精品解析：宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

银川一中2025/2026学年度(下)高二期末考试 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，所以， 又由集合，所以. 2. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案. 【详解】若，则一定是第一象限角，充分性成立； 若是第一象限角，则， 无法得到一定属于，必要性不成立. 所以“”是“是第一象限角”的充分不必要条件. 故选：A 3. 设，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式求解最小值. 【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号， 所以的最小值为. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确. 【详解】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 故选：A 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合中间值、对应函数单调性比较三个数的大小. 【详解】由对数函数单调性得； 幂函数在单调递增，故，即， 因此. 6. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，联立方程组，求得，代入即可求解. 【详解】因为，联立方程组， 因为角为第二象限角，所以， 所以， 则. 7. 已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的单调性，得到满足题意的的范围，根据，得到与之间的关系，构造关于的函数，求该函数的值域即可. 【详解】根据题意，因为是单调递增函数，也是单调增函数， 且，故在整个定义域上都是单调增函数. 当且仅当时，满足题意， 否则不妨令，要满足题意，则有. 又因为，故可得， 解得， 故， 令， 则，令，解得， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，没有最大值. 综上所述：故的取值范围为. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求函数的值域，以及分段函数的单调性，属综合性中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，则下列命题中错误的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可. 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 10. 已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系计算. 【详解】，解得，A正确； ，又为锐角，所以， 则，，，B不正确，D正确； ，C正确. 11. 已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D. 若，则在区间上的零点之和为0 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 也即， 当时，成立， 当时，， 又函数是定义在上的偶函数， 所以，故A错误； 对于B，， 由，所以函数的周期为6， 所以，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数， 由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确； 对于D，令，则或， 此时在区间有一个零点， 因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，， 所以， 此时， 所以在区间共有个零点分别为， 此时，故D不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则 _________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用单位圆的三角函数定义得到、的值，通过诱导公式化简所求表达式后，代入计算即可得到结果. 【详解】角终边与单位圆交于，根据三角函数定义： ​， ， 又，， 因此原式. 13. 已知，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】结合题意先求出和，再利用换底公式和对数的运算性质求解即可. 【详解】由知，，，同理可得. 得到. 故答案为：1 14. 已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，根据题干中已知条件凑出问题中的不等式即可求解. 【详解】构造函数，则，且， 因为对于任意的，都有， 所以，故函数在R上单调递减， 所以解不等式即，即解，所以， 故不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，曲线在点处的切线斜率为1． （1）求实数的值； （2）设函数，求函数的单调区间． 【答案】（1）； （2）单调递减区间为，单调递增区间为． 【解析】 【分析】（1）求出导数，根据导数的几何意义列式求得； （2）求出，判断的正负即可求得的单调区间. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，又， 因为．所以，解得． 所以实数的值为1. 【小问2详解】 因为，， 则， 令，得， 与在区间上的情况如下： 0 0 + 递减 极小值 递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 16. 某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 （1）求的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 【答案】（1） （2） 0 1 2 （3）经验回归方程的拟合效果不良好 【解析】 【分析】（1）求出根据回归直线必过样本中心点求解即可； （2）可能取值为，求出对应概率，进而得到分布列和期望； （3）求出代入公式，即可得到答案. 【小问1详解】 ， ， 因为，即， 解得. 【小问2详解】 5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值， 所以可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 期望. 【小问3详解】 ， ， 所以经验回归方程的拟合效果是不良好. 17. 设函数，已知是函数的极值点． （1）求的值； （2）设函数，证明：． 【答案】（1）1 （2）由（1）得，所以， 由（1）可知，是函数的最小值点，所以对任意的，， 要证，即证， 即证，只需证， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以 ， 综上，在上恒成立. 【解析】 【分析】（1）由极值点处导数为0即可求解出参数，代回检验得解； （2）由（1）得，要证，即证，即证，构造函数，利用导数证明. 【小问1详解】 因为，所以， 则， 因为是函数的极值点， 所以，解得， 当时，，， 当时，，则 ，，故， 所以函数在上单调递增； 当时，，则 ，，故， 所以函数在上单调递减； 综上，是函数的极值点，符合题意，故. 【小问2详解】 略 18. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】（1） （2）的分布列为： -3 1 5 9 数学期望为 （3），理由如下： 当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【小问1详解】 设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）若，求在上的最值． （2）若且，关于的方程在上仅有一个实根． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的最大值． 【答案】（1）最小值为，最大值为 （2）（ⅰ）证明：令， 则， 令，显然在上单调递增，又，， 所以存在唯一的，满足，即， 且当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 是在上的极小值，也是最小值，又因为， 要使在上仅有一个实根，必需，所以； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，然后与端点值进行比较即可求得最值； （2）（ⅰ）令，并用导数研究其单调性，根据单调性找到隐零点，结合函数在区间单调性即可确定根的唯一性，即可证明. （ⅱ）先求得，然后，利用导数求出单调区间，即可求解最大值. 【小问1详解】 若，则，所以， 令，可得或， 令，可得或，令，可得， 故在单调递减，，单调递增. 所以.在处取得最大值，在处取得最小值 ，又， 所以在上的最小值为，最大值为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，， 将代入，得，所以，所以， 令， 则， 令，可得，令，可得， 故在单调递减，单调递增. 即在处取得最大值. 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2025/2026学年度(下)高二期末考试 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，则下列命题中错误的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若，则 10. 已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D. 若，则在区间上的零点之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则 _________. 13. 已知，则______. 14. 已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，曲线在点处的切线斜率为1． （1）求实数的值； （2）设函数，求函数的单调区间． 16. 某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 （1）求的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 17. 设函数，已知是函数的极值点． （1）求的值； （2）设函数，证明：． 18. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 19. 已知函数． （1）若，求在上的最值． （2）若且，关于的方程在上仅有一个实根． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $