1.1.1空间向量及其线性运算 （教学课件）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线、共面向量定理，通过无人机三维位移、塔吊受力情境导入，类比平面向量知识，搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生构建空间向量知识体系。 其亮点在于以情境化问题驱动学习，通过类比推理培养数学思维，如用平行六面体证明加法结合律。结合“数学眼光”“数学思维”素养，设置合作探究与真题训练，小结系统梳理知识。助力学生提升直观想象与逻辑推理能力，为教师提供丰富教学资源与实施路径。

第一章 空间向量与立体几何 1.1.1空间向量 及其线性运算 ·选择性必修第一册· 学习目标 通过类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念（重点） 通过类比平面向量的线性运算法则与运算律推出空间向量的线性运算法则和运算律并掌握（重点、难点） 通过合作探究，归纳得出共线向量定理与共面向量定理并理解，培养学生的自主探究能力和归纳总结能力，提升直观想象素养（重点、难点） 目录 CATALOG 01.空间向量与数量 03.应用新知 02.空间向量线性运算（加、减、数乘） 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 1.1.1空间向量及其线性运算 01 空间向量与数量 导入新知1：无人机山地三维位移情境 山林伐木点设立在山顶高地，山脚物资仓库位于山谷平地，两点不在同一平面。早年运输木料只能沿盘山公路平面绕行，如今使用无人机可直接跨越沟壑、垂直飞行直达仓库。提问1：如果只告知工人“木料需要移动500米”，无人机可以精准到达仓库吗？为什么？ 提问2：补充完整描述“从山顶伐木点向东南下方空间直线飞行500米到达山脚仓库”，无人机可精准定位。这里“500米”、“东南下方”分别对应这个三维量的什么特征？ 追问：生活、物理中还有哪些需要同时描述大小+方向的三维场景？塔吊斜向拉力、飞机飞行速度、水下浮力；对比体积、温度、海拔这类只有数值的量，二者本质区别是什么？ 导入新知2：建筑工地塔吊受力情境 建筑工地塔吊起吊钢筋构件，构件同时受到三个不同方向的力：竖直向下的重力、钢缆斜向上的拉力、水平侧向风力，三个力分属不同三维空间方向。 提问1：仅描述“钢筋受力3000牛”，工人能否完整判断构件运动趋势？会出现什么问题？ 提问2：完整标注拉力3000N、斜向上45°，重力3000N竖直向下，侧向风力200N水平向西，才能完整受力分析。每一个力都包含哪两个关键信息？ 追问：对比房间面积、建材质量、施工时长这类只有数值没有方向的量，三维拉力、重力具备什么独有属性？ 新课探究 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念及向量的表示吗？ 平面向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 空间向量的概念 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 探究1 新课探究 平面向量的表示法 空间向量的表示法 (1)有向线段 A (起点) B (终点) a (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y) a c b 印刷体：a 手写体： (1)有向线段 (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y，z) 新课探究 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 模为 0 的向量，记作 0 ；零向量的方向任意； 模为 1 的向量； 模和方向都相同的两个向量，记作 a＝b ； 模相同，方向相反的两个向量，记作 a＝－b ； 零 向 量： 单位向量： 相等向量： 相反向量： 新课探究 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线。 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线。 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量的有关概念、空间向量的加减运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量共线的判定 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量共线的判定 02 空间向量线性运算（加、减、数乘） 1.1.1空间向量及其线性运算 新课探究 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算。先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律。 探究2 新课探究 转化 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 a b O . α 新课探究 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (1) 加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 (1) 加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 b 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量的加减运算、空间向量数乘运算的几何表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量的加减运算、空间向量数乘运算的几何表示 新课探究 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (2) 数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝0. (2) 数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝0. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 新课探究 平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向量线性运算的运算律吗？ 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (3)运算律： (3)运算律： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. 探究3 新课探究 思考： 如何证明空间向量的加法结合律呢？ a c b 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记 则 a + (b + c) ＝ (a + b ) + c ＝ 所以有：a + (b + c)＝(a + b ) + c. a， b， c . 新课探究 证明空间向量的加法结合律 a c b 一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O为起点， a，b，c为邻边作平行六面体，则 a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量。 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量加减运算的几何表示、数乘运算的几何表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量加减运算的几何表示、数乘运算的几何表示 学习新知 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？ 平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件 对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是： 存在实数λ，使a＝λb . 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是： 存在实数λ，使a＝λb . 探究4 学习新知 直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 , 使得 直线 可以由其上一点和它的方向向量确定。 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量共线的判定 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由空间向量共线求参数或值 学习新知 共面向量 O A l 学习新知 思考： 空间中的任意三个向量是否共面，什么条件下三个空间向量共面？ 若 p在α内，则有 p＝xa +yb； 若 p＝xa +yb，则 p在α内。 a O b p α p . 学习新知 三个不共线的空间向量共面的充要条件 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判定空间向量共面 学习新知 三个不共线的空间向量共面定理的推论 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量共线的判定、判定空间向量共面 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量共线的判定、判定空间向量共面 新课探究 思考： 如何证明三个不共线的空间向量共面定理的推论？ 新课探究 思考： 如何证明三个不共线的空间向量共面定理的推论？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量共面求参数 03 应用新知 1.1.1空间向量及其线性运算 应用新知 O A B C D E F G H 图1.1-9 应用新知 O A B C D E F G H 图1.1-9 应用新知 规律方法 应用新知 变式训练： 04 题型强化训练 1.1.1空间向量及其线性运算 重点题型专练 题型一 空间向量的有关概念 例题 重点题型专练 题型一 空间向量的有关概念 （要求写出所有适合条件的向量） 例题 重点题型专练 题型一 空间向量的有关概念 解析 重点题型专练 方法总结 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. 重点题型专练 题型二 空间向量的线性表示 例题 重点题型专练 题型二 空间向量的线性表示 解析 重点题型专练 方法总结 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 重点题型专练 方法总结 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 05 真题感知 1.1.1空间向量及其线性运算 真题感知 真题感知 真题感知 真题感知 06 小结及随堂练习 1.1.1空间向量及其线性运算 课堂小结 作业 教科书第5~6页练习第1、2、3、4、5题； 1.1.1空间向量及其线性运算 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 2.（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则下列向量中与向量 平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【详解】由长方体，可得，，所以四边形是平行四边形，所以， 同理可得，又，分别为，的中点，所以，所以，所以向量平行于，因为直线与直线相交，又， 所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 如图,已知空间向量，以任意点为起点，作向量， 我们就可以把它们平移到同一个平面内。 3.（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体 中， ，设 ， ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得 ，故A正确. 故选：A 4.（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体 中，下列各式的运算结果不为向量 的是（   ） A． B． C． D． 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，．故选：C. 5.（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图， 分别是四面体 的棱 的中点，且 ，记 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 故选：A. 6.（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体 中，下列向量与 平行的是（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，在正方体中，. 故选：A. 7.（23-24高二下·江苏泰州·期末）设m是实数，已知 ， ，若 ，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【详解】由，设，即． 故选：B 如图，如果表示向量的有向线段所在的 直线与直线平行或重合，那么称向量平行于 直线．如果直线平行于平面或在平面内， 那么称向量平行于平面． 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)． 如果两个向量，，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是： 存在唯一的有序实数对,使. 8.（25-26高二上·广东东莞·期中）若 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【详解】对A：因为， 故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确. 故选：D. 若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O， 有，则： 的充要条件为：P，A，B，C四点共面 9.（25-26高二上·北京朝阳·期末）设 ， ， ， 为空间向量且均为非零向量，已知 ，给出下列四个结论：① 与 共线；② 与 不共线；③ ， ， 共面；④ ， ， 不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由上可知：因为任意两个空间向量总是共面的， 所以，是共面向量，又与共线，即， 所以向量可以平移到向量，所在的平面内， 所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 充分性：因为，且； 所以 所以 即, 由共面定理可得，、四点共面； 必要性：因为、四点共面，所以由共面定理可得，存在唯一的有序实数对,使. 由向量的减法可得，，， 所以 所以 即，， 所以. 10.（25-26高一下·重庆·期末）已知 是同一平面内的四点，且任意三点不共线， 为平面外一点，若 ，则实数 的值为（    ） A．1 B． C． D． 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 故选：D. 例1：如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点， 作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，， 使． 求证：，，，四点共面． 分析：欲证，，，四点共面，只需证明，， 共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由， ，共面的表达式推得，，共面的表达式． 证明：因为， 所以，，，． 因为四边形是平行四边形，所以． 因此 ． 由向量共面的充要条件可知，，，共面， 又，，过同一点，从而，，，四点共面． 证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面。 (2)四点共面：若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))＋zeq \o(OC,\s\up16(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面。 (3)证明向量共面或四点共面，也可以利用共面向量的定义，借助线面平行的判定定理，寻找一个平面，证明这些向量都与该平面平行。 【详解】因为，，， 所以， 所以与、共面． 1.（1）给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； ③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(A1C1,\s\up13(→))； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p. 其中正确命题的序号是________． (2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中， 顶点连接的向量中，与向量eq \o(AA′,\s\up15(→))相等的向量有 ________；与向量eq \o(A′B′,\s\up15(→))相反的向量有________． (1)②③④　(2)eq \o(BB′,\s\up15(→)),eq \o(CC′,\s\up15(→)),eq \o(DD′,\s\up15(→)) 　 eq \o(B′A′,\s\up15(→)),eq \o(BA,\s\up15(→)),eq \o(CD,\s\up15(→)),eq \o(C′D′,\s\up15(→))　 对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错； 对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，eq \o(AC,\s\up15(→))＝eq \o(A1C1,\s\up15(→))，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确． (2)根据相等向量的定义知，与向量eq \o(AA′,\s\up15(→))相等的向量有eq \o(BB′,\s\up15(→))，eq \o(CC′,\s\up15(→))，eq \o(DD′,\s\up15(→)).与向量eq \o(A′B′,\s\up15(→))相反的向量有eq \o(B′A′,\s\up15(→))，eq \o(BA,\s\up15(→))，eq \o(CD,\s\up15(→))，eq \o(C′D′,\s\up15(→)). 2．已知空间四边形，其对角线为、、 分别是边、的中点，点在线段上，且使 ，用向量、、表示向量是（  ）。 A． B． C． D． 【详解】连接， 则， 因为，则， 因此，. 故选：A. 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，.故选：D. 1.（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）   A． B． C． D． 【详解】在空间四边形中，， 则.故选：D. 2.（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）   A． B． C． D． 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 3.（24-25高二上·广西桂林·期末）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误.故选：AC 4.（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． $