13.3.1 三角形的内角 第2课时 三角形的两个锐角互余 学案 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学学案聚焦直角三角形两锐角互余的性质与判定，基于三角形内角和定理推导核心内容，知识梳理以表格形式呈现性质、判定及几何语言规范，搭建从内角和到直角三角形特性的学习支架。 学案通过分层练习（教材例题、针对训练、随堂演练）强化知识应用，参考答案解析详尽，培养学生推理意识与数学语言表达能力，助力学生用数学思维解决角关系问题，提升知识迁移与实际应用能力。

13.3.1 三角形的内角 第2课时 三角形的两个锐角互余 人教版八年级上册 第十三章 三角形 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。 2. 掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法，并能运用性质定理和判定定理解决相关问题。 二、知识梳理 1. 直角三角形的性质定理 项目 内容 说明 性质定理 直角三角形的两个锐角互余。 由三角形内角和等于180°推导得出 几何语言 在Rt△ABC中，，。 C为直角 符号表示 直角三角形用符号"Rt△"表示，如直角三角形ABC记为。 2. 直角三角形的判定定理 项目 内容 说明 判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 性质定理的逆命题 证明思路 在△ABC中，，由三角形内角和等于180°得，即△ABC是直角三角形。 将互余条件代入内角和 3. 重要模型：等角的余角相等 模型名称 模型内容 几何语言 同角的余角相等 如果两个角都与同一个角互余，那么这两个角相等。 若，，则。 等角的余角相等 如果两个角相等，那么它们的余角也相等。 若，则。 直角三角尺 三、课堂练习 练习1（教材P14例题第3题） 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC相交于点E，比较∠CAE与∠DBE的大小。                 练习2（针对训练） 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D。∠ACD与∠B有什么关系？为什么？                 练习3（针对训练） 如图，∠B =∠C = 90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由。                 练习4（针对训练） 如图，在△ABC中，∠C = 25°，直线a // b，点A在直线a上，若∠1 = 75°，∠2 = 40°，则△ABC按角分类属于______三角形。             练习5（教材P14练习第2题） 如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1 =∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？                 练习6（随堂演练） 具备下列条件的△ABC中，是直角三角形的是（ ） A. ∠A +∠B =∠C B. ∠A :∠B :∠C = 1 : 3 : 4 C. ∠A = 2∠B = 3∠C D. ∠A = 2∠B = 3∠C         练习7（随堂演练） 如图，∠ACB = 90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相等的角有___________________，互余的角有：_____________________________________________________。             练习8（随堂演练） 如图，在△ABC中，∠ABC = 70°，∠C = 65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD的度数。                 四、参考答案 练习1 答案 解：在Rt△AEC中，∠CAE = 90° – ∠AEC。 在Rt△BDE中，∠DBE = 90° – ∠BED。 ∵∠AEC =∠BED，∴∠CAE =∠DBE。 解析：在两个直角三角形中，分别利用"直角三角形的两个锐角互余"，将∠CAE和∠DBE分别表示为90°减去对顶角，再结合对顶角相等得出结论。 练习2 答案 解：∠ACD =∠B。理由： ∵∠ACB = 90°，CD⊥AB， ∴∠ACD +∠BCD = 90°， ∠B +∠BCD = 90°， ∴∠ACD =∠B。 解析：利用"同角的余角相等"，∠ACD和∠B都与∠BCD互余，因此它们相等。 练习3 答案 解：∠A =∠D。理由： ∵∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠D +∠COD = 90°。 ∵∠AOB =∠COD， ∴∠A =∠D。 解析：在两个直角三角形中，分别利用"直角三角形的两个锐角互余"，再结合对顶角相等，推出∠A =∠D。 练习4 答案 答案：直角 解析： ∵a // b，∴∠2 = 40°（内错角相等）， ∴∠BAC = 180° – ∠1 – ∠2 = 180° – 75° – 40° = 65°。 ∵∠C = 25°，∴∠B = 180° – ∠BAC – ∠C = 180° – 65° – 25° = 90°。 ∴△ABC是直角三角形。 练习5 答案 解：△ADE是直角三角形。理由： ∵∠C = 90°，∴∠A +∠2 = 90°。 ∵∠1 =∠2，∴∠A +∠1 = 90°。 ∴∠ADE = 90°。 ∴△ADE是直角三角形。 解析：在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余，再结合∠1 =∠2进行代换，得出△ADE中∠A +∠1 = 90°，由判定定理可知△ADE是直角三角形。 练习6 答案 答案：A、B 解析： A. ∠A +∠B =∠C，又∠A +∠B +∠C = 180°，∴2∠C = 180°，∠C = 90°，是直角三角形。 B. ∠A :∠B :∠C = 1 : 3 : 4，设∠A = k，∠B = 3k，∠C = 4k，则k + 3k + 4k = 180°，∴8k = 180°，k = 22.5°，∠C = 90°，是直角三角形。 C. 不能确定∠C = 90°。 D. 同C。 练习7 答案 相等的角：∠A =∠BCD，∠B =∠ACD。 互余的角：∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠B与∠BCD，∠ACD与∠BCD。 解析：由∠ACB = 90°，CD⊥AB，利用"同角的余角相等"可得出∠A =∠BCD，∠B =∠ACD。互余的角包括：两个直角三角形各自的锐角互余，以及∠ACB被分成两个互余的角。 练习8 答案 解：∵∠ABC = 70°，∠C = 65°， ∴∠A = 180° – ∠ABC – ∠C = 45°。 ∵BD⊥AC，∴∠ADB =∠CDB = 90°， ∴∠ABD = 90° – ∠A = 45°， ∠CBD = 90° – ∠C = 25°。 解析：先利用三角形内角和定理求出∠A = 45°，再分别在Rt△ABD和Rt△CBD中利用直角三角形两锐角互余求出∠ABD和∠CBD。 学科网（北京）股份有限公司 $