吉林长春吉大附中实验学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

“鲲鹏振翼九霄近，星斗焕章万里明” 2025-2026学年下学期高一年级期末考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为 A． B． C． D． 2．样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为 A．16 B．17 C．23 D．24 3．关于向量，，，下列说法正确的是 A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 4．已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为 A． B． C． D． 6．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 A． B． C． D． 7．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是 A． B． C． D． 8．如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是 A． B． C．的共轭复数为 D． 10．某随机试验中，事件与事件互斥，且，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 11．如图，已知正方体的棱长为1，点是侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是 A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为 B．过，，三点作正方体的截面，则截面面积为 C．三棱锥的体积最大值为 D．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球________个． 13．在中，已知，．若此三角形有两解，则的取值范围为________． 14．已知不共线的向量，，，满足，，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 在中，角，，的对边分别为，，，满足，． （1）求及边的值； （2）若的面积为，求． 16．（本小题15分） 已知向量，，且，向量，，． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17．（本小题15分） 为了了解市民的安全意识，某市进行了安全问题问卷调查，为了解全市参与者的成绩情况，从所有参与者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在60分以上的人数； （2）若划定成绩大于或等于第75百分位数为“良好”以上等级，请根据频率分布直方图，估计全市参与者的成绩在“良好”以上等级的范围；（成绩取整数） （3）已知样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为88，方差为18，成绩在内的平均数为86，方差为2，求成绩在内的平均数和方差． （设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差） 18．（本小题17分） 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中．甲队在客场获胜和平局的概率均为，加时赛甲队获胜的概率为，不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场． （1）已知． （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率． （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为，问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 19．（本小题17分） 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）若为棱上一点，且平面， （i）试确定点的位置； （ii）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高一年级期末考试数学学科试卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ABD 10．ACD 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．8 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1），；（2） 【详解】（1）在中，， 因为，所以由同角三角函数的基本关系得， 由正弦定理得，可得， 又，则，解得． 7分 （2）因为的面积为， 由（1）知，， 所以， 解得，已知， 由余弦定理得，解得 13分 16．【答案】（1）；（2） 【详解】（1），解得， 已知， 则， 解得， 7分 （2）与的夹角为锐角，则，解得， 13分 若与共线，则，解得或， 其中不在区间内，只需排除，故实数的取值范围为． 15分 17．【答案】（1）；88人；（2）；（3）平均数为94，方差为18 【详解】（1）由 2分 所以样本中成绩在60分以上的人数为：． 4分 （2）因为，，所以成绩的第75百分位数在区间内，由，因为成绩为整数， 8分 所以成绩在的可以评为“良好”以上等级． 9分 （3）设成绩在的平均数为，方差为， 由，解得． 12分 由，解得． 15分 所以成绩在内的平均数为94，方差为18． 18．【答案】（1）（i）；（ii）． （2）“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【详解】（1）（i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以． 因为，所以． 5分 （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则． 因为，所以． 11分 （2）在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜，则， 13分 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠． 17分 19．【答案】（1）；（2）（i）为棱上靠近点的三等分点；（ii）． 【详解】（1），，，，平面，平面． 平面，平面平面． 3分 取的中点，连接，，如图1所示： 为等边三角形，． 平面平面，平面，平面． 则为直线与平面上的射影，为直线与平面所成的角． 5分 ，，； ，，；． ，即直线与平面所成角的正弦值为． 7分 （2）（i）为棱上靠近点的三等分点，理由如下： 如图2，过点作交于点，连接． ，； ，，，四点共面，则平面平面； 平面，． 四边形为平行四边形，则． ，，，，即． 为棱上靠近点的三等分点满足题意． 11分 （ii）过点作交于点，连接．由（i）得； 为等边三角形，则，． ，，，四边形是平行四边形，则． 平面，平面，平面． ，平面，平面，平面． ，平面平面． 13分 过点作于点，过点作交于点，连接， 由（1）知平面，，平面． 平面，． ，，，平面，平面． 平面，； ，，，平面，平面， 平面，则； 为平面与平面所成锐二面角的平面角， 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 15分 由平面，平面，得； ，，，，为等边三角形，， ，，，． 在中，，则． 在中，，得． 在中，． 在中，． 即平面与平面所成锐二面角的正弦值为， 17分 （其他作法可酌情给分） 学科网（北京）股份有限公司 $