值范围为 A(传U3.+o) B(传1U13) C.o.号)U3,+o) D.(-1,0)U(1,+∞) 8.将m=MN绕其起点M逆时针旋转角a(a>0)得到n,记作n=m。.已知a=(一1， 5),且b=a:c=ad|=25,若(b+c)⊥(d-c),则d在b+c上的投影向量为 A.(5,3) B(》 c(--》 D.(-√3，-3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数1在复平面内对应的点为Z,(一1,1)，复数z2满足(1一z2)(1一i)=2,则 A.z,=-1-i B.z=i C.1z112=2|z212 D.z26=-1 10.已知实数a6,c满足（分）°-2=（付）°-3=() 一4，则下列关系可能正确的是 A.a<6<c B.a=b=c C.a<c<6 D.c<6<a 11.已知甲、乙、丙三个医学科研团队独立攻关某一医学难题，若甲没有攻克而乙攻克的概 率为后，丙攻克的概率为分，且该医学难题被攻克的概率为号，则 A甲攻克的概率为号 B甲或乙攻克的概率为号 C.恰有两个团队攻克的概率小于甲或乙攻克的概率 D,至多有一个团队攻克的概率为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.样本数据2.9,3.5,3.8,4.0,4.2,4.5,4.8,5.0的60%分位数为 13.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，若该圆台的外接球的表面积为40π，且外接 球球心在圆台的两底面之间，则该圆台的体积为 14.已知O为△ABC的外心，若CO=2CB+3CA,则sin∠ACB= 数学（北师大版）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，已知正三棱柱ABC-A,B,C1的所有棱长均相等，D,E,M,N分别为线段 AA1,BB1,AB,CC1的中点. (1)证明：MN∥平面C,DE; (2)求平面ABC与平面C,DE所成的锐二面角的大小. 16.(15分) 已知函数f(x)=sinz+2)(知>0)的部分图象如图所示，点A为函数f(x)的图象 的最低点，B,C为函数f(x)的图象与x轴的交点，且△ABC是等腰直角三角形. (1)求f(x)的解析式； （2)若关于x的方程fmc)-号=0(m>0y在[0,2止只有2个解，求实数m的取值范图. 17.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin2A+asin B=0. (1)求A; (2)若a=2,求边BC上的高h的最大值： (3)若b=2,c=3,线段BC上的点D满足BD=2CD,求tan∠BAD的值. 18.(17分) 某校积极开展教改活动，将20个水平相近的教学班（每班学生数均相等）分成两组，其 中10个班采用全新的教学法，称之为实验班，另外10个班采用原来的教学法，称之为 非实验班.通过一个学期的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这20个班的数学 数学（北师大版）试题第3页（共4页） 期末成绩（满分150分），成绩均在[70,150]内，按[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100， 110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组，作出如下频率分布直方图： 个頓率/组距 ◆颗率组距 0.024 0.024……… 0.020 0.016 0.016 0.012 0.008 0.00 88 0708090100110120130140150数学成鐵/分 0V70800100110120130140150数学成绩/分 非实验班 实验班 (1)设非实验班、实验班数学平均分分别为x1,x2(同一组数据以该组所在区间的中间 值作代表)，若|x,一x2>5,则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认 为非实验班与实验班数学成绩无明显差异，请通过计算说明非实验班与实验班数学成 绩是否有明显差异； (2)从实验班数学成绩在区间[80,90)，[90,100)，[140,150]内的学生中，按区间采用 分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中至少2人 的数学成绩在区间[90,100)的概率； (3)若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成绩，记事件 A,表示“抽取的两学生的数学成绩均低于120分”，事件A2表示“抽取的两学生中仅 有一人的数学成绩不低于90分”，证明：事件A1,A2不相互独立. 19.(17分) 如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面BCEF,AD= BC=CD-2AB=1,AB⊥BF,BD⊥AD,AF/DE,且AF=2DE= 4,DF=15. (1)证明：平面ABCD⊥平面BDF; (2)证明：五面体ABCDEF为三棱台； (3)线段AE上是否存在点M,使得直线BM与平面BCEF所成的角 为45？若存在，求栏的值，者不存在，请说明理由。 数学（北师大版）试题第4页（共4页）