专题2.1 函数的概念 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕函数概念专题，覆盖函数定义、定义域（具体与抽象）、值域、解析式、分段函数等高考核心考点，按“概念-方法-应用”逻辑架构知识，通过知识梳理明确方法、题型分类解析真题、跟踪训练巩固技巧，帮助学生系统突破函数难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如通过分段函数分类讨论训练逻辑推理，抽象函数定义域问题强化符号意识，设置基础到综合的分层练习。既助学生高效掌握解题策略，又为教师提供精准复习节奏把控依据，提升应考能力。

专题2.1 函数的概念 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P60-P75） 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法； (7)数形结合法；(8)导数法. 4．函数解析式的四种求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 5．分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型1 函数的概念】 【例1】（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义判断可得出结论. 【解答过程】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义. 故选：D． 跟踪训练 1．设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．      B．  C．   D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断． 【详解】对于A：由图象可知定义域不是，不满足； 对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足； 对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足； 对于D： 时，有两个值与之对应，由函数定义可知D不满足． 故选：B． 2.（2025高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】观察所给的四个选项是否符合函数的概念，自变量到因变量对应关系允许“一对一”、“多对一”不允许“一对多”；自变量元素不允许“剩余”即可判断. 【解答过程】A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确； B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确； C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确； D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确． 故选：D. 【题型2 同一函数的判断】 【例2】（25-26高三上·浙江·阶段检测）下列函数和为同一函数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、判断两个函数是否相等 【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，而， 所以函数和不为同一函数； 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 而，， 所以函数和为同一函数； 对于C，函数的定义域为， 函数，则的定义域为， 所以函数和不为同一函数； 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 而， 所以函数和不为同一函数. 故选：B. 跟踪训练 1，下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等、求分段函数解析式或求函数的值 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是，去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据相等函数的概念一一判断即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，且，故D正确. 【题型3 具体函数的定义域】 【例3】（2025·广东·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 故函数的定义域为． 故选：B． 跟踪训练 1．函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 2.（2025·海南·模拟预测）函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可 【解答过程】由题知,解得且 即函数的定义域为 故选：D. 3.（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立；当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型4 抽象函数的定义域 】 【例4】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【详解】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 跟踪训练 1.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 2.（2025·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可知解即可得答案. 【解答过程】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C. 3.已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 【题型5 函数的值域 】 【例5】（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【详解】因为，所以，所以，故 跟踪训练 1.（25-26高三下·陕西西安·开学考试）下列函数中，定义域和值域相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【详解】函数的定义域和值域均为，所以选项A正确； 函数的定义域为R，值域为，所以选项B错误； 函数的定义域为，值域为R，所以选项C错误； 函数的定义域为，值域为R，所以选项D错误. 2.函数的值域为 ． 【答案】 【分析】解法1：利用换元法，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可；解法2：利用函数的单调性求解. 【详解】解法1：设（），则， 原函数转化为（）， 因为二次函数图象的对称轴为，且抛物线开口向上， 所以在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 解法2：函数的定义域为， 因为和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 3.（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据一次函数、二次函数、对勾函数值域的求法依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，的值域为，A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，由得：，即的定义域为， 当时，，，C正确； 对于D，当时，（当且仅当时取等号），，D错误. 故选：C. 4.（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【解答过程】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型6 求函数解析式】 【例6】若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 跟踪训练 1.已知是一次函数，且满足，求 ． 【答案】 【分析】设，根据已知条件列方程，由对应系数相等求出和的值即可求解. 【详解】因为是一次函数，设， 因为， 所以， 整理可得， 所以，可得， 所以， 故答案为：. 2.若函数，则 ． 【答案】 【分析】由换元法，即可求解. 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 3.设，函数满足，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】利用已知条件重新构造一个方程联立方程组解出即可. 【详解】由，，① 将换成得：，② ①②得：， 即， 故答案为：. 4.（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 【题型7 分段函数及其应用】 【例7】设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________． 解析：因为f(2)＝，所以f(f(2))＝f＝－－2＝－. 当x>1时，f(x)∈(0，1)，当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)， 所以f(x)∈[－3，＋∞)． 答案：－　[－3，＋∞) 跟踪训练 1.（2025·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况解方程即可求解. 【解答过程】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 2.（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．2024 【答案】A 【解题思路】通过计算求得函数的周期即可得到答案. 【解答过程】因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，，为3的倍数，则． 故选：A. 3.（25-26高二上·云南昆明·期末）设函数，则不等式的解集为________. 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、解分段函数不等式 【分析】根据分段函数解析式，分和两种情况解不等式即可； 【详解】当时，，易知为单调递增函数，故，满足； 当时，，解得， 故不等式的解集为， 【题型8 分段函数的值域问题】 【例8】（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 跟踪训练 1.（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意. 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 2.（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 3.（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，函数的值域，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，及时代入判断即可. 【详解】当时， ， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最大值， 若，在上单调递减， 要想函数有最大值，则，解得； 若，，函数有最大值1，符合题意； 故实数的取值范围为. 故选：A. 课后作业 1.函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 2．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断、抽象函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、判断两个函数是否相等 【详解】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 3.（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等、求分段函数解析式或求函数的值 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 4．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数函数的判定与求值、对数函数的概念判断与求值、求分段函数值 【详解】函数，则， 所以. 5．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【详解】由题意得：当时，， 所以， 则. 6.若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】将函数的定义域转化为恒成立即可． 【详解】因为函数的定义域为R，所以在R上恒成立， 所以在R上恒成立. 当时，符合题意； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是； 故选：D 7.（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式 【分析】令，解得，再利用原式求解. 【详解】因为，令，解得， 所以． 故选：C. 8.（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 9.（多选 26-27高三·全国·一轮复习）下列说法中正确的是（　　） A．式子可表示自变量为x，因变量为y的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．若，则 D．与是同一个函数 【答案】BCD 【难度】0.75 【知识点】函数关系的判断、求函数值、具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】对于A，通过求函数的自变量范围即可判断；对于B，根据函数的定义及图象特征判断；对于C，从内到外依次计算即得；对于D，分别比较两函数的定义域和对应法则即可判断. 【详解】对于A，由有意义，可得，解得， 故该式不能表示自变量为x，因变量为y的函数，故A错误； 对于B，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点； 当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有1个交点， 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为与的定义域都为， 且，所以两函数是同一个函数，故D正确． 10．（多选 2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、函数奇偶性的定义与判断、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】根据给定的函数等式可得，再结合求出函数解析式，然后利用二次函数性质逐项判断得解. 【详解】由，得，令函数， 则，为常函数，令，则，， 因此，的值域为是偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，ABC正确，D错误. 故选：ABC 11.（25-26高二下·天津河西·期末）已知函数，则函数的定义域为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求出函数的定义域，再根据函数和的关系，求出函数的定义域即可. 【详解】由题意，函数，则，解得， 即函数的定义域为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 12． 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________． 解析：因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－3 13.（2022·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则______. 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】用方程组法求得，代入求值即可解答. 【详解】因为，所以， 解得，所以. 故选：6 14．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 15．（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 【答案】4051 【难度】0.67 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式 【分析】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可. 【详解】令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即， 令可得，则， 因此． 16.（23-24高三上·广东惠州·阶段检测）若二次函数对任意都满足且最小值为-1，． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）法一：可设，由得到，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案； 法二：可设，由得到图象的对称轴，求出，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案； （2）转化为在上恒成立，求出的最小值大于即可，求出的单调性，进而求出的最小值，从而得到实数的取值范围. 【详解】（1）法一：由为二次函数，可设， ∵，则代入得， 化简：， 因为其对任意都成立，所以， 即． 又因为最小值为-1，且， ∴，解得， ∴； 法二：由为二次函数，可设， ∵函数满足， ∴图象的对称轴为，即， 最小值为-1，且， ∴，∴ ∴； （2）∵，即在上恒成立， 即满足函数的最小值大于． 又∵当时，对称轴为， 故在单调递减，单调递增． ∴在的最小值在取得， 即 ∴， 故的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 函数的概念 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P60-P75） 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法； (7)数形结合法；(8)导数法. 4．函数解析式的四种求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 5．分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型1 函数的概念】 【例1】（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 跟踪训练 1．设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．      B．  C．   D． 2.（2025高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 同一函数的判断】 【例2】（25-26高三上·浙江·阶段检测）下列函数和为同一函数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 跟踪训练 1，下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【题型3 具体函数的定义域】 【例3】（2025·广东·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 2.（2025·海南·模拟预测）函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 3.（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 【题型4 抽象函数的定义域 】 【例4】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型5 函数的值域 】 【例5】（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 跟踪训练 1.（25-26高三下·陕西西安·开学考试）下列函数中，定义域和值域相同的是（   ） A． B． C． D． 2.函数的值域为 ． 3.（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 4.（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型6 求函数解析式】 【例6】若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.已知是一次函数，且满足，求 ． 2.若函数，则 ． 3.设，函数满足，函数的解析式为 . 4.（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【题型7 分段函数及其应用】 【例7】设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________． 跟踪训练 1.（2025·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 2.（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．2024 3.（25-26高二上·云南昆明·期末）设函数，则不等式的解集为________. 【题型8 分段函数的值域问题】 【例8】（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 课后作业 1.函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 2．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 3.（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 5．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 6.若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7.（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 8.（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9.（多选 26-27高三·全国·一轮复习）下列说法中正确的是（　　） A．式子可表示自变量为x，因变量为y的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．若，则 D．与是同一个函数 10．（多选 2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 11.（25-26高二下·天津河西·期末）已知函数，则函数的定义域为__________. 12．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________． 13.（2022·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则______. 14．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 15．（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 16.（23-24高三上·广东惠州·阶段检测）若二次函数对任意都满足且最小值为-1，． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $