精品解析：安徽十校联盟2025-2026学年高二下学期7月期末质量检测数学试题（人教A版）

2024级高二7月初期末质量检测 数学（人教A版）A 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 用0～6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（ ） A. 240 B. 210 C. 180 D. 150 3. 某快递店每天的快递量（单位：个），记表示100天内快递量介于470至560之间的天数，则的值约为（ ） （附：若随机变量，则，，） A. 68 B. 82 C. 84 D. 95 4. 设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则王同学第2天去餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.55 C. 0.65 D. 0.7 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. -35 B. 35 C. -105 D. 105 7. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ） A. B. C. D. 或 8. 若函数的图象在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的方差，则 B. 若随机变量且，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 已知随机变量的分布列为，则 10. 学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，则下列说法正确的有（ ） A. 服从超几何分布 B. C. D. 11. 在无穷数列中，记，若，仍是中的项，则称为“和封闭数列”.下列说法正确的有（ ） A. 若，则为“和封闭数列” B. 若，则不为“和封闭数列” C. 若为“和封闭数列”，则也为“和封闭数列” D. 若为无穷等差数列，则一定可以分解成两个“和封闭数列”的和的形式 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数．若，，则的值为__________，曲线在点处的切线方程为__________． 13. 某班一天8节课，上、下午各4节.现安排上午两节语文课连上，上、下午均有一节数学课，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，则不同的排法有__________种.（用数字作答） 14. 设事件，为两个随机事件，已知，，且，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着居民生活水平提升、消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记2021～2025年的年份代码分别为1～5，下表为2021～2025年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）． 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 1.7 1.8 1.9 2.2 2.4 （1）根据表中数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系； （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年中国智能小家电的市场规模． 附：①样本相关系数，； ②经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式为． 16. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生. （1）根据已知条件补充完整下表，并根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关； 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 （2）采用样本比例分配的分层随机抽样的方法从喜欢军事的学生中随机抽取15人进行一次军事知识竞赛，其中有3人可以获得“军事百科达人”的称号，记这3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 已知数列是以为首项，4为公比的等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. “OpenClaw”是一款开源、本地优先、可自行托管的AI智能体执行网关，由一名欧洲开发者在2025年11月发起该项目，2026年1月对项目正式定名.其本质是自主执行型AI助手，可实现数据收集、处理、分析、推理和预测模拟的全过程.某工厂想利用“OpenClaw”通过技能添加实现AI系统模型每天对，，三条生产线的产品缺陷进行在线检测，其检测的准确率分别为，，，且每条生产线的检测结果相互独立. （1）求第一天AI系统检测准确的生产线数量的分布列和数学期望； （2）若AI系统对于生产线前一天的缺陷检测准确，则第二天检测准确的概率为，否则准确率为.若系统模型对于生产线的检测准确率不低于0.7，继续用此系统模型进行预测，否则调整检测系统模型，那么一个检测系统模型最多可以检测几次就要调整？ 19. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数. （1）求的解析式； （2）已知函数. （i）求证：函数有且只有一个零点； （ii）记函数的零点为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二7月初期末质量检测 数学（人教A版）A 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相关系数的性质即可. 【详解】由图可得，，图2线性相关性比图1强，所以，则，即. 2. 用0～6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（ ） A. 240 B. 210 C. 180 D. 150 【答案】C 【解析】 【详解】数字不能放首位，所以优先考虑首位，其他位置可以任选，共有个没有重复数字三位数. 3. 某快递店每天的快递量（单位：个），记表示100天内快递量介于470至560之间的天数，则的值约为（ ） （附：若随机变量，则，，） A. 68 B. 82 C. 84 D. 95 【答案】B 【解析】 【分析】由正态曲线的性质求解即可． 【详解】依题意，得，， ， 所以估计100天内快递量介于470至560的天数大约是：. 4. 设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若是常数列，不妨设（为常数），则为常数， 即“是常数列”可推出“是常数列”， 取，，显然有，且是常数列，但不是常数列， 所以“是常数列”推不出“是常数列”，即“是常数列”是“是常数列”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则王同学第2天去餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.55 C. 0.65 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率公式即可. 【详解】记事件：第1天去餐厅；事件：第2天去餐厅；事件：第1天去餐厅. 则，所以. 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. -35 B. 35 C. -105 D. 105 【答案】B 【解析】 【详解】原式可写成， 由二项式定理，. 在中，的系数计算如下： 由第一项得； 由第二项得（因为）. 因此的系数为. 7. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求出的分布列，然后由期望公式求解. 【详解】由题意的可能值为2或3， ，， 即的分布列为 2 3 所以，解得或. 8. 若函数的图象在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的图象在处的切线方程，设直线与曲线相切于点，由此用表示出，则，令，对求导得出的单调性，即可求出的最大值. 【详解】，则， 所以函数的图象在处的切线的斜率为， 所以函数的图象在处的切线方程为：， 即， 设直线与曲线相切于点，， 所以，所以，则，则， 所以， 令，所以， 令，解得：， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时取得最大值，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的方差，则 B. 若随机变量且，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的方差的性质可判断A；由正态分布求解判断出B；由二项分布即可判断选项C；由概率分布列的性质求出，进而求出判断D. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，随机变量且， 所以， 所以，故B正确； 对于C，根据二项分布的概念可知随机变量，故C正确； 对于D，，，，故D正确． 10. 学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，则下列说法正确的有（ ） A. 服从超几何分布 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可知服从超几何分布，可取，再分别求出对应概率，计算期望及方差进行判断即可． 【详解】由题可知，总候选人，甲班候选人，抽取名，为甲班人数， 所以服从超几何分布，且可取，故A正确， ，，，，故B错误； 则的分布列为： 0 1 2 3 ，C正确； ，D错误． 11. 在无穷数列中，记，若，仍是中的项，则称为“和封闭数列”.下列说法正确的有（ ） A. 若，则为“和封闭数列” B. 若，则不为“和封闭数列” C. 若为“和封闭数列”，则也为“和封闭数列” D. 若为无穷等差数列，则一定可以分解成两个“和封闭数列”的和的形式 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，先计算的前项和，验证对任意正整数，都存在正整数​使得，结合“和封闭数列”定义判断；对B，验证的前项和不是数列中的项；对C，取，验证的前项和不是中的项；对D：设无穷等差数列通项为，通过推导验证是否一定能拆分为两个“和封闭数列”的和，判断正误. 【详解】对于A：若 ，则前项和 ​， 因为一奇一偶，一定是正整数，记，则，即是数列中的项， 因此是“和封闭数列”，A正确； 对于B：若 ，则，不是的幂，即不在数列中，因此不为“和封闭数列”，B正确； 对于C：取（已证是和封闭数列），其，即为， 的前项和，不存在正整数使得，即不是中的项， 因此不是和封闭数列，C错误； 对于D：任意无穷等差数列可写为 （）， 令 ，，显然 ​， 对，前项和 ，取， 由于一定是偶数，因此是正整数，且​，故是和封闭数列； 对，前项和 ​​，是正整数，故是和封闭数列； 因此任意无穷等差数列都可以拆成两个和封闭数列的和，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数．若，，则的值为__________，曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用可求的值，从而得到，再求即可求切线方程. 【详解】，所以，解得. 所以，则，所以. 又，所以在点处的切线方程为，即. 13. 某班一天8节课，上、下午各4节.现安排上午两节语文课连上，上、下午均有一节数学课，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，则不同的排法有__________种.（用数字作答） 【答案】576 【解析】 【分析】先排语文与数学，再通过乘法原理求解即可. 【详解】先安排上午连上的语文课，则可能有3种，再安排数学课，上午还剩下两节课， 所以上午数学课有2种选择，下午有四节课，所以下午数学课有4种选择， 最后安排英语、物理、体育、音乐，共种，所以共种. 14. 设事件，为两个随机事件，已知，，且，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用条件概率公式计算求解. 【详解】根据条件概率公式可得，， 结合题设，代入，， 可得，所以解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着居民生活水平提升、消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记2021～2025年的年份代码分别为1～5，下表为2021～2025年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）． 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 1.7 1.8 1.9 2.2 2.4 （1）根据表中数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系； （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年中国智能小家电的市场规模． 附：①样本相关系数，； ②经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式为． 【答案】（1）因为相关系数非常接近于1，故可以用线性回归模型拟合与的关系． （2），2.54千亿元． 【解析】 【分析】（1）利用数据计算出相关系数即可. （2）利用公式计算经验回归方程即可. 【小问1详解】 由题意得，，， 则， ， ， 于是， 因为相关系数非常接近于1，故可以用线性回归模型拟合与的关系． 【小问2详解】 由（1）中数据，得， 则，故关于的经验回归方程为． 当时，， 则估计2026年中国智能小家电的市场规模为2.54千亿元． 16. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生. （1）根据已知条件补充完整下表，并根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关； 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 （2）采用样本比例分配的分层随机抽样的方法从喜欢军事的学生中随机抽取15人进行一次军事知识竞赛，其中有3人可以获得“军事百科达人”的称号，记这3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 认为该校学生喜欢军事与性别有关联 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）先补全列联表，根据列联表，代入公式，求的值，依据附表判断. （2）由（1）求出抽取的15人中男生人数和女生人数，的取值为0，1，2，3，根据古典概型，分别求出取值的概率，得出分布列，再由期望公式求期望的值. 【小问1详解】 设男生有人，则，解得， 所以喜欢军事的男生人，不喜欢军事的男生有20人； 不喜欢军事的女生有35人，所以列联表如下： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关． ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校学生喜欢军事与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】 由（1）知，参加军事知识竞赛的男生有人，女生有人， 的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． 17. 已知数列是以为首项，4为公比的等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算，再利用累加法可求. （2）利用，计算，从而得到，再利用错位相减法可求和. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，由累加法，得 ， 当时，，满足上式， 综上所述，． 【小问2详解】 由（1）得，，则， ， ， 所以 ， 所以． 18. “OpenClaw”是一款开源、本地优先、可自行托管的AI智能体执行网关，由一名欧洲开发者在2025年11月发起该项目，2026年1月对项目正式定名.其本质是自主执行型AI助手，可实现数据收集、处理、分析、推理和预测模拟的全过程.某工厂想利用“OpenClaw”通过技能添加实现AI系统模型每天对，，三条生产线的产品缺陷进行在线检测，其检测的准确率分别为，，，且每条生产线的检测结果相互独立. （1）求第一天AI系统检测准确的生产线数量的分布列和数学期望； （2）若AI系统对于生产线前一天的缺陷检测准确，则第二天检测准确的概率为，否则准确率为.若系统模型对于生产线的检测准确率不低于0.7，继续用此系统模型进行预测，否则调整检测系统模型，那么一个检测系统模型最多可以检测几次就要调整？ 【答案】（1） 0 1 2 3 （2）3次 【解析】 【分析】（1）由生产线数量可能取值为0，1，2，3．分别求出其概率得分布列，再由期望公式计算出期望； （2）设为第天生产线检测准确的概率，得出递推关系，求出通项公式，然后解不等式可得. 【小问1详解】 由题意得，生产线数量可能取值为0，1，2，3． 且， ， ， . 因此的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． 【小问2详解】 设为第天生产线检测准确的概率， 由题意得，， 进而， 由，得，所以是首项为、公比为的等比数列， 所以． 令，即，解得， 故最大正整数，即一个检测系统模型最多可以检测3次就要调整． 19. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数. （1）求的解析式； （2）已知函数. （i）求证：函数有且只有一个零点； （ii）记函数的零点为，求证：. 【答案】（1） （2）（i）由题意知， 的定义域为， 当时，，此时在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一零点； 当时，，，所以， 所以在上没有零点； 当时，，所以，所以， 所以在上没有零点． 综上，有且只有一个零点． （ii）由题意知，，且， 所以， 所以． 令，因为，所以， 又，则， 所以， 因为，所以，即． 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数定义列出关于与的两个等式，联立消去解出； （2）（i）拆分定义域三段分别分析符号，结合单调性与零点存在定理判定仅一段存在唯一零点，其余区间恒正无零点，从而得证；（ii）利用零点条件对目标式代换变形，换元确定取值范围，将原式化为关于的二次函数，结合范围推证. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以， 所以， 因为是奇函数，所以， 所以， 所以，即． 【小问2详解】 （ⅰ）略；（ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $