精品解析：湖南益阳市桃江县第一中学2025-2026学年高二第二学期6月测试数学试题

2026学年第二学期高二6月测试 数 学 试 题 时间:120分钟 满分:150分 出卷范围:必修一至选修三第七章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可. 【详解】由正态分布关于均值对称，知，解得. 故选：C 3. 若复数z满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设，借助复数的模长与共轭复数的定义计算即可得. 【详解】设，则， 则有， 即， 化简可得，故. 故选：D. 4. 已知函数为自然对数的底数，），若直线是图象的切线，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标，由题意可得且，求解即可. 【详解】设切点坐标为， ， 则且， 解得，再代入， 可得：， 故选：D 5. 一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】根据题意，至少含有一个黑球的概率是. 故选：B. 6. 关于函数,给出下列四个结论,其中正确的是（ ） A. 的值域是； B. 在区间上单调递增； C. 0是的一个极值点； D. 曲线与x轴有且仅有2个交点. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，可求得函数的值域，可判断A；利用函数单调性与导数的关系可判断B；利用函数极值点的定义可判断C；利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 且当时，，，， 故，即函数的值域为，A选项错误； 对于B，当时，，则，所以， 此时， 故函数在区间上单调递增，B选项正确； 对于C，因为且函数是可导函数， 故不是的一个极值点，C选项错误； 对于D，当时，，则函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为，， 故存在，使得， 且当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增，故， 因为， 故存在，使得， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，函数与函数在上的图象有且只有一个交点， 且交点的横坐标为， 由图可知，当时，，则， 即函数在上单调递增， 当时，，则， 即函数在上单调递减， 又，则， 又因为， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，， 此时，故函数在上无零点， 综上所述，函数有且只有个零点，分别为、、，D选项错误. 7. 已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用余弦定理得出，再结合向量的数量关系应用数量积公式得出边长，最后应用角分线定理计算面积. 【详解】因为，所以，所以，所以，所以， 又因为，所以，且， 所以，所以，所以，所以， 在中，，所以，所以，所以， 由角平分线定理得，所以，所以， 所以 . 8. 已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得直线的方程为，联立两椭圆方程整理得到，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】根据对称性及可得直线的方程为， 由，可得，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是得到直线的方程，从而得到，最后将变形为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则（ ） A. 事件与事件相互对立 B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式判断A；利用条件概率公式与对立事件的概率公式求得，从而利用独立事件的概率公式判断B；利用事件的概率公式判断C；利用条件概率公式判断D. 【详解】对A，因为，不满足， 所以事件与事件不是相互对立事件，故A错误； 对B，根据题意可得， 由条件概率公式可得，， 又，，所以， 又易知，所以； 即满足，所以事件与事件相互独立，故B正确； 对C，易知，故C正确； 对D，由条件概率公式可得，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点与点重合时，直线平面 B. 当点移动时，点到平面的距离为定值 C. 当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为 D. 当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据平行线确定一个平面即可判断，对BC建立空间坐标系进行判断，对D作出截面图形，并求出相关长度，利用面积公式即可求出. 【详解】对A，因为，所以点四点共面， 当点与点重合时，直线平面，故A正确； 对B，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 因为为中点，则设，，，， 则，，， 设平面的方向量为，则，即， 令，则，所以， 则点到平面的距离，显然不是定值，故B错误； 对C，当点与点重合时，由B知此时，，平面的法向量， 设平面与平面夹角为，， 则，故C正确； 对D，连接，并在上底面内将直线沿着的方向平移，直至该直线经过点，交于点，交于点， 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，因为点， 所以平面截正方体所得的图形为四边形， 不妨以为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系， 则，因为为线段中点，则， 根据直线，则，设直线的方程为，代入点坐标得 ，解得，则，则点位于线段的四分之一等分点处，且靠近点， 点位于线段的四分之一等分点处，且靠近点， 则，，，结合， 则四边形为等腰梯形，则其高为, 则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题BC选项的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式和面面角的空间向量求法进行计算判断，对D选项的关键是作出截面图形，并求出相关长度，得出其截面为等腰梯形，最后计算面积即可. 11. 已知等差数列的前项和为.正项等比数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 不可能是等差数列 B. 若，则 C. 是等差数列 D. 若单调递减，则单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】通过举反例的方法判断A、D；在等差数列中，由得，再利用等差数列通项的性质可判断B；利用等差数列的定义结合等差数列的前项和公式及等比数列的定义即可判断C. 【详解】对于A，当等比数列的公比时，，是等差数列.故A不正确. 对于B，在等差数列中中，由得， ∴，即，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 则为常数. 所以是等差数列；故C正确； 对于D，令，显然单调递减，单调递减，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某学校参加高中数学联赛的10人的成绩（单位：分）为：164，166，167，173，178，249，255，270，277，282，则这组数据的第75百分位数是______． 【答案】270 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求解，即可得答案. 【详解】由题意可知，10人的成绩从小到大排列为： 164，166，167，173，178，249，255，270，277，282， 因为，所以第75百分位数是第8个数，即270． 故答案为：270. 13. 已知，为锐角，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由和两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，为锐角，所以，， 所以，所以. 因为，所以，， 因为，所以， ， 所以.. ， 故答案为： 14. 已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先可得，依题意可得对任意恒成立，从而得到对任意恒成立，则对任意恒成立，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意恒成立，显然， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以对任意恒成立， 又当时，当时，， 当时，，显然满足对任意恒成立， 当时不等式对任意恒成立， 等价于对任意恒成立； 综上可得，即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是同构得到对任意恒成立，从而得到对任意恒成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角的对边分别为，满足，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 16. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． （1）若是的中点，求证：平面平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：由题意以为坐标原点，分别为轴，过点平行于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三棱柱中，由，是的中点， 则， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 因为，所以， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出两个平面法向量，利用向量法证明即可； （2）设点的坐标，利用向量法表示出平面与平面所成夹角公式，求出点的坐标，然后利用向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 设此时平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面与平面所成夹角为，且 即， 即，解得：或（舍去）， 所以平面的一个法向量为， 又点，则， 所以点到平面的距离：. 17. 已知函数且 . （1）当时，求函数在的值域； （2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数在区间上的单调性，进而求解其值域； （2）求导，按照、和三种情况分类讨论，研究其单调性，根据极小值点的定义求解即可. 【小问1详解】 当时， 则， 当，，在上单调递增； 当，，在上单调递减， 所以时，最大值， 又 ，所以最小值为 ， 所以函数在的值域为 . 【小问2详解】 ， ①当时， 在上单调递增，不满足题意； ②当时，令，有，其中 ； 当时，， 有， ；，，此时为极大值点，不满足题意； 当时，需要 ，解得， 有， ；，此时为极小值点， 综上，实数的取值范围. 18. 已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的方程； （3）是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）为定值，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦点到渐近线的距离求解即可. （2）设出直线方程及，，与双曲线方程联立，求出和，求出直线、方程，联立求出，同理求得，即可得到直线的方程. （3）结合（2）求出、及点，分别求出、，结合韦达定理化简求解即可. 【小问1详解】 由双曲线的离心率为2，得，即. 渐近线方程为， 则右焦点到其中一条渐近线的距离为，则. 又，即，解得，. 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，，. 设过的直线方程为，，. 联立，整理得， 则，. 直线方程为，直线方程为， 联立解得 ， 即点的横坐标为. 同理可得，点的横坐标为. 所以直线的方程为. 【小问3详解】 为定值. 证明：由（2）知，，，则. 将代入直线方程中，可得， 同理可得， 所以 ，即. . ， 所以. 而， 所以. 故为定值，该定值为2. 19. 某棋类游戏有不同规格的地图，规格为的地图共有个格子，编号为0，1，2，．．．，，如下图所示． 0 1 2 … 游戏规则如下： ①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）； ②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败； ③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币．当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励元． （1）若选定规格为的地图，求游戏成功的概率； （2）若选定规格为的地图，若进行两次求棋子落到号格子且游戏成功至少一次的概率； （3）为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出游戏成功的概率的通项公式，利用通项公式求解. （2）先求单次游戏中“棋子落到号格子且最终成功”的概率，再用独立重复试验至少成功一次的公式求解． （3）由第（1）问得到单次游戏成功概率，结合奖励元，写出期望并比较相邻两项，确定最大值对应的． 【小问1详解】 由题意得，向前跳1格的概率为，向前跳2格的概率为， 游戏起点为偶数格0，成功终点为奇数格， 每次走1步会改变所在格子的奇偶性，走2步保持奇偶性不变， 由于起点到终点奇偶性改变了，因此整个过程中“走1步”的总次数必须是奇数次， 玩家初始有2枚金币，落入非零偶数格扣1枚，金币扣光即失败， 这意味着在到达之前，玩家最多只能落到1个非零偶数格， 设走1步的次数为， 情况一：当时，需要走次2步，总步数和为：， 若第1步走1步，后续全走2步，步序为：1，2，2，…，2， 经过的格子为：， 落到的非零偶数格数量为0，满足条件， 该路径概率为：， 若第1步走2步，第2步走1步，后续全走2步， 步序为：2，1，2，…，2， 经过的格子为：， 落到的非零偶数格仅有2号格子，数量为1，满足条件， 该路径概率为：， 若在更靠后的位置走1步（如步序为2，2，1，…）， 则必定会经过2号和4号格子，扣除2枚金币导致失败，不满足条件， 故时，成功的概率为：， 情况二：当时需要走次2步， 总步数和为：， 这3次走1步会带来3次奇偶状态的改变：偶→奇，奇→偶，偶→奇， 中间那次“奇→偶”必然会导致玩家落到一个非零偶数格，消耗1枚金币， 为了不消耗第2枚金币，在这处于偶数格的状态下， 绝对不能再走2步（否则会落到下一个偶数格导致失败）， 必须立即走1步回到奇数格状态， 同时，首步不能走2步 （否则直接消耗1金币，后续的“奇→偶”会消耗第2枚导致失败）， 所以首步必须是走1步， 因此，合法的步序模式必须是： 第1步为1，随后是在若干个2之间插入一个连续的“1,1”组合， 即结构为：1，然后是个2，然后是1，1， 最后是个2（其中）， 这种模式共有种排法（将连续的1,1看作一个整体，在个位置中选1个插入）， 每种排法的概率均为：， 故时，成功的概率为：， 情况三：当时，前4次走1步会带来状态改变：偶→奇→偶→奇→偶， 玩家必定会经历至少2次从奇变偶的过程， 从而落到至少2个非零偶数格，金币被扣光，游戏必然提前失败， 综上所述，任意规格地图下游走成功的概率为通项公式， ， 将代入通项公式得到. 所以游戏成功的概率为. 【小问2详解】 先求单次游戏中“棋子落到号格子且最终成功”的概率． 因为号格子是非零偶数格，棋子落到该格子时会扣除枚金币． 要想之后还能成功，在此之前不能落到其他非零偶数格． 因此路径只能是 也就是先跳格，然后跳次格，再连续跳两次格． 所以单次游戏中该事件发生的概率为 进行两次游戏且至少发生一次该事件的概率为 【小问3详解】 由第（1）问，规格为的地图中单次游戏成功的概率为． 成功时获得奖励元，失败时奖励为，所以奖励的数学期望为 比较相邻两项，得 当时，，即． 因为为大于的正整数，所以当时，；当时，． 因此在时取得最大值，故玩家应选择规格为的地图． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第二学期高二6月测试 数 学 试 题 时间:120分钟 满分:150分 出卷范围:必修一至选修三第七章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. -1 3. 若复数z满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知函数为自然对数的底数，），若直线是图象的切线，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 关于函数,给出下列四个结论,其中正确的是（ ） A. 的值域是； B. 在区间上单调递增； C. 0是的一个极值点； D. 曲线与x轴有且仅有2个交点. 7. 已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则（ ） A. 事件与事件相互对立 B. 事件与事件相互独立 C. D. 10. 如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点与点重合时，直线平面 B. 当点移动时，点到平面的距离为定值 C. 当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为 D. 当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为 11. 已知等差数列的前项和为.正项等比数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 不可能是等差数列 B. 若，则 C. 是等差数列 D. 若单调递减，则单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某学校参加高中数学联赛的10人的成绩（单位：分）为：164，166，167，173，178，249，255，270，277，282，则这组数据的第75百分位数是______． 13. 已知，为锐角，，，则_____. 14. 已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角的对边分别为，满足，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 16. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． （1）若是的中点，求证：平面平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 17. 已知函数且 . （1）当时，求函数在的值域； （2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围. 18. 已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的方程； （3）是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. 19. 某棋类游戏有不同规格的地图，规格为的地图共有个格子，编号为0，1，2，．．．，，如下图所示． 0 1 2 … 游戏规则如下： ①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）； ②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败； ③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币．当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励元． （1）若选定规格为的地图，求游戏成功的概率； （2）若选定规格为的地图，若进行两次求棋子落到号格子且游戏成功至少一次的概率； （3）为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $