精品解析：宁夏银川市灵武市第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

灵武市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项 1．本科考试分试题卷和答题卡，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请按要求填写学校、班级、考号、姓名； 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，则关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 4. 在运动会中，有5位男同学参加学校组织的100米，400米，800米，1500米，每人限报其中的一项，则不同报法的种数有（ ） A. B. C. D. 5. 有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（   ） A. B. C. D. 0.7 6. 下列说法正确的是（ ） A. 残差散点图所在的带状区域越宽，则两个变量的相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 数据的分位数是6 D. 在线性回归分析中，线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 7. 已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设离散型随机变量的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 若离散型随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 某校随机调查了40名高三学生某周参加体育锻炼的次数，得到如下频数分布表： 锻炼次数x 0 1 2 3 4 5 频数n 4 6 10 12 6 2 根据以上数据，下列结论正确的是（ ） A. 这组样本数据的中位数为2.5 B. 这组样本数据的平均数为2.4 C. 从这40名学生中随机抽取2名，恰有1名学生该周锻炼次数不少于 3次的概率为 D. 若从锻炼次数不少于3次的学生中按分层抽样抽取10人，则应从锻炼次数为4次的学生中抽取4人 11. 现有四个不透明的袋子，每个袋子中均有标号为的个球，其中袋中全是红球，袋中全是白球，袋中全是黄球，袋中全是黑球.若甲、乙、丙、丁四人随机从四个袋中选取一个(可多人选同一个袋子)，并从中随机取出一个球， 则（ ） A. 取出的四个球颜色互不相同的概率为 B. 取出的四个球中红球比白球恰好多2个的概率为 C. 当时，取出的四个球既不同色也不同号码的概率为 D. 若甲、乙、丙、丁分别取到红、白、黄、黑球，则甲、乙、丙三人取到的号码之和等于丁取到的号码的概率为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 随着我国对新冠肺炎疫情的控制，全国消费市场逐渐回暖，2023年7月28日长春市民翘首以盼的大型商城华润万象城正式营业，商场统计的客流盘x（单位：万人）与销售额y（单位：百万元）的数据表有部分污损，如下所示： x 10 8 6 4 2 y 68 41 31 15 已知x与y有线性相关关系，且经验回归方程为，则表中污损数据应为______. 13. 的展开式中的系数为________. 14. 一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为，，，当且仅当，时称为“凹数”如，等，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 16. 为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 认真完成作业 总计 （1）求； （2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值； （3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免 的费用（元） 3 4 5 6 7 用户数量（万人） 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知与线性相关. （1）求关于的线性回归方程； （2）据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 18. 小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． （1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； （2）记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； （3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 19. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灵武市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项 1．本科考试分试题卷和答题卡，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请按要求填写学校、班级、考号、姓名； 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，集合，因此. 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，则关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1，3图表示的正相关，且第3个图中的点比第1个图中的点分布更为集中， 所以， 第2，4图表示的负相关，且第4个图中的点比第2个图中的点分布更为集中， 所以，所以， 综上所述，. 故选：C. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【详解】根据正态分布性质可知，所以， 所以. 4. 在运动会中，有5位男同学参加学校组织的100米，400米，800米，1500米，每人限报其中的一项，则不同报法的种数有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可求解. 【详解】根据题意可得每个人都有4种报名方法，则5人有种报名方法. 故选：B. 5. 有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（   ） A. B. C. D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及超几何分布求解即得. 【详解】由题意知的所有可能取值为，，，服从超几何分布， 则，，， 所以. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 残差散点图所在的带状区域越宽，则两个变量的相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 数据的分位数是6 D. 在线性回归分析中，线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 【答案】D 【解析】 【分析】残差散点越集中，相关性越强，所以A错；正态分布关于均值对称，可由求出的值，B错；先将数据按从小到大排列，再求分位数，C 错；线性相关系数绝对值越接近1，线性相关性越强，D对. 【详解】选项A，残差散点图所在的带状区域越窄， 说明残差越小，模型拟合效果越好，两个变量的线性相关性越强， 因此“带状区域越宽，相关性越强”说法错误，所以A错. 选项B,因为所以该正态分布关于对称， 已知由对称性可得 又因为所以 故所以B错. 选项C，将数据按从小到大排列：共有 7 个数据， 故分位数是第 5 个数，即不是 6.所以C错. 选项 D，在线性回归分析中，线性相关系数满足 且越大，说明两个变量的线性相关性越强；越接近 0，说明线性相关性越弱.所以D正确. 7. 已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，可以用赋值法判断；对于B，利用二项式展开的通项公式进行判断；对于C，可以用赋值法判断；对于D，使用求导法进行判断. 【详解】对于A，令,得 ，故A正确； 对于B，设的通项为，令，得，所以，故B正确； 对于C，令,得 ， 令,得 ， 两式相减，得 ，，故C错误； 对于D，两边求导，得 ， 令，得 ，即，故D正确. 8. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由求出,再由求出，最后利用即可求解. 【详解】设为第天选套餐，为第天选套餐， 则， ； 从而， . 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设离散型随机变量的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 若离散型随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】AB选，根据概率之和为1及求出；CD选项，根据，计算出，进而根据公式计算出，. 【详解】AB选项，有题意得，且， 解得，A错误，B正确； C选项，因为，所以，C正确； D选项，， 因为，所以，D错误. 故选：BC 10. 某校随机调查了40名高三学生某周参加体育锻炼的次数，得到如下频数分布表： 锻炼次数x 0 1 2 3 4 5 频数n 4 6 10 12 6 2 根据以上数据，下列结论正确的是（ ） A. 这组样本数据的中位数为2.5 B. 这组样本数据的平均数为2.4 C. 从这40名学生中随机抽取2名，恰有1名学生该周锻炼次数不少于 3次的概率为 D. 若从锻炼次数不少于3次的学生中按分层抽样抽取10人，则应从锻炼次数为4次的学生中抽取4人 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用中位数的定义即可判断选项A；利用平均数的定义即可判断选项B；利用古典概率公式计算即可判断选项C；根据分层抽样的定义计算即可判断选项D． 【详解】对于A，由总共有40个数据，则中位数为第20、21个数据的平均数， 又第20个数据是2，第21个数据是3，所以这组样本数据的中位数为，故A正确； 对于B，这组样本数据的平均数为，故B正确； 对于C，由该周锻炼次数不少于 3次的学生有人，则少于 3次的学生有人， 所以恰有1名学生该周锻炼次数不少于 3次的概率为，故C正确； 对于D，结合选项C有锻炼次数不少于 3次的学生有人，锻炼次数为4次的学生有人， 则应从锻炼次数为4次的学生中抽取人，故D错误． 11. 现有四个不透明的袋子，每个袋子中均有标号为的个球，其中袋中全是红球，袋中全是白球，袋中全是黄球，袋中全是黑球.若甲、乙、丙、丁四人随机从四个袋中选取一个(可多人选同一个袋子)，并从中随机取出一个球， 则（ ） A. 取出的四个球颜色互不相同的概率为 B. 取出的四个球中红球比白球恰好多2个的概率为 C. 当时，取出的四个球既不同色也不同号码的概率为 D. 若甲、乙、丙、丁分别取到红、白、黄、黑球，则甲、乙、丙三人取到的号码之和等于丁取到的号码的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】四人随机从四个袋中选取一球的颜色有种，利用古典概型的概率公式判断AC；取出的四个球中红球比白球恰好多2个，有两种情况，即红球2个，白球0个，或者红球3个，白球1个，分别求概率相加判断B；将所求概率转化为求的整数解的个数，利用隔板法求出时，方程的解的为组数为，再利用组合数性质求和，判断D. 【详解】对于A，四个人选出球颜色互不相同的概率为，A正确； 对于B，取出的四个球中红球比白球恰好多2个，有两种情况， 即红球2个，白球0个，概率为， 或者红球3个，白球1个，概率为， 所以取出的四个球中红球比白球恰好多2个的概率为，B正确； 对于C，四个球既不同色也不同号码的概率为，C错误； 对于D，设甲、乙、丙、丁取到球的号码分别为， 则所求概率转化为求的整数解的个数， 当时，由隔板法可得方程的解的组数为， 当时，方程的解的组数为，， 当时，方程的解的组数为， 故满足条件的取法有 ， 故所求概率为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 随着我国对新冠肺炎疫情的控制，全国消费市场逐渐回暖，2023年7月28日长春市民翘首以盼的大型商城华润万象城正式营业，商场统计的客流盘x（单位：万人）与销售额y（单位：百万元）的数据表有部分污损，如下所示： x 10 8 6 4 2 y 68 41 31 15 已知x与y有线性相关关系，且经验回归方程为，则表中污损数据应为______. 【答案】50 【解析】 【分析】根据回归方程必经过点计算可得. 【详解】设污损数据为，则，， 由. 故答案为：50. 13. 的展开式中的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令，或，即可求得答案. 【详解】因为的展开式的通项：， 取项的组合方式：展开式中的项是由乘以展开式中的项，与乘以展开式中的项相加得到， 故需求解展开式中和时的情况， 所以的展开式中的系数为, 故答案为： 14. 一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为，，，当且仅当，时称为“凹数”如，等，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先找到组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点数，再找到“凹数”的个数，用古典概型的知识相除即可． 【详解】组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点共有个， 而满足三位数是“凹数”的有，，，，，，，共个， 所以这个三位数为“凹数”的概率为． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）把代入集合，然后求出，； （2）转化条件间的关系为集合间的关系，从而求出的取值范围. 【小问1详解】 把代入集合，得 ，， 或. 【小问2详解】 设，，若是的必要不充分条件，则真包含B， 那么，解得 , 所以的取值范围为. 16. 为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 认真完成作业 总计 （1）求； （2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值； （3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2） （3）有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效 【解析】 【小问1详解】 由列联表知， 【小问2详解】 由列联表知，不认真完成作业的有人，不认真完成作业且成绩不优秀的有人，所以在不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的频率为， 所以不认真完成作业且成绩不优秀的概率的估计值为． 【小问3详解】 零假设：假设认真完成作业与成绩优秀无关； 由列联表得到， 所以有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效. 17. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免 的费用（元） 3 4 5 6 7 用户数量（万人） 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知与线性相关. （1）求关于的线性回归方程； （2）据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】（1） （2）万人 【解析】 【分析】（1）根据已知数据，先求得，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程； （2）利用回归方程估计. 【小问1详解】 解：由 有， 故关于的线性回归方程为； 【小问2详解】 解：由（1）知回归方程为，当时，， 所以预测该月的用户数量为万人. 18. 小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． （1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； （2）记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； （3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件为第次投中，则前次投篮中就通过测试可表示，再由概率的加法公式及相互独立事件概率可得； （2）先确定的可能的值，再分别计算相应的概率及期望可得； （3）先计算通过测试概率，再计算前三次通过测试的概率，进而由条件概率公式可得. 【小问1详解】 设事件为第次投中， 则小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率为：． 【小问2详解】 的所有可能取值为：． ，， ，． 则的分布列为： ． 【小问3详解】 设事件：小溪同学通过测试，事件：小溪同学恰好投篮了三次， 因为投篮五次通过概率为， 则，， 则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：． 19. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ），. （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据题意可知Y服从超几何分布，根据数学期望计算即可； （ⅱ）根据题意可知，分别求出和再比较它们大小即可； （2）根据题意列出进行计算出，再根据函数的导函数求出a的取值范围. 【小问1详解】 （ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，可取0，1，2，3，4， ， ；；； ；； 服从超几何分布，的分布列为： 0 1 2 3 4 ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下， 设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则；； ； 故， 由（ⅰ）可知， 因为，所以； 【小问2详解】 当，则，若最大，则， 即，得 又，， 故，，由题得方程有两个不相等的正实根， 两边取对数得有两个不相等的正实根， 构造函数，求导得， 令，解得； 当时，；当时，； 易知在单调递增，在单调递减，且， 可知的图象如下图所示： 由数形结合得，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $